CAP 7. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA

7.1 Aplicación ampliada de la energía

Ejemplo de sistema con ganancia/pérdida de energía

Figura 7.1 – Sistema típico de tuberías con bomba, válvulas y accesorios.

En este tipo de sistemas es necesario usar la ecuación general de la energía para evaluar el comportamiento hidráulico real.

Análisis de un sistema real

• Una bomba añade energía al fluido desde un tanque.
  
• El fluido circula por válvulas, codos, te, ampliaciones y reducciones.
  
• Cada accesorio implica pérdidas por fricción o turbulencia.

El flujo:

1. Sale del tanque.
   
2. Pasa por válvula y línea de succión.
   
3. Entra a la bomba.
   
4. Atraviesa válvula, codo y línea de descarga.
   
5. Llega al sistema de procesamiento.

Tareas de análisis en diseño de sistemas hidráulicos

• Selección de diámetros de tubería y tipos de válvula.
  
• Ubicación y tipo de bomba.
  
• Pérdidas por fricción y accesorios.
  
• Cálculo de presiones y potencias requeridas.
  
• Eficiencia de bombas y turbinas.

Se analizará cómo la energía es añadida o retirada del fluido y cómo evaluar la eficiencia de estos equipos.

7.1 Objetivos

Después de completar este capítulo, usted deberá ser capaz de:

1. Identificar las condiciones bajo las cuales se producen pérdidas de energía en los sistemas de flujo de fluidos.
   
2. Identificar los medios por los cuales se puede añadir energía a un sistema de flujo de fluidos.
   
3. Identificar los medios por los cuales se puede eliminar energía de un sistema de flujo de fluidos.
   
4. Ampliar la ecuación de Bernoulli para formar la ecuación general de la energía, la cual considera las pérdidas, ganancias y eliminaciones de energía, y aplicarla a una variedad de problemas prácticos.
   
5. Calcular la potencia añadida a un fluido por medio de bombas, la potencia necesaria para impulsarlas y su eficiencia.
   
6. Calcular la potencia suministrada por un fluido a un motor de fluido, la potencia real utilizada por el motor para accionar un sistema mecánico y la eficiencia del motor de fluido.

7.2 Pérdidas y ganancias de energía

El objetivo de esta sección es describir, en términos generales, los dispositivos y componentes de los sistemas de flujo de fluidos que:

• Añaden energía al sistema.
  
• Eliminan energía del sistema.
  
• Causan pérdidas indeseables en el fluido.

7.2 Dispositivos analizados

Se estudiarán conceptualmente:

• Bombas
• Motores de fluido
• Pérdidas por fricción en tuberías y tubos
• Pérdidas por cambios de trayectoria
• Pérdidas por válvulas y accesorios

Los detalles y cálculos específicos se abordarán en los capítulos siguientes.

7.2 Aplicación práctica en capítulos siguientes

• Se estudiará cómo calcular magnitudes de pérdidas de energía.
  
• Se aprenderá a usar curvas de rendimiento de bombas.
  
• Se describirá cómo seleccionar y aplicar bombas correctamente en sistemas reales.

7.2.1 Bombas

Una bomba es un dispositivo mecánico común que añade energía a un fluido.

• Un motor eléctrico u otro dispositivo de potencia primaria impulsa un eje giratorio.
  
• La bomba transforma esta energía en energía cinética y de presión del fluido.
  
• Resultado: el fluido fluye y su presión aumenta.

Bombas en sistemas hidráulicos

• Existen múltiples configuraciones de bombas.
  
• En la figura 7.1 se muestra una bomba centrífuga montada en línea con la tubería.
  
• Las figuras 7.2 y 7.3 muestran bombas de potencia de fluidos que producen presiones de hasta 5000 psi (34.5 MPa).

Figura 7.1 – Bomba centrífuga en línea

Figuras 7.2 y 7.3 – Bombas de potencia de fluidos

Estas bombas pueden generar presiones de 1500 a 5000 psi (10.3 a 34.5 MPa) y se analizarán en detalle en el capítulo 13.

Video: Funcionamiento de una bomba centrífuga

Observa cómo una bomba centrífuga transfiere energía al fluido mediante la rotación de su impulsor.

Video: ¿Cómo funciona una bomba de agua?

Este video explica de forma clara y visual el principio de funcionamiento de una bomba de agua doméstica.

7.2.2 Motores de fluido

Los motores de fluido, las turbinas y los actuadores (rotativos o lineales) toman energía de un fluido y la convierten en trabajo mecánico:

• Rotación de un eje
  
• Movimiento lineal de un pistón

La diferencia con una bomba es que en el motor es el fluido quien impulsa al eje del dispositivo.

