Inferência

Aula 1 - Introdução à Inferência

• A regressão múltipla gera estimativas pontuais: \(\hat{\beta}_j\)
• Mas: estimativas variam de amostra para amostra.
• Inferência estatística = avaliar se os coeficientes são estatisticamente diferentes de um valor específico (geralmente zero).
• Objetivo: testar hipóteses e construir intervalos de confiança para os coeficientes.

Pressupostos para Inferência Clássica

• Para que a inferência seja válida, pressupomos:

  1. Linearidade no parâmetro
  2. \(E(u_i) = 0\)
  3. Homocedasticidade: \(\text{Var}(u_i) = \sigma^2\)
  4. Não autocorrelação dos erros: \(\text{Cov}(u_i, u_j) = 0\)
  5. \(u_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\) (Normalidade dos erros) — permite usar a distribuição t.

• Com esses pressupostos, as estimativas OLS são não-viesadas, eficientes e seguem distribuição t.

Erro Padrão da Estimativa \(\hat{\beta}_j\)

• A variância de \(\hat{\beta}_j\) é:

\[ \text{Var}(\hat{\beta}_j) = \sigma^2 (X'X)^{-1}_{jj} \]

• Como \(\sigma^2\) é desconhecida, usamos o estimador:

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n - k} \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 \]

• O erro padrão estimado de \(\hat{\beta}_j\) é:

\[ se(\hat{\beta}_j) = \sqrt{\hat{\sigma}^2 (X'X)^{-1}_{jj}} \]

Teste t – Estrutura Formal

• Hipótese nula: \(H_0: \beta_j = \beta_{j0}\)

  • Estatística de teste:

  \[ t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_{j0}}{se(\hat{\beta}_j)} \]

  • Sob \(H_0\), \(t \sim t_{n-k}\)

    • Regra de decisão:

    • Rejeita \(H_0\) se \(|t| > t_{\alpha/2, n-k}\)

Interpretação Intuitiva do Teste t

• Avalia: “a variável explicativa \(X_j\) realmente afeta \(Y\)?”
• Se \(\hat{\beta}_j\) está muito distante de 0 (em termos relativos ao erro padrão), rejeitamos a hipótese de irrelevância.
• Importância prática: evita manter variáveis inúteis ou descartar variáveis importantes.

Relação com Valor-p

• Valor-p: probabilidade de obter um t tão extremo quanto o observado, sob \(H_0\).
• Rejeitamos \(H_0\) se \(p < \alpha\)
• Vantagem do valor-p: não depende de um \(\alpha\) arbitrário.

Significância Estatística vs. Prática

• Um coeficiente pode ser estatisticamente significativo, mas economicamente irrelevante.
• Exemplo: \(\hat{\beta}_j = 0.001\) com \(p = 0.001\)
• Cabe ao pesquisador julgar com base na teoria e contexto econômico.

Exemplo Intuitivo com Simulação

• Suponha uma regressão com \(n = 30\), onde:

\[ \hat{\beta}_1 = 2.5, \quad se(\hat{\beta}_1) = 0.5 \] \[ t = \frac{2.5}{0.5} = 5 \] - Valor crítico para \(t_{0.05, 28} \approx 2.048\) → Rejeitamos \(H_0\) - Conclusão: \(X_1\) afeta significativamente \(Y\).

Exercício Resolvido (Gujarati, Exemplo 8.2)

• Dados:

  • \(\hat{\beta}_2 = 0.75\)

  • \(se(\hat{\beta}_2) = 0.25\)

  • \(n = 32\), \(k = 3\), \(df = 29\)

  • Teste \(H_0: \beta_2 = 0\)

    \[ t = \frac{0.75}{0.25} = 3.0 \]

  • Valor crítico (5%) = 2.045 → Rejeita-se \(H_0\)

  • Conclusão: \(X_2\) é estatisticamente relevante.

