Conceptos generales del modelo S’ARIMA

MA(q)

En lugar de utilizar valores pasados de la variable de pronóstico en una regresión, un modelo de promedio móvil utiliza errores de pronóstico pasados en un modelo similar a una regresión,

\[y_{t} = c + \varepsilon_t + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \theta_{2}\varepsilon_{t-2} + \dots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q},\]

dónde \(\varepsilon_t\) es ruido blanco. Lo llamamos \(MA(q)\) modelo , un modelo de media móvil de orden \(q\). Por supuesto, no observamos los valores de \(\varepsilon_t\), por lo que no es realmente una regresión en el sentido habitual.

Tenga en cuenta que cada valor de \(y_t\) Puede considerarse como una media móvil ponderada de los últimos errores de pronóstico (aunque los coeficientes normalmente no suman uno). Sin embargo, los modelos de media móvil no deben confundirse con el suavizado de media móvil. Un modelo de media móvil se utiliza para pronosticar valores futuros, mientras que el suavizado de media móvil se utiliza para estimar el ciclo de tendencia de valores pasados.

ARIMA

Si combinamos la diferenciación con la autorregresión y un modelo de media móvil, obtenemos un modelo ARIMA no estacional. ARIMA es el acrónimo de AutoRegressive Integrated Moving Average (en este contexto, «integración» es lo contrario de la diferenciación). El modelo completo puede escribirse como:

\[ y'_{t} = c + \phi_{1}y'_{t-1} + \cdots + \phi_{p}y'_{t-p} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} + \varepsilon_{t}, \tag{1} \]

dónde \(y_t\) es la serie diferenciada (puede haberse diferenciado más de una vez). Los “predictores” del lado derecho incluyen ambos valores rezagados de \(y_t\) y errores rezagados. A esto lo llamamos \(ARIMA(p ,d ,q)\) modelo , donde:

• p = orden de la parte autorregresiva;
• d = grado de primera diferenciación involucrada;
• q = orden de la parte de media móvil.

Las mismas condiciones de estacionariedad e invertibilidad que se utilizan para los modelos autorregresivos y de promedio móvil también se aplican a un modelo ARIMA.

Una vez que empezamos a combinar componentes de esta manera para formar modelos más complejos, es mucho más fácil trabajar con la notación de retroceso. Por ejemplo, la ecuación 1 puede escribirse en notación de retroceso como

\[ (1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_p B^p)(1 - B)^d y_t = c + (1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q)\varepsilon_t \tag{2} \]

Los modelos ARIMA ofrecen otro enfoque para la predicción de series temporales. El suavizado exponencial y los modelos ARIMA son los dos enfoques más utilizados para la predicción de series temporales y ofrecen enfoques complementarios para el problema. Mientras que los modelos de suavizado exponencial se basan en la descripción de la tendencia y la estacionalidad de los datos, los modelos ARIMA buscan describir las autocorrelaciones en los datos.

Antes de presentar los modelos ARIMA, primero debemos analizar el concepto de estacionariedad y la técnica de diferenciación de series de tiempo.

Un ejemplo de representar este modelo ARIMA(2,0,1):

\[ \underbrace{(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_p B^p)}_{\text{AR(p)}} \underbrace{(1 - B)^d}_{\text{Diferenciación d}} y_t = c + \underbrace{(1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q)}_{\text{MA(q)}} \varepsilon_t \tag{3} \]

SARIMA

Hasta ahora, nos hemos centrado en datos no estacionales y en modelos ARIMA no estacionales. Sin embargo, los modelos ARIMA también son capaces de modelar una amplia gama de datos estacionales.

Un modelo ARIMA estacional se forma incluyendo términos estacionales adicionales en los modelos ARIMA vistos hasta ahora. Se escribe de la siguiente manera:

\[ ARIMA \underbrace{(p, d, q)}_{\text{No estacional}} \underbrace{(P, D, Q)_m}_{\text{Estacional}} \] Representación en forma extendida:

\[ y'_t = c + \phi_1 y'_{t-1} + \cdots + \phi_p y'_{t-p} + \Phi_1 y'_{t-s} + \cdots + \Phi_P y'_{t-Ps} + \phi_1 \Phi_1 y'_{t-s-1} + \cdots + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \Theta_1 \varepsilon_{t-s} + \cdots + \Theta_Q \varepsilon_{t-Qs} + \theta_1 \Theta_1 \varepsilon_{t-s-1} + \cdots + \varepsilon_t \]

o la misma en operador de desplazamiento hacia atrás

\[ \underbrace{(1 - \phi_1 B)}_{\text{AR no estacional}}~ \underbrace{(1 - \Phi_1 B^s)}_{\text{AR estacional}}~ \underbrace{(1 - B)^d}_{\text{Diferenciación}}~ \underbrace{(1 - B^s)^D}_{\text{Diferenciación estacional}}~ y_t = \underbrace{(1 + \theta_1 B)}_{\text{MA no estacional}}~ \underbrace{(1 + \Theta_1 B^s)}_{\text{MA estacional}}~ \varepsilon_t \]

\[ \underbrace{(1 - \phi_1 B)}_{\phi_p(B)}~ \underbrace{(1 - \Phi_1 B^s)}_{\Phi_P(B^s)}~ \underbrace{(1 - B)^d}_{(1 - B)^d}~ \underbrace{(1 - B^s)^D}_{(1 - B^s)^D}~ y_t = \underbrace{(1 + \theta_1 B)}_{\theta_q(B)}~ \underbrace{(1 + \Theta_1 B^s)}_{\Theta_Q(B^s)}~ \varepsilon_t \]

o

\[ \phi_p(B)\,\Phi_P(B^s)\,(1 - B)^d\,(1 - B^s)^D\,y_t = \theta_q(B)\,\Theta_Q(B^s)\,\varepsilon_t \]

Donde:

• \(\phi_p(B) = 1 - \phi_1B - \phi_2B^2 - \cdots - \phi_pB^p\) : componente autorregresiva no estacional (AR)
• \(\Phi_P(B^s) = 1 - \Phi_1B^s - \Phi_2B^{2s} - \cdots - \Phi_PB^{Ps}\) : componente autorregresiva estacional (SAR)
• \((1 - B)^d\) : diferenciación ordinaria de orden \(d\)
• \((1 - B^s)^D\) : diferenciación estacional de orden \(D\) con frecuencia \(s\)
• \(\theta_q(B) = 1 + \theta_1B + \theta_2B^2 + \cdots + \theta_qB^q\) : media móvil no estacional (MA)
• \(\Theta_Q(B^s) = 1 + \Theta_1B^s + \Theta_2B^{2s} + \cdots + \Theta_QB^{Qs}\) : media móvil estacional (SMA)
• \(\varepsilon_t\) : término de error aleatorio (ruido blanco)

dónde \(m\) es período estacional (p. ej., número de observaciones por año). Utilizamos notación en mayúsculas para las partes estacionales del modelo y en minúsculas para las no estacionales.

La parte estacional del modelo consta de términos similares a los componentes no estacionales del modelo, pero que implican retrodesplazamientos del período estacional. Por ejemplo, un \(ARIMA(1,1,1)(1,1,1)[4]\). El modelo (sin constante) es para datos trimestrales \((m=4)\), y se puede escribir como:

\[ (1 - \phi_{1}B)~(1 - \Phi_{1}B^{4}) (1 - B) (1 - B^{4})y_{t} = (1 + \theta_{1}B)~ (1 + \Theta_{1}B^{4})\varepsilon_{t}. \]

Los términos estacionales adicionales simplemente se multiplican por los términos no estacionales.