Comparación: bomba vs motor de fluido

• Muchos motores tienen configuraciones similares a bombas.
  
• Algunos diseños permiten que una bomba funcione como motor si el flujo se invierte.
  
• En otros casos se requiere reconfigurar válvulas y elementos internos.

Las figuras 7.2 y 7.3 también ilustran tipos de motores si se invierte el flujo o el diseño.

Figura 7.4 – Motor hidráulico con engranaje interno

Motor hidráulico tipo engranaje

• Utilizado en maquinaria de construcción, agrícolas y sistemas de automatización.
  
• Usa un engranaje interno con un rotor excéntrico (tipo gerotor).
  
• El fluido a alta presión acciona el rotor y genera torque en el eje.

La salida depende de:

• La diferencia de presión entre entrada y salida.
  
• El desplazamiento volumétrico del motor.
  
• La rapidez del flujo de volumen.

Figura 7.5 – Cilindro de potencia de fluido

Sección de un actuador lineal que convierte presión hidráulica en movimiento rectilíneo.

Video: ¿Cómo funciona un motor hidráulico?

Este video ilustra de manera clara el principio de funcionamiento de un motor hidráulico y su conversión de energía de presión en movimiento rotativo.

7.2.4 Válvulas y accesorios

Los elementos que controlan la dirección o rapidez del flujo (válvulas, codos, tees, etc.) generan:

• Turbulencia local
  
• Pérdidas de energía por disipación en forma de calor
  
• Cambios de dirección o velocidad del flujo

7.2.4 Válvulas y accesorios

Los elementos que controlan la dirección o rapidez del flujo (válvulas, codos, tees, etc.) generan:

• Turbulencia local
  
• Pérdidas de energía por disipación en forma de calor
  
• Cambios de dirección o velocidad del flujo

Pérdidas menores en válvulas y accesorios

• En sistemas grandes, estas pérdidas son menores en comparación con la fricción en las tuberías.
  
• Se denominan pérdidas menores por su magnitud relativa.

Toda restricción o cambio brusco en el flujo genera pérdida de energía en forma de calor, clasificable como pérdida menor.

Video: Tipos de válvulas y su funcionamiento

Este video explica cómo funcionan distintos tipos de válvulas y su impacto en el comportamiento del flujo en sistemas hidráulicos.

7.3 Nomenclatura de las pérdidas y ganancias de energía

Las pérdidas y ganancias de energía se expresan como energía por unidad de peso del fluido, también llamada carga (head). Se utiliza el símbolo \(h\) para representar:

• \(h_A\): Energía añadida al fluido (ej. bomba)
  
• \(h_R\): Energía removida del fluido (ej. motor hidráulico)
  
• \(h_L\): Pérdidas de energía por fricción y accesorios

No se consideran aquí los efectos del calor transferido, que se abordan en cursos de termodinámica.

Fórmula de las pérdidas de energía por fricción

La energía perdida en fricción, válvulas y accesorios se calcula con:

\[ h_L = K \left( \frac{v^2}{2g} \right) \]

• \(K\) es el coeficiente de resistencia
  
• \(v\) es la velocidad media del fluido
  
• \(g\) es la aceleración de la gravedad

Esta expresión relaciona las pérdidas con la carga de velocidad.

Coeficiente de resistencia \(K\)

• En el capítulo 8 se determina \(K\) para la fricción en tuberías (Darcy).
  
• En el capítulo 10, se estudia \(K\) para válvulas, codos, cambios de sección, etc.

En la mayoría de los casos, \(K\) se obtiene experimentalmente.

7.4 Ecuación general de la energía

La ecuación general de la energía amplía la ecuación de Bernoulli para considerar:

• Pérdidas de energía \(h_L\)
• Energía añadida \(h_A\)
• Energía removida \(h_R\)

Se basa en el principio de conservación de la energía por unidad de peso del fluido:

\[ E_1' + h_A - h_R - h_L = E_2' \tag{7-1} \]

Energía por unidad de peso del fluido

La energía total por unidad de peso se define como:

\[ E' = \frac{p}{\gamma} + z + \frac{v^2}{2g} \tag{7-2} \]

Donde:
- \(p / \gamma\): carga de presión
- \(z\): carga de elevación
- \(v^2 / 2g\): carga de velocidad

Forma expandida de la ecuación general

La forma utilizada en problemas prácticos es:

\[ \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + h_A - h_R - h_L = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \tag{7-3} \]

• Cada término representa energía por unidad de peso.
  