Exercício Computacional em R

#install.packages("wooldridge")
library(wooldridge)

modelo <- lm(wage ~ educ + exper + female, data = wage1)
#Verificar coeficientes, erros padrão, t e p-valores

Resultado:

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ + exper + female, data = wage1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.3856 -1.9652 -0.4931  1.1199 14.8217 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.73448    0.75362  -2.302   0.0218 *  
## educ         0.60258    0.05112  11.788  < 2e-16 ***
## exper        0.06424    0.01040   6.177 1.32e-09 ***
## female      -2.15552    0.27031  -7.974 9.74e-15 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.078 on 522 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3093, Adjusted R-squared:  0.3053 
## F-statistic: 77.92 on 3 and 522 DF,  p-value: < 2.2e-16

Resumo e Conclusões

• A inferência permite extrapolar conclusões para a população.
• O teste t avalia a relevância individual de variáveis.
• A normalidade dos erros é essencial para validade do teste t.
• Estatística \(\neq\) relevância econômica → use sempre sua intuição econômica!

Aula 2 – Teste F e Testes de Hipóteses Conjuntas

Limitações do Teste t:

• O teste t avalia a significância individual de um coeficiente \(\beta_j\).
• Não nos diz se todos os regressores são relevantes no modelo.
• Muitas vezes, queremos testar se vários coeficientes são simultaneamente nulos.
• Para isso, usamos o teste F.

Estrutura do Teste F Geral

• Hipóteses:

\[ H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_{k-1} = 0 \] \[ H_1: \text{Ao menos um } \beta_j \ne 0 \]

• Estatística F:

  \[ F = \frac{(R^2 / (k - 1))}{((1 - R^2) / (n - k))} \]

• Onde:

  • \(k\): número de parâmetros incluindo intercepto;
  • \(n\): número de observações.

Interpretação do Teste F

• Compara a variância explicada pelo modelo com a variância residual.
• Se \(F\) for grande o suficiente, rejeitamos \(H_0\).
• Isso significa que os regressores, em conjunto, explicam \(Y\).
• É útil para avaliar a significância geral do modelo.

Relação entre R² e o Teste F

• Podemos reescrever o teste F em função do \(R^2\):

\[ F = \frac{R^2 / (k - 1)}{(1 - R^2) / (n - k)} \] - Alternativa ao uso de SQE e SQR. - Prático: softwares de regressão sempre retornam \(R^2\). - Ajuda a avaliar se o modelo “explica algo”.

Teste F para Conjuntos de Coeficientes

• Queremos testar:

\[ H_0: \beta_2 = \beta_3 = 0 \]

• Comparamos dois modelos:
  • Modelo restrito: sem \(\beta_2\), \(\beta_3\);
  • Modelo completo (não restrito): com todos os regressores.

Estatística F:

\[ F = \frac{(SSR_r - SSR_{ur}) / q}{SSR_{ur} / (n - k)} \] Onde \(q\) é o número de restrições.

Comparação com o Teste t

• \(t\) testa 1 parâmetro, \(F\) pode testar vários.
• Em regressão múltipla: \(F\) é mais robusto para testar conjuntos.
• \(F\) é preferível quando:
  • Há multicolinearidade;
  • Queremos avaliar a relevância conjunta de variáveis.

Exemplo numérico de Teste F

• Modelo completo: \(\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2\)
• Regressão com \(R^2 = 0.60\), \(n = 30\), \(k = 3\)
• Testar \(H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0\)
• Aplicando:

\[ F = \frac{0.60 / 2}{(1 - 0.60) / (30 - 3)} = \frac{0.30}{0.0148} \approx 20.27 \] - Valor crítico de \(F_{(2,27)} \approx 3.35\) → Rejeita-se \(H_0\)

Exercício com Resolução (Wooldridge)

• Suponha: \(\hat{Y} = 1.2 + 0.5X_1 + 0.3X_2\), \(n = 100\)
• \(R^2_{ur} = 0.25\), \(R^2_r = 0.18\) (modelo sem \(X_2\))
• Testar \(H_0: \beta_2 = 0\)
• Estatística:

\[ F = \frac{(0.25 - 0.18)/1}{(1 - 0.25)/97} = \frac{0.07}{0.00773} \approx 9.06 \] - \(F_{1,97}^{5\%} \approx 3.94 \ \rightarrow \ \) Rejeitamos \(H_0:\) \(X_2\) é relevante

Exercício Computacional em R

• Queremos saber se a variável exper contribui para explicar wage, além de educ.
• Hipótese nula: \(\beta_{\text{exper}} = 0\)
• Comparamos dois modelos: um com e outro sem exper.

