Problema 1. Enfermedades en una población

Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se sabe que:

Se pide encontrar la probabilidad de que una persona no contraiga ninguna enfermedad.

Solución

Sean los eventos:

  • \(A\): La persona contrae la enfermedad I → \(P(A) = 0.10\)
  • \(B\): La persona contrae la enfermedad II → \(P(B) = 0.15\)
  • \(P(A \cap B) = 0.03\): La persona contrae ambas enfermedades

Queremos calcular:

\[ P(\text{ninguna enfermedad}) = P(A^c \cap B^c) \]

Por la fórmula del complemento:

\[ P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) \]

Y por la fórmula de la unión de dos eventos:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Sustituimos los valores conocidos:

\[ P(A \cup B) = 0.10 + 0.15 - 0.03 = 0.22 \]

La probabilidad de que una persona no contraiga ninguna de las dos enfermedades se obtiene aplicando la regla del complemento:

\[ P(\text{ninguna enfermedad}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.22 = 0.78 \]

Problema 2. Bolígrafos sin reposición

Se extraen 3 bolígrafos sin reposición de una caja que contiene:

Total: \(4 + 3 + 3 = 10\) bolígrafos

Queremos calcular la probabilidad de que al menos uno de los bolígrafos extraídos sea rojo.

Solución

Usamos la regla del complemento:

\[ P(\text{al menos un rojo}) = 1 - P(\text{ningún rojo}) \]

Total de formas posibles de extraer 3 bolígrafos sin reposición de 10:

\[ \text{Casos totales} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]

Si queremos ningún bolígrafo rojo, solo podemos elegir entre los 7 no rojos (4 negros + 3 azules). Entonces:

\[ \text{Casos favorables (ningún rojo)} = \binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]

Probabilidad de que ninguno sea rojo:

\[ P(\text{ningún rojo}) = \frac{35}{120} \]

Probabilidad de que al menos uno sea rojo:

\[ P(\text{al menos un rojo}) = 1 - \frac{35}{120} = \frac{85}{120} = \frac{17}{24} \]

La probabilidad de que al menos uno de los bolígrafos extraídos sea rojo es:

\[ \boxed{\frac{17}{24} \approx 0.7083} \]

Problema 3. Bolígrafos con reposición

Se extraen 3 bolígrafos con reposición de una caja que contiene:

Total: \(4 + 3 + 3 = 10\) bolígrafos

Queremos calcular la probabilidad de que al menos uno de los bolígrafos extraídos sea rojo.

Solución

Usamos la regla del complemento:

\[ P(\text{al menos un rojo}) = 1 - P(\text{ningún rojo}) \]

Como se extrae con reposición, los eventos son independientes.
Probabilidad de que un solo bolígrafo no sea rojo:

\[ P(\text{no rojo}) = \frac{4 + 3}{10} = \frac{7}{10} \]

Entonces, la probabilidad de que ninguno de los tres bolígrafos sea rojo (es decir, que los tres no sean rojos):

\[ P(\text{ningún rojo}) = \left( \frac{7}{10} \right)^3 = \frac{343}{1000} \]

Finalmente, la probabilidad de que al menos uno sea rojo:

\[ P(\text{al menos un rojo}) = 1 - \frac{343}{1000} = \frac{657}{1000} \]

La probabilidad de que al menos uno de los bolígrafos extraídos sea rojo es:

\[ \boxed{\frac{657}{1000} = 0.657} \]

Gráfico en Python

Problema 4. Probabilidad condicional: Hombre que no fuma

En una empresa hay 300 empleados distribuidos así:

Los fumadores son:

Se elige un empleado al azar y se sabe que es hombre.
Queremos calcular la probabilidad de que no fume.

Solución

Usamos probabilidad condicional.
Como ya sabemos que el empleado es hombre, el espacio muestral se reduce a los 120 hombres.

Sabemos que:

  • Total de hombres: \(120\)
  • Hombres que fuman: \(50\)
  • Hombres que no fuman: \(120 - 50 = 70\)

Entonces, la probabilidad de que un hombre no fume es:

\[ P(\text{no fuma} \mid \text{hombre}) = \frac{70}{120} \]

Simplificando:

\[ \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0.5833 \]

\[ \boxed{P(\text{no fuma} \mid \text{hombre}) = \frac{7}{12} \approx 0.5833} \]

Problema 5. Teorema de Bayes: Directivo y comunicador

En una empresa:

Se elige un empleado al azar y se sabe que es directivo.
Queremos encontrar la probabilidad de que sea comunicador social.