• Se expresa en la dirección del flujo (de izquierda a derecha).

Figura 7.6 – Ilustración de la ecuación general

Visualiza cómo se aplican los términos \(h_A\), \(h_R\) y \(h_L\) entre las secciones 1 y 2.

Aplicación de la ecuación general

Ejemplo típico:

1. El fluido recibe energía de una bomba → \(h_A\)
   
2. Pasa por una válvula → pierde energía → \(h_L\)
   
3. Llega a un motor hidráulico → transfiere energía → \(h_R\)

Todos estos efectos se incluyen en la ecuación general de la energía.

Reducción a la ecuación de Bernoulli

Si en un sistema:

• No hay bomba: \(h_A = 0\)
  
• No hay motor: \(h_R = 0\)
  
• Las pérdidas son despreciables: \(h_L = 0\)

Entonces, la ecuación general se reduce a:

\[ \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \]

Esta es la ecuación de Bernoulli, válida para flujos ideales.

Problema de ejemplo 7.1 – Enunciado

Datos:

• El agua fluye desde un gran depósito.
  
• Gasto volumétrico: \(Q = 1.20~\text{ft}^3/\text{s}\)
  
• Sistema con válvula, codos y fricción.
  
• Calcular la energía total perdida en el sistema.

Utilice la ecuación general de la energía entre la superficie libre del depósito y la salida de la tubería.

Figura 7.7 – Sistema de tuberías del problema 7.1

Selección de secciones de interés

Secciones:

• Sección 1: superficie libre del depósito
  
• Sección 2: salida libre del chorro

Ecuación general de energía:

\[ \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + h_A - h_R - h_L = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \]

Supuestos y simplificación

Se considera:

• \(p_1 = p_2 = 0\) (expuestos a la atmósfera)
  
• \(v_1 \approx 0\) (superficie grande)
  
• \(h_A = h_R = 0\) (no hay bomba ni motor)

Entonces:

\[ z_1 - h_L = z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \Rightarrow h_L = z_1 - z_2 - \frac{v_2^2}{2g} \]

Cálculo de términos

Datos:

• \(z_1 = 25~\text{ft}\)
  
• \(z_2 = 3~\text{ft}\)
  
• Diámetro de salida: \(D = 3~\text{in} = 0.25~\text{ft}\)
  
• Área:
  \[ A = \frac{\pi}{4} (0.25)^2 = 0.0491~\text{ft}^2 \]

Velocidad de salida:

\[ v_2 = \frac{Q}{A} = \frac{1.20}{0.0491} = 24.4~\text{ft/s} \]

Energía perdida en el sistema

Sustituyendo en:

\[ h_L = z_1 - z_2 - \frac{v_2^2}{2g} \]

\[ h_L = 25 - 3 - \frac{(24.4)^2}{2 \cdot 32.2} = 22 - 9.25 = 12.75~\text{ft} \]

Multiplicando por el peso específico del agua:

\[ \text{Energía perdida} = h_L \cdot \gamma = 12.75 \cdot 15.75 = \boxed{200.81~\text{lb-ft}/\text{lb}} \]

Esta es la cantidad de energía perdida por fricción, válvula y codos en el sistema.

Problema de ejemplo 7.2 – Enunciado

Datos:

• \(Q = 0.014~\text{m}^3/\text{s}\)
  
• Gravedad específica del aceite: \(SG = 0.86\)
  
• \(p_A = -28~\text{kPa}\), \(p_B = 296~\text{kPa}\)
  
• Elevación entre puntos: \(z_B - z_A = 1.0~\text{m}\)
  
• Pérdidas: \(h_L = 1.86~\text{N·m/N}\)

Calcular la energía que suministra la bomba al aceite por unidad de peso.

Figura 7.8 – Sistema de bombeo

Ecuación general para el problema

La ecuación general de la energía es:

\[ \frac{p_A}{\gamma} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} + h_A - h_L = \frac{p_B}{\gamma} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} \tag{7-4} \]

Se omite \(h_R\) porque no hay motor de fluido en el sistema.