# Carregar pacote e dados
library(wooldridge)
data(wage1)

# Modelo completo com educ + exper
modelo_completo <- lm(wage ~ educ + exper, data = wage1)

# Modelo restrito com apenas educ
modelo_restrito <- lm(wage ~ educ, data = wage1)

Interpretação do teste

• A saída da função anova(modelo_restrito, modelo_completo) vai trazer:

• RSS (Soma dos Quadrados dos Resíduos) de cada modelo

• Df: graus de liberdade

• F: estatística F calculada

• \(Pr(>F)\): valor-p associado

Se o valor-p for pequeno (\(p < 0.05\)), rejeitamos \(H_0\). Isso significa que exper é estatisticamente relevante.

Resultado

# Teste F: comparação dos modelos
anova(modelo_restrito, modelo_completo)

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ educ
## Model 2: wage ~ educ + exper
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)    
## 1    524 5980.7                                 
## 2    523 5548.2  1    432.52 40.772 3.78e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Agora um teste conjunto

Testar se duas variáveis juntas são significativas para explicar o salário (wage): \[ H_0 : \beta_{exper} = \beta_{tenure} = 0 \] Ou seja: verificar se podemos excluir ambas as variáveis do modelo ao mesmo tempo.

• Modelos
  • Modelo completo (irrestrito): \(wage \sim educ + exper + tenure\)
  • Modelo restrito: \(wage \sim educ\)

Resultado:

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ educ
## Model 2: wage ~ educ + exper + tenure
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq     F    Pr(>F)    
## 1    524 5980.7                                 
## 2    522 4966.3  2    1014.4 53.31 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Teste de Chow – Estabilidade dos Coeficientes

• Teste do tipo F muito usado em políticas públicas e macroeconomia;

• Quando utilizamos um modelo de regressão que envolve o uso de séries temporais, pode acontecer que se verifique uma mudança estrutural na relação entre o regressando e os regressores;

• Por mudança estrutural entendemos que os valores dos parâmetros do modelo não se mantêm iguais durante todo o período de tempo;

• Por exemplo, sabe-se que, em 1982, os Estados Unidos registraram sua pior recessão em tempos de paz. A taxa de desemprego civil atingiu 9,7% nesse ano, a mais alta desde 1948;

• Para verificarmos se isso aconteceu, podemos dividir os dados da amostra em dois períodos: 1970-1981 e 1982-1995, ou seja, os períodos anterior e posterior à recessão de 1982.

Teste de Chow – Estabilidade dos Coeficientes

• Queremos saber se os coeficientes mudam em dois subconjuntos (ex: antes/depois de 1982).

• Teremos agora três regressões possíveis:

  • Período de 1970-1981: \(Y_t = \lambda_0 + \lambda_1 X_t + u_t, \ n_1 = 12\);
  • Período de 1982-1995: \(Y_t = \gamma_0 + \gamma_1 X_t + u_t, \ n_2 = 14\);
  • Período de 1970-1995: \(Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + u_t, \ n = (n_1 + n_2) = 24\);

• Hipótese nula: mesmos coeficientes nas duas amostras.

\[ H_0 = \lambda_1 = \gamma_1 \ \text{e } \ \lambda_2 = \gamma_2 \]

Teste de Chow – Estabilidade dos Coeficientes

Teste de Chow – Estabilidade dos Coeficientes

• Usa a fórmula:

\[ F = \frac{(SQR_c - (SQR_1 + SQR_2)) / k}{(SQR_1 + SQR_2) / (n_1 + n_2 - 2k)} \] Onde:

