🎯 Conocer el concepto de recta en el plano cartesiano y su representación algebraica.
📘 En el plano cartesiano, se denomina recta al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación:
\[y = mx + b\]
(1) \(m \in \mathbb{R}\) corresponde a la pendiente de la recta, la que indica la magnitud y sentido de la inclinación de la recta respecto al eje x.
(2) \(b \in \mathbb{R}\) corresponde al coeficiente de posición, el cual indica el valor de la ordenada del punto \((0,b)\) donde la recta intersecta al eje y.
🔍 E1. ¿Qué pasa con la inclinación de la recta a medida que \(m\) va desde \(0\) a \(5\).
La recta pasa de ser horizontal a ser creciente. A medida que aumenta \(m > 0\), el ángulo que forma la recta con el eje \(x\) también se incrementa.
🔍 E2. ¿Qué pasa con la inclinación de la recta a medida que \(m\) va desde \(0\) a \(-5\).
La recta pasa de ser horizontal a ser decreciente. A medida que disminuye \(m<0\), el ángulo que forma la recta con el eje \(y\) también disminuye.
🔍 E3. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y=3x-9\).
(1) La pendiente es \(m=3\).
(2) El coeficiente de posición es \(b=-9\).
🔍 E4. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y=-\dfrac{x}{2}+4\).
(1) La pendiente es \(m=-\dfrac{1}{2}\).
(2) El coeficiente de posición es \(b=4\).
🔍 E5. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(4y=5x-1\).
(1) Despejar \(y\).
\(\Rightarrow\) \(4y=5x-1\)
\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}\)
(2) La pendiente es \(m=\dfrac{5}{4}\).
(3) El coeficiente de posición es \(b=-\dfrac{1}{4}\).
🔍 E6. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(2(y+3)=5(x-4)\).
(1) Despejar \(y\).
\(\Rightarrow\) \(2(y+3)=5(x-4)\)
\(\Rightarrow\) \(2y+6 = 5x - 20\)
\(\Rightarrow\) \(2y = 5x - 20 - 6\)
\(\Rightarrow\) \(2y = 5x - 26\)
\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{5}{2}x - \dfrac{26}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{5}{2}x - 13\)
(2) La pendiente es \(m=\dfrac{5}{2}\).
(3) El coeficiente de posición es \(b=-13\).
🔍 E7. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{2y - 1}{3} = x + 4\).
(1) Despejar \(y\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2y - 1}{3} = x + 4\)
\(\Rightarrow\) \(2y - 1 = 3(x + 4)\)
\(\Rightarrow\) \(2y - 1 = 3x + 12\)
\(\Rightarrow\) \(2y = 3x + 12 + 1\)
\(\Rightarrow\) \(2y = 3x + 13\)
\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{13}{2}\)
(2) La pendiente es \(m=\dfrac{3}{2}\).
(3) El coeficiente de posición es \(b=\dfrac{13}{2}\).
🔍 E8. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{2y - 3}{5} = \dfrac{3x + 1}{2}\).
(1) Despejar \(y\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2y - 3}{5} = \dfrac{3x + 1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(2(2y - 3) = 5(3x + 1)\)
\(\Rightarrow\) \(4y - 6 = 15x + 5\)
\(\Rightarrow\) \(4y = 15x + 5 + 6\)
\(\Rightarrow\) \(4y = 15x + 11\)
\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{15}{4}x + \dfrac{11}{4}\)
(2) La pendiente es \(m=\dfrac{15}{4}\).
(3) El coeficiente de posición es \(b=\dfrac{11}{4}\).
🔍 E9. Determinar el punto de intersección de la recta \(y = 5x - 8\) con el eje \(y\).
(1) El coeficiente de posición es \(b=-8\).
(2) El punto de intersección de la recta con el eje \(y\) es \((0,b)=(0,-8)\).
🔍 E10. Una recta de pendiente \(m=8\) intersecta al eje \(y\) en el punto \((0,-4)\). ¿Cuál es la ecuación que representa a dicha recta?
(1) La pendiente es \(m=8\).
(2) El punto de intersección de la recta con el eje \(y\) es \((0,-4)=(0,b)\), por lo que el coeficiente de posición es \(b=-4\).