Solución

Definimos los eventos:

  • \(C\): ser comunicador social
  • \(P\): ser psicólogo
  • \(N\): no ser psicólogo ni comunicador
  • \(D\): ser directivo

Paso 1: Datos en términos de probabilidad

  • \(P(C) = 0.10\)
  • \(P(P) = 0.15\)
  • \(P(N) = 1 - P(C) - P(P) = 1 - 0.10 - 0.15 = 0.75\)

Probabilidades condicionales de ser directivo:

  • \(P(D \mid C) = 0.20\)
  • \(P(D \mid P) = 0.25\)
  • \(P(D \mid N) = 0.10\)

Paso 2: Aplicamos la regla de la probabilidad total para \(P(D)\)

\[ P(D) = P(D \mid C) \cdot P(C) + P(D \mid P) \cdot P(P) + P(D \mid N) \cdot P(N) \]

Sustituyendo:

\[ P(D) = (0.20)(0.10) + (0.25)(0.15) + (0.10)(0.75) \]

\[ P(D) = 0.02 + 0.0375 + 0.075 = 0.1325 \]

Paso 3: Aplicamos el Teorema de Bayes para \(P(C \mid D)\)

\[ P(C \mid D) = \frac{P(D \mid C) \cdot P(C)}{P(D)} \]

\[ P(C \mid D) = \frac{0.20 \cdot 0.10}{0.1325} = \frac{0.02}{0.1325} \]

\[ P(C \mid D) \approx 0.1509 \]

La probabilidad de que un empleado directivo sea comunicador social es:

\[ \boxed{P(C \mid D) \approx 0.1509} \]

Problema 6. Probabilidad condicional: Ibuprofeno y paracetamol

En un estudio realizado en la zona de Turbaco, se detecta que:

Se escoge una persona al azar y se sabe que toma ibuprofeno.
Queremos saber: ¿Cuál es la probabilidad de que también tome paracetamol?

Solución

Definimos los eventos:

  • \(I\): la persona toma ibuprofeno
  • \(P\): la persona toma paracetamol

Queremos calcular:

\[ P(P \mid I) \]

Sabemos que:

  • \(P(I) = 0.48\)
  • \(P(P) = 0.33\)
  • \(P(I \cap P) = 0.22\)

Usamos la fórmula de la probabilidad condicional:

\[ P(P \mid I) = \frac{P(I \cap P)}{P(I)} = \frac{0.22}{0.48} \]

Simplificando:

\[ P(P \mid I) = \frac{11}{24} \approx 0.4583 \]

La probabilidad de que una persona que toma ibuprofeno también tome paracetamol es:

\[ \boxed{\frac{11}{24} \approx 0.4583} \]

Problema 7. Probabilidad condicional: No toma paracetamol, ¿toma ibuprofeno?

En un estudio realizado en la zona de Turbaco, se detecta que:

Se escoge una persona al azar y se sabe que no toma paracetamol.
Queremos saber: ¿Cuál es la probabilidad de que tome ibuprofeno?

Solución

Definimos los eventos:

  • \(I\): la persona toma ibuprofeno
  • \(P\): la persona toma paracetamol

Nos interesa calcular:

\[ P(I \mid P^c) \]

Donde \(P^c\) significa “no toma paracetamol”.

Paso 1: Datos conocidos

  • \(P(I) = 0.48\)
  • \(P(P) = 0.33\)
  • \(P(I \cap P) = 0.22\)

Entonces, podemos deducir:

  • \(P(P^c) = 1 - P(P) = 0.67\)
  • \(P(I \cap P^c) = P(I) - P(I \cap P) = 0.48 - 0.22 = 0.26\)

Paso 2: Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicional

\[ P(I \mid P^c) = \frac{P(I \cap P^c)}{P(P^c)} = \frac{0.26}{0.67} \]

Simplificando:

\[ P(I \mid P^c) \approx 0.3881 \]

La probabilidad de que una persona que no toma paracetamol sí tome ibuprofeno es:

\[ \boxed{P(I \mid P^c) = \frac{26}{67} \approx 0.3881} \]

Problema 8. Probabilidad bayesiana y cálculo de urnas

Tenemos 100 urnas de tres tipos:

Se elige una urna al azar y se extrae una bola.
La primera extracción da una bola blanca, se devuelve, y se realiza una segunda extracción, que da una bola negra.