Despeje de \(h_A\)

\[ h_A = \frac{p_B - p_A}{\gamma} + (z_B - z_A) + \frac{v_B^2 - v_A^2}{2g} + h_L \]

Donde:
- \(\gamma = SG \cdot \gamma_{\text{agua}} = 0.86 \cdot 9.81 = 8.44~\text{kN/m}^3\)

Cálculo de la presión diferencial

\[ \frac{p_B - p_A}{\gamma} = \frac{296 - (-28)}{8.44} = \frac{324}{8.44} = 38.4~\text{m} \]

Diferencia de elevación:
\[ z_B - z_A = 1.0~\text{m} \]

Cálculo de velocidades

Usamos:
\[ v = \frac{Q}{A} \]

Áreas: - \(A_A = 0.014 / (4.768 \times 10^{-3}) = 2.94~\text{m/s}\) - \(A_B = 0.014 / (2.168 \times 10^{-3}) = 6.46~\text{m/s}\)

Diferencia de cargas de velocidad:

\[ \frac{v_B^2 - v_A^2}{2g} = \frac{(6.46)^2 - (2.94)^2}{2 \cdot 9.81} = 1.69~\text{m} \]

Cálculo final de \(h_A\)

Sustituimos todos los términos:

\[ h_A = 38.4 + 1.0 + 1.69 + 1.86 = 42.95~\text{m} \]

Energía suministrada por la bomba:

\[ \text{Energía} = \gamma \cdot h_A = 8.44 \cdot 42.95 = \boxed{362.5~\text{N·m/N}} \]

La bomba suministra aproximadamente 42.9 m de energía al aceite por unidad de peso.

Problema 7.1 – Pérdida de energía en una tubería horizontal

Enunciado:

Una tubería horizontal transporta aceite con gravedad específica \(SG = 0.83\).
Dos manómetros registran:

• \(p_1 = 74.6~\text{psig}\)
  
• \(p_2 = 62.2~\text{psig}\)

Calcular la pérdida de energía entre ambos puntos.

Supuestos y fórmula aplicada

Como la tubería es horizontal y el caudal es constante, se desprecia:

• \(z_1 = z_2 \Rightarrow \Delta z = 0\)
  
• \(v_1 \approx v_2 \Rightarrow \Delta v = 0\)

Entonces, la pérdida de energía por unidad de peso:

\[ h_L = \frac{p_1 - p_2}{\gamma} \]

Donde \(\gamma = SG \cdot \gamma_{\text{agua}} = 0.83 \cdot 62.4 = 51.8~\text{lb/ft}^3\)

Cálculo final de \(h_L\)

\[ \Delta p = 74.6 - 62.2 = 12.4~\text{psi} = 12.4 \cdot 144 = 1785.6~\text{lb/ft}^2 \]

\[ h_L = \frac{1785.6}{51.8} = \boxed{34.47~\text{ft}} \]

La pérdida de energía entre los dos puntos es de 34.47 ft de fluido.

7.5 Potencia requerida para las bombas

• La potencia se define como la rapidez con que se realiza el trabajo.
• En mecánica de fluidos, se transfiere energía al fluido con una determinada rapidez.
• En el SI, la unidad de energía es el joule (J), y la potencia se mide en watts (W):

\[ 1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s} = 1 \, \text{N·m/s} \]

Potencia añadida a un fluido mediante una bomba

La potencia que una bomba añade al fluido se calcula como:

\[ P_A = h_A \cdot \gamma \cdot Q \]

Donde:

\[ \begin{aligned} h_A & : \text{altura de energía [m]} \\ \gamma & : \text{peso específico del fluido [N/m^3]} \\ Q & : \text{caudal volumétrico [m^3/s]} \end{aligned} \]

Ejemplo: cálculo de potencia requerida

Datos del problema:

\[ \begin{aligned} h_A &= 42.9 \, \text{m} \\ \gamma &= 8.44 \times 10^3 \, \text{N/m}^3 \\ Q &= 0.014 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Sustituyendo en la ecuación:

\[ P_A = 42.9 \cdot 8.44 \times 10^3 \cdot 0.014 = 5069 \, \text{W} \]

\[ P_A \approx 5.07 \, \text{kW} \]

7.5.1 Potencia en el sistema de uso común en Estados Unidos

• En el sistema inglés se utiliza la energía en lb·ft y la potencia en lb·ft/s.
• Para convertir a unidades del SI:

\[ 1 \, \text{lb·ft/s} = 1.356 \, \text{W}, \quad 1 \, \text{hp} = 745.7 \, \text{W} \]

La fórmula en unidades inglesas es:

\[ P_A = h_A \cdot \gamma \cdot Q \]

Donde:

\[ \begin{aligned} h_A & : \text{altura [ft]} \\ \gamma & : \text{peso específico [lb/ft^3]} \\ Q & : \text{caudal volumétrico [ft^3/s]} \end{aligned} \]

7.5.2 Eficiencia mecánica de las bombas

• La eficiencia se define como la relación entre la potencia suministrada al fluido y la potencia total entregada por la bomba.
• Parte de la energía se pierde por fricción interna, turbulencia y rozamiento en los componentes.