(3) La recta es \(y=8x-4\)
I. Determinar la pendiente y el coeficiente de posición en cada caso.
II. Dada la pendiente y el coeficiente de posición, determine la ecuación de la recta en cada caso.
✏️ E1. Pendiente \(m = 3\) y coeficiente de posición \(b = -2\)
✏️ E2. Pendiente \(m = -\dfrac{5}{4}\) y coeficiente de posición \(b = \dfrac{7}{3}\)
✏️ E3. Pendiente \(m = -2\) y coeficiente de posición \(b = 5\)
✏️ E4. Pendiente \(m = \dfrac{1}{6}\) y coeficiente de posición \(b = -\dfrac{2}{3}\)
✏️ E5. Pendiente \(m = -1\) y coeficiente de posición \(b = 4\)
III. Determine el punto de intersección con el eje \(y\) para cada recta dada.
✏️ E1. \(y = 3x + 5\)
✏️ E2. \(5y = 10x - 15\)
✏️ E3. \(-4x + y = 8\)
✏️ E4. \(\dfrac{1}{2}y - x = 3\)
✏️ E5. \(\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{x+2}{3}\)
⁉️ P1. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(y = -3x + 5\)?
⁉️ P2. ¿Cuál es el coeficiente de posición de la recta \(4y = 18x - 4\)?
⁉️ P3. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(3(y - 2) = 5(x - 6)\)?
⁉️ P4. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{y - 3}{x + 4}\)?
⁉️ P5. ¿Cuál es el coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{x + 4}{6} = \dfrac{y - 7}{2}\)?
⁉️ P6. ¿Qué ecuación tiene pendiente \(m = 3\) y coeficiente de posición \(b = 7\)?
⁉️ P7. ¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = 2x - 3\) con el eje \(y\)?
⁉️ P8. ¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(3(y - 3) = 2(x - 1)\) con el eje \(y\)?
⁉️ P9. ¿Cuál es la ecuación que representa a la recta de pendiente \(m=-3\) y que intersecta al eje \(y\) en \((0,-5)\).
🧠 En el plano cartesiano, se denomina recta al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación \(y = mx + b\)
🧠 La pendiente \(m \in \mathbb{R}\) indica la magnitud y el sentido de la inclinación de la recta respecto al eje \(x\).
🧠 Si \(m > 0\), la recta es creciente; si \(m < 0\), la recta es decreciente. Si \(m = 0\), la recta es horizontal.
🧠 El coeficiente de posición \(b \in \mathbb{R}\) representa la ordenada del punto \((0, b)\), donde la recta intersecta al eje \(y\).
🎯 Comprender la forma algebraica de las ecuaciones de rectas horizontales y verticales.
📐 Si \(m = 0\), la recta es horizontal y su ecuación es de la forma:
\[y = b\]
📐 Si \(m = \infty\), la recta es vertical y su ecuación es de la forma:
\[x = a\]
🔍 E1. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y = 5\).
La recta \(y = 5\) es horizontal, por lo que su pendiente es \(m=0\) y el coeficiente de posición es \(b=5\).
🔍 E2. Determinar la pendiente de la recta \(x = -2\).
I. Determinar si la pendiente es cero o infinita en cada caso.
⁉️ P1. Un gráfico muestra la ecuación \(x = -3\). ¿Qué tipo de pendiente representa esta recta?
⁉️ P2. La recta está dada por la ecuación \(3(y - 4) = 0\). ¿Cuál es su pendiente?
⁉️ P3. ¿Qué pendiente tiene la recta definida por \(\dfrac{y - 2}{4} = 0\)?
⁉️ P4. ¿Qué tipo de recta representa la ecuación \(5(x - 1) = 0\)?
⁉️ P5. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(y = 0\)?
🧠 Si \(m = 0\), la recta es horizontal y su ecuación se expresa como \(y = b\).
🧠 Si \(m = \infty\) la recta es vertical y su ecuación se expresa como \(x = a\).
🎯 Representar gráficamente rectas en el plano cartesiano a partir de sus ecuaciones lineales y reconocer sus características a partir de la pendiente y el coeficiente de posición.
📘 La gráfica de una recta en el plano cartesiano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal. En términos de conjunto, se puede expresar como:
\[ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = mx + b\right\} \]
donde \(m\) representa la pendiente de la recta y \(b\) el coeficiente de posición sobre el eje \(y\).
📐 Para graficar una recta de la forma \(y = mx + b\) en el plano cartesiano, se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Identificar el valor del coeficiente de posición \(b\) y graficarlo como el punto \((0, b)\) sobre el eje \(y\).
2. Desde \((0,b)\) avanzar una unidad a la derecha y luego subir o bajar según indique el valor de la pendiente \(m\).
3. Marcar la posición resultante del paso anterior como el segundo punto de la recta.
4. Unir los dos puntos con una línea recta extendida en ambas direcciones para completar la gráfica de la recta.
🔍 E1. Gráficar la recta \(y=3x-2\)
🔍 E2. Gráficar la recta \(y=-6x+4\)
🔍 E3. Determinar la ecuación de la recta de la siguiente gráfica.
(1) Coeficiente de posición \(b=1\).
(2) Pendiente \(m=4\).