• \(SCR_c\) é soma de quadrados dos resíduos do modelo com todas as observações:
  • Período de 1970-1995: \(Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + u_t, \ n = 24\);
  • Graus de liberdade: \(n- k\);
• \(SCR_1\) é soma de quadrados dos resíduos do modelo com todas as \(n_1\):
  • Período de 1970-1981: \(Y_t = \lambda_0 + \lambda_1 X_t + u_t, \ n_1 = 12\);
• \(SCR_2\) é soma de quadrados dos resíduos do modelo com todas as \(n_1\):
  • Período de 1982-1995: \(Y_t = \gamma_0 + \gamma_1 X_t + u_t, \ n_2 = 14\);

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9)

# Instalar o devtools
install.packages('devtools')
# Instalar o pacote com os dados do Gujarati
devtools::install_github("brunoruas2/gujarati")
library(gujarati)
# Visualizar os datasets disponíveis
data(package = "gujarati")

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9)

dados <- gujarati::Table8_9
class(dados$YEAR)

## [1] "factor"

class(dados$SAVINGS)

## [1] "factor"

class(dados$INCOME)

## [1] "factor"

# Corrigindo as variáveis de factor para numérico:
dados$YEAR    <- as.numeric(as.character(dados$YEAR))
dados$SAVINGS <- as.numeric(as.character(dados$SAVINGS))
dados$INCOME  <- as.numeric(as.character(dados$INCOME))

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9): Modelos estimados

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9): Gráficos Comparativos do exemplo

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9): Teste de Chow

# Soma dos quadrados dos resíduos
SSR_total <- sum(residuals(modelo_total)^2)
SSR_antes <- sum(residuals(modelo_antes)^2)
SSR_depois <- sum(residuals(modelo_depois)^2)

# Tamanhos da amostra e número de parâmetros para graus de liberdade:
n1 <- sum(dados$YEAR < 1982)
n2 <- sum(dados$YEAR >= 1982)
k <- length(coef(modelo_total))

Exercício com Resolução (Gujarati - Cap. 8, seção 8.7, Tabela 8.9): Teste de Chow

# Estatística F do teste de Chow
F_chow <- ((SSR_total - (SSR_antes + SSR_depois)) / k) /
          ((SSR_antes + SSR_depois) / (n1 + n2 - 2 * k))

# Estatística de teste:
F_chow 

## [1] 10.69006

# P-Value:
df(F_chow,2*k, n1+ n2 -2*k)

## [1] 3.743812e-05

Resumo

• O teste F avalia restrições múltiplas sobre parâmetros.
• Pode ser formulado com base em:
• Soma de quadrados residual (SSR);
• \(R^2\) do modelo.
• Permite avaliar:
  • Significância global;
  • Conjuntos específicos de variáveis;
  • Mudanças estruturais (Chow).

Aula 3 – Intervalos de Confiança e Hipóteses sobre Combinações Lineares

Relembrando a Distribuição t

• Suponha \(\hat{\beta}_j \sim N(\beta_j, \text{Var}(\hat{\beta}_j))\)

• Sob normalidade dos erros: \(t\)-estatística válida

• Para \(H_0: \beta_j = \beta_{j_0}\) usamos:

  \[ t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_{j0}}{se(\hat{\beta}_j)} \sim t_{n - k} \]

• Utilizamos \(t_{\alpha/2, n-k}\) como valor crítico

Intervalo de Confiança para \(\beta_j\)

• Intervalo de confiança a \((1 - \alpha)\)%:

  \[ \hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2, n-k} \cdot se(\hat{\beta}_j) \]

• Intuição: estimamos um “intervalo plausível” para \(\beta_j\)

• Se intervalo contém 0, não rejeitamos \(H_0: \beta_j = 0\)

• Relaciona-se diretamente ao teste t

Intervalo para Previsão Média

• Previsão esperada:

  \[ \hat{y}_0 = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{1,0} + \cdots + \hat{\beta}_{k-1} x_{k-1,0} \]

• Intervalo para a média:

\[ \hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-k} \cdot se(\hat{y}_0) \]

• Importante distinguir:

  • Intervalo para valor esperado de \(Y\) vs.