La eficiencia mecánica se expresa como:

\[ \varepsilon_M = \frac{P_A}{P_I} \]

Donde:

\[ \begin{aligned} P_A & : \text{potencia suministrada al fluido [W]} \\ P_I & : \text{potencia de entrada a la bomba [W]} \end{aligned} \]

Ejemplo: cálculo de eficiencia mecánica

Si se conoce la eficiencia de la bomba, se puede estimar la potencia de entrada requerida:

\[ P_A = 5.07 \, \text{kW}, \quad \varepsilon_M = 0.82 \]

Entonces:

\[ P_I = \frac{P_A}{\varepsilon_M} = \frac{5.07}{0.82} = 6.18 \, \text{kW} \]

• Los valores reales de eficiencia mecánica varían entre 70 % y 90 % en bombas centrífugas.
• Dependen del tipo de fluido, velocidad y condiciones de operación.

Problema de Ejemplo 7.4

A \(10\,^\circ\text{C}\), el agua fluye con una rapidez de \(115\,\text{L/min}\) dentro del motor de fluido.

• Presión en A: \(700\,\text{kPa}\)
  
• Presión en B: \(125\,\text{kPa}\)
  
• Energía perdida por fricción: \(h_L = 4.0\,\text{m}\)
  
• Secciones:
  • Entrada: \(OD = 25\,\text{mm}\), espesor \(= 2.0\,\text{mm}\)
  • Salida: \(OD = 80\,\text{mm}\), espesor \(= 2.8\,\text{mm}\)
• Altura entre puntos: \(z_A - z_B = 1.8\,\text{m}\)

(a) Calcule la potencia suministrada al agua.
(b) Si \(\varepsilon_M = 0.85\), calcule la potencia útil del motor.

Figura 7.10 – Motor de fluido

Ecuación de energía entre A y B

Se aplica la ecuación general:

\[ h_R = \frac{P_A - P_B}{\gamma} + (z_A - z_B) + \frac{v_A^2 - v_B^2}{2g} - h_L \]

Sustitución de datos

1. Diferencia de presiones:

\[ \frac{700 - 125}{9.81 \times 10^3} \times 10^3 = 58.6\,\text{m} \]

2. Altura entre puntos:

\(z_A - z_B = 1.8\,\text{m}\)

Cálculo de caudal y áreas

Caudal volumétrico:

\[ Q = \frac{115}{60 \times 1000} = 1.92 \times 10^{-3}\,\text{m}^3/\text{s} \]

Área en A:

\[ A_A = \frac{\pi}{4} \left(0.021\,\text{m}\right)^2 = 3.464 \times 10^{-4}\,\text{m}^2 \]

Área en B:

\[ A_B = \frac{\pi}{4} \left(0.0744\,\text{m}\right)^2 = 3.447 \times 10^{-3}\,\text{m}^2 \]

Cálculo de velocidades

Velocidad en A:

\[ v_A = \frac{Q}{A_A} = \frac{1.92 \times 10^{-3}}{3.464 \times 10^{-4}} = 5.543\,\text{m/s} \]

Velocidad en B:

\[ v_B = \frac{1.92 \times 10^{-3}}{3.447 \times 10^{-3}} = 0.442\,\text{m/s} \]

Término cinético:

\[ \frac{v_A^2 - v_B^2}{2g} = \frac{(5.543)^2 - (0.442)^2}{2 \cdot 9.81} = 1.56\,\text{m} \]

Cálculo de \(h_R\) y potencia hidráulica

Sustituyendo en la ecuación:

\[ h_R = 58.6 + 1.8 + 1.56 - 4.0 = 57.96\,\text{m} \]

Potencia suministrada al motor:

\[ P_R = h_R \cdot \gamma \cdot Q = 57.96 \cdot 9.81 \times 10^3 \cdot 1.92 \times 10^{-3} = 1092\,\text{W} \]

\[ P_R = 1.092\,\text{kW} \]

Potencia útil del motor

Con eficiencia mecánica:

\[ \varepsilon_M = 0.85 \]

Entonces:

\[ P_O = \varepsilon_M \cdot P_R = 0.85 \cdot 1.092 = 0.928\,\text{kW} \]

Resultado final: El motor puede proporcionar \(P_O = 0.928\,\text{kW}\) de potencia útil.