Nos dan dos probabilidades:

Y se pide calcular el número de urnas del tercer tipo, sabiendo que hay en total 100 urnas.

Solución paso a paso

Denotamos:

  • \(x\): número de urnas tipo I
  • \(y\): número de urnas tipo II
  • \(z\): número de urnas tipo III

Sabemos que:

\[ x + y + z = 100 \tag{1} \]

Probabilidad de obtener una bola blanca:

  • Tipo I: \(P(B \mid U_1) = \frac{8}{10} = 0.8\)
  • Tipo II: \(P(B \mid U_2) = \frac{4}{10} = 0.4\)
  • Tipo III: \(P(B \mid U_3) = \frac{1}{10} = 0.1\)

Por la probabilidad total:

\[ P(B) = 0.8 \cdot \frac{x}{100} + 0.4 \cdot \frac{y}{100} + 0.1 \cdot \frac{z}{100} \]

Ahora aplicamos el teorema de Bayes:

Paso 1: Usamos que \(P(U_1 \mid B) = \frac{16}{39}\)

Aplicando Bayes:

\[ P(U_1 \mid B) = \frac{P(B \mid U_1) \cdot P(U_1)}{P(B)} = \frac{0.8 \cdot \frac{x}{100}}{P(B)} = \frac{16}{39} \]

Reescribimos \(P(B)\) desde arriba:

\[ P(B) = \frac{0.8x + 0.4y + 0.1z}{100} \]

Sustituimos:

\[ \frac{0.8 \cdot \frac{x}{100}}{\frac{0.8x + 0.4y + 0.1z}{100}} = \frac{16}{39} \]

Multiplicamos numerador y denominador por 100:

\[ \frac{0.8x}{0.8x + 0.4y + 0.1z} = \frac{16}{39} \tag{2} \]

Paso 2: Usamos que \(P(U_2 \mid N) = \frac{30}{61}\)

Probabilidades de extraer bola negra:

  • Tipo I: \(P(N \mid U_1) = \frac{2}{10} = 0.2\)
  • Tipo II: \(P(N \mid U_2) = \frac{6}{10} = 0.6\)
  • Tipo III: \(P(N \mid U_3) = \frac{9}{10} = 0.9\)

Entonces:

\[ P(N) = \frac{0.2x + 0.6y + 0.9z}{100} \]

Aplicamos Bayes:

\[ P(U_2 \mid N) = \frac{0.6 \cdot \frac{y}{100}}{P(N)} = \frac{30}{61} \]

Multiplicamos numerador y denominador por 100:

\[ \frac{0.6y}{0.2x + 0.6y + 0.9z} = \frac{30}{61} \tag{3} \]

Paso 3: Resolver el sistema

De la ecuación (1):

\[ z = 100 - x - y \]

Sustituimos en (2):

\[ \frac{0.8x}{0.8x + 0.4y + 0.1(100 - x - y)} = \frac{16}{39} \]

Multiplicamos numerador y denominador:

\[ \frac{0.8x}{0.8x + 0.4y + 10 - 0.1x - 0.1y} = \frac{16}{39} \]

Simplificamos:

\[ \frac{0.8x}{(0.8 - 0.1)x + (0.4 - 0.1)y + 10} = \frac{16}{39} \Rightarrow \frac{0.8x}{0.7x + 0.3y + 10} = \frac{16}{39} \tag{4} \]

Ahora la ecuación (3) también con \(z = 100 - x - y\):

\[ \frac{0.6y}{0.2x + 0.6y + 0.9(100 - x - y)} = \frac{30}{61} \]

Expandimos:

\[ \frac{0.6y}{0.2x + 0.6y + 90 - 0.9x - 0.9y} = \frac{30}{61} \Rightarrow \frac{0.6y}{-0.7x - 0.3y + 90} = \frac{30}{61} \tag{5} \]

Paso 4: Resolver el sistema con ecuaciones (4) y (5)

Usamos software o álgebra:

De (4): \[ \frac{0.8x}{0.7x + 0.3y + 10} = \frac{16}{39} \Rightarrow 39 \cdot 0.8x = 16(0.7x + 0.3y + 10) \Rightarrow 31.2x = 11.2x + 4.8y + 160 \Rightarrow 20x - 4.8y = 160 \tag{6} \]

De (5): \[ \frac{0.6y}{-0.7x - 0.3y + 90} = \frac{30}{61} \Rightarrow 61 \cdot 0.6y = 30(-0.7x - 0.3y + 90) \Rightarrow 36.6y = -21x - 9y + 2700 \Rightarrow 45.6y + 21x = 2700 \tag{7} \]

Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones

Usamos ecuaciones (6) y (7):

Ecuación (6):

\[ 20x - 4.8y = 160 \Rightarrow x = \frac{160 + 4.8y}{20} \]

Sustituimos en (7):

\[ 45.6y + 21 \left(\frac{160 + 4.8y}{20}\right) = 2700 \Rightarrow 45.6y + \frac{3360 + 100.8y}{20} = 2700 \Rightarrow 45.6y + 5.04y + 168 = 2700 \Rightarrow 50.64y = 2532 \Rightarrow y = 50 \]

Ahora usamos (1):
\[ x + y + z = 100 \Rightarrow x + 50 + z = 100 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow z = 30 \]

El número de urnas del tercer tipo es:

\[ \boxed{30} \]

Problema 9. Asesores financieros

Una empresa consulta a tres asesores financieros para decidir si debe adquirir un paquete de acciones.

Cada asesor da su opinión de manera independiente, y se conoce la probabilidad de que recomienden comprar:

Queremos calcular la probabilidad de que ninguno de ellos aconseje la compra.

Solución

Queremos calcular:

\[ P(\text{ninguno recomienda la compra}) = P_1^c \cdot P_2^c \cdot P_3^c \]

Donde:

  • \(P_1^c = 1 - 0.8 = 0.2\)
  • \(P_2^c = 1 - 0.5 = 0.5\)
  • \(P_3^c = 1 - 0.3 = 0.7\)

Multiplicamos las probabilidades:

\[ P(\text{ninguno recomienda}) = 0.2 \cdot 0.5 \cdot 0.7 = 0.07 \]

La probabilidad de que ninguno de los asesores recomiende adquirir el paquete de acciones es:

\[ \boxed{0.07} \]

Problema 10. Estudiantes cualificados y no cualificados

Una empresa de trabajo temporal clasifica a los solicitantes en cualificados y no cualificados para el empleo que solicitan.

Del estudio se sabe que:

Queremos saber si un solicitante es universitario, ¿qué porcentaje de ellos no estaba cualificado?

Solución

Sea:

  • \(C\): ser cualificado
  • \(\bar{C}\): ser no cualificado
  • \(U\): ser universitario

Sabemos:

  • \(P(C) = 0.25 \Rightarrow P(\bar{C}) = 0.75\)
  • \(P(U \mid C) = 0.20\)
  • \(P(U \mid \bar{C}) = 0.40\)

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular \(P(U)\):

\[ P(U) = P(U \mid C) \cdot P(C) + P(U \mid \bar{C}) \cdot P(\bar{C}) \\ P(U) = 0.20 \cdot 0.25 + 0.40 \cdot 0.75 = 0.05 + 0.30 = 0.35 \]

Ahora, queremos encontrar:

\[ P(\bar{C} \mid U) = \frac{P(U \mid \bar{C}) \cdot P(\bar{C})}{P(U)} = \frac{0.40 \cdot 0.75}{0.35} = \frac{0.30}{0.35} = \frac{6}{7} \]

El porcentaje de universitarios que no estaban cualificados para los puestos que solicitaban es:

\[ \boxed{\frac{6}{7} \approx 85.71\%} \]

Gráfico generado en R

# Datos condicionales: dentro del grupo de universitarios
labels <- c("Cualificado", "No cualificado")
valores <- c(0.05 / 0.35, 0.30 / 0.35)
colores <- c("#66b3ff", "#ff9999")

# Gráfico de pastel
pie(valores,
    labels = paste0(labels, ": ", round(100 * valores, 1), "%"),
    col = colores,
    main = "Condición de los estudiantes universitarios\nrespecto a su cualificación"
)
Condición de los estudiantes universitarios respecto a su cualificación

Condición de los estudiantes universitarios respecto a su cualificación