  • Intervalo para observação futura de \(Y\) (mais amplo)

Hipóteses sobre Combinações Lineares

• Muitas vezes, testamos:

\[ H_0: a_1\beta_1 + a_2\beta_2 = c \] - Exemplo: \(H_0: \beta_1 = \beta_2\)

• Estatística:

\[ t = \frac{a_1 \hat{\beta}_1 + a_2 \hat{\beta}_2 - c}{\sqrt{\text{Var}(a_1 \hat{\beta}_1 + a_2 \hat{\beta}_2)}} \] - Onde:

\[ \text{Var}(a_1 \hat{\beta}_1 + a_2 \hat{\beta}_2) = a_1^2 \text{Var}(\hat{\beta}_1) + a_2^2 \text{Var}(\hat{\beta}_2) + 2a_1a_2 \text{Cov}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) \]

Exemplo Prático – Igualdade de Coeficientes

• Queremos testar se \(\beta_1 = \beta_2\)
• Reformulamos: \(H_0: \beta_1 - \beta_2 = 0\)
• Então:

\[ t = \frac{\hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2}{\sqrt{se(\hat{\beta}_1)^2 + se(\hat{\beta}_2)^2 - 2 \cdot \text{Cov}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2)}} \]

• Esse teste é útil para comparar efeitos semelhantes (ex: educação formal e treinamento)

Importância do Valor-p

• Valor-p é a probabilidade de obter \(t\) tão extremo quanto o observado

• Quanto menor o valor-p:

  • Maior a evidência contra \(H_0\)
  • Mais confiável a rejeição de que \(\beta_j = 0\)
  • Use o valor-p para comparar significância entre variáveis

Intervalo de Confiança vs. Teste de Hipóteses

• São equivalentes:
  • Se o intervalo contém o valor hipotético → não rejeita \(H_0\)
  • Se o intervalo não contém → rejeita
• Intervalos permitem avaliar a magnitude e a precisão
• Recomendado reportar os dois: \(t\) e intervalo

Resumo

• Intervalos e testes baseiam-se na distribuição t

  • Testes podem ser aplicados a:

  • Coeficientes individuais (\(\beta_j\))

  • Combinações lineares

  • Intervalos fornecem intuição complementar ao teste t

• Valor-p é uma ferramenta prática e interpretável

Exercício Resolvido (Gujarati – Exemplo 8.3)

Regressão: \(\hat{y} = 3.5 + 2.1 x_1 + 1.4 x_2\)

• \(se(\hat{\beta}_1) = 0.7\), \(se(\hat{\beta}_2) = 0.9\)

• Testar \(H_0: \beta_1 = \beta_2\)

  \[ t = \frac{2.1 - 1.4}{\sqrt{0.7^2 + 0.9^2}} = \frac{0.7}{1.14} \approx 0.614 \]

• Valor crítico \(t_{0.05, n-k} \approx 2.0\) → Não rejeitamos \(H_0\)

Conclusão: efeitos similares (estatisticamente)

Teste F para Combinações Lineares de Parâmetros

• Em muitos casos, não testamos se um coeficiente é zero, mas relações entre coeficientes:

  • Exemplo: \(H_0: \beta_1 = \beta_2\)
  • Ou: \(H_0: \beta_2 + \beta_3 = 1\)

• Essas hipóteses podem ser escritas como combinações lineares de parâmetros:

  • \(a_1\beta_1 + a_2\beta_2 + a_3\beta_3 = c\)

• O teste F avalia simultaneamente várias dessas restrições:

  • Forma geral da hipótese nula: \[ H_0: R\beta = r \]

  • Onde:

    • \(R\) é uma matriz de restrições (\(q \times k\))
    • \(\beta\) é o vetor dos parâmetros do modelo (\(k \times 1\))
    • \(r\) é um vetor de constantes (\(q \times 1\))

Formulação Matricial e Estatística do Teste F

• Seja o modelo estimado via MQO: \[ y = X\beta + u \]

• Hipótese nula: \[ H_0: R\beta = r \]

• Estatística do teste: \[ F = \frac{(R\hat{\beta} - r)' [R (\widehat{\text{Var}}(\hat{\beta})) R']^{-1} (R\hat{\beta} - r)}{q} \]

  • Onde:
    • \(\hat{\beta}\): vetor de estimativas MQO
    • \(\widehat{\text{Var}}(\hat{\beta}) = \hat{\sigma}^2 (X'X)^{-1}\)
    • \(q\): número de restrições

• Sob \(H_0\), temos: \[ F \sim F_{q, n-k} \]

• Esse teste generaliza o teste t e permite hipóteses múltiplas de forma eficiente.

Exemplo de teste F usando matrizes

Teste F: Igualdade entre Coeficientes (educ = exper)

• Modelo estimado: wage ~ educ + exper + tenure

• Hipótese nula: \(\beta_{\text{educ}} = \beta_{\text{exper}}\)

• Reformulamos como: \(H_0: \beta_{\text{educ}} - \beta_{\text{exper}} = 0\)

• Modelo estimado: \[ wage = \beta_0 + \beta_1 \cdot educ + \beta_2 \cdot exper + \beta_3 \cdot tenure + u \]

Construção da matriz \(R\):

• A matriz \(R\) impõe restrições lineares: \[ R \cdot \beta = r \] onde \(\beta = (\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3)'\)

• Para \(\beta_1 - \beta_2 = 0\) , temos: \[ R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad r = 0 \]

Exercício Computacional em R

suppressPackageStartupMessages(library(car))

# Modelo com três variáveis explicativas
modelo <- lm(wage ~ educ + exper + tenure, data = wage1)

# Restrição: beta_educ - beta_exper = 0
R <- matrix(c(0, 1, -1, 0), nrow = 1)

# Vamos ver a matriz:
print(R)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    0    1   -1    0

Exercício Computacional em R

# Teste F da hipótese linear
car::linearHypothesis(modelo, R)

## 
## Linear hypothesis test:
## educ - exper = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: wage ~ educ + exper + tenure
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
## 1    523 6291.4                                  
## 2    522 4966.3  1    1325.1 139.28 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Teste F com Duas Restrições Lineares

• Dado o modelo: wage ~ educ + exper + tenure

• Supomos que queremos testar simultaneamente:

  • \(\beta_{\text{educ}} = \beta_{\text{exper}}\)
  • \(\beta_{\text{tenure}} = 0\)

• Hipótese nula conjunta: \[ H_0: \begin{cases} \beta_{\text{educ}} - \beta_{\text{exper}} = 0 \\ \beta_{\text{tenure}} = 0 \end{cases} \]

• Podemos reescrevê-la em forma matricial: \[ H_0: R\beta = r \]

  Onde: \[ R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad r = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

• Esse teste verifica se ambas as restrições são consistentes com os dados.

• Interpretação:

  • Se valor-p \(< 0.05 \rightarrow\) rejeitamos \(H_0\): pelo menos uma das restrições está incorreta.

Exercício computacional em R: exemplo com duas restrições lineares sobre os coeficientes do modelo

# Estimando o modelo completo
modelo <- lm(wage ~ educ + exper + tenure, data = wage1)

# Definindo a matriz de restrições R
R <- matrix(c(
  0, 1, -1, 0,   # beta_educ - beta_exper = 0
  0, 0,  0, 1    # beta_tenure = 0
), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Vetor r (valores do lado direito das restrições): [0, 0]
r <- c(0, 0)

R; r

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    0    1   -1    0
## [2,]    0    0    0    1

## [1] 0 0

Exercício computacional em R: exemplo com duas restrições lineares sobre os coeficientes do modelo

# Aplicando o teste F para as duas restrições
linearHypothesis(modelo, R, r)

## 
## Linear hypothesis test:
## educ - exper = 0
## tenure = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: wage ~ educ + exper + tenure
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
## 1    524 6862.1                                  
## 2    522 4966.3  2    1895.8 99.632 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1