(3) Recta \(y=4x+1\).
🔍 E4. Determinar la ecuación de la recta de la siguiente gráfica.
(1) Coeficiente de posición \(b=5\).
(2) Pendiente \(m=-2\).
(3) Recta \(y=-2x+5\).
I. Construir las gráficas de las siguientes rectas.
II. Construir las ecuaciones de las rectas \(L_1,L_2,L_3,L_4\) y \(L_5\) a partir de sus gráficas.
🎯 Determinar el punto de intersección entre dos rectas.
📘 La intersección de dos rectas es el punto donde ambas rectas se cortan o coinciden. Para encontrar este punto, se igualan las ecuaciones de ambas rectas y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. Este punto tiene coordenadas \((x,y)\) y corresponde a la solución del sistema.
📐 Dos rectas coplanares con distinta pendiente siempre se intersectan en un único punto.
📐 Dos rectas coplanares con la misma pendiente nunca se intersectan, a menos que sean coincidentes. A estas rectas se les denomina \(paralelas\).
🔍 E1. Determinar el punto de intersección de las rectas \(y=2x+3\) e \(y=-x+9\).
(1) Igualamos las dos ecuaciones para encontrar el punto de intersección:
\(\Rightarrow\) \(2x + 3 = -x + 9\)
\(\Rightarrow\) \(2x + x = 9 - 3\)
\(\Rightarrow\) \(3x=6\)
\(\Rightarrow\) \(x=2\)
(2) Sustituimos el valor de \(x\) en una de las ecuaciones para hallar \(y\):
\(\Rightarrow\) \(y = 2x + 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 2 \cdot 2 + 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 4 + 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 7\)
(3) El punto de intersección es:
\(\Rightarrow\) \((2,7)\)
🔍 E2. Determinar el punto de intersección de las rectas \(y=-3x+7\) e \(y=2x+9\).
(1) Igualamos las dos ecuaciones para encontrar el punto de intersección:
\(\Rightarrow\) \(-3x + 7 = 2x + 9\)
\(\Rightarrow\) \(-3x - 2x = 9 - 7\)
\(\Rightarrow\) \(-5x = 2\)
\(\Rightarrow\) \(x = -\dfrac{2}{5}\)
(2) Sustituimos el valor de \(x\) en una de las ecuaciones para hallar \(y\):
\(\Rightarrow\) \(y = 2 x+ 9\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right) + 9\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = -\dfrac{4}{5} + 9\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = \dfrac{41}{5}\)
(3) El punto de intersección es:
\(\Rightarrow\) \(\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{41}{5}\right)\)
🔍 E3. Determinar el punto de intersección de las rectas \(x=7\) e \(y=11x-2\).
(1) Como la recta vertical \(x=7\) tiene valor constante para \(x\), sustituimos directamente en la segunda ecuación:
\(\Rightarrow\) \(y = 11 \cdot 7 - 2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 77 - 2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 75\)
(2) El punto de intersección es:
\(\Rightarrow\) \((7, 75)\)
🔍 E4. Determinar el punto de intersección de las rectas \(y=-4\) e \(y=8x-1\).
(1) Igualamos las dos ecuaciones para encontrar el valor de \(x\):
\(\Rightarrow\) \(-4 = 8x - 1\)
\(\Rightarrow\) \(8x = -4 + 1\)
\(\Rightarrow\) \(8x = -3\)
\(\Rightarrow\) \(x = -\dfrac{3}{8}\)
(2) El valor de \(y\) es constante en la recta horizontal:
\(\Rightarrow\) \(y = -4\)
(3) El punto de intersección es:
\(\Rightarrow\) \(\left(-\dfrac{3}{8}, -4\right)\)
🔍 E5. Determinar el punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones \(2y=6x-8\) y \(5(y-2)=3(x-1)\).
(1) Primero, despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\(\Rightarrow\) \(2y = 6x - 8\)
\(\Rightarrow\) \(y = 3x - 4\)
(2) Expandimos la segunda ecuación:
\(\Rightarrow\) \(5y - 10 = 3x - 3\)
\(\Rightarrow\) \(5y = 3x - 3 + 10\)
\(\Rightarrow\) \(5y = 3x + 7\)
\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{3x + 7}{5}\)
(3) Igualamos las dos expresiones de \(y\) para encontrar \(x\):
\(\Rightarrow\) \(3x - 4 = \dfrac{3x + 7}{5}\)
\(\Rightarrow\) \(5(3x - 4) = 3x + 7\)
\(\Rightarrow\) \(15x - 20 = 3x + 7\)
\(\Rightarrow\) \(15x - 3x = 7 + 20\)
\(\Rightarrow\) \(12x = 27\)
\(\Rightarrow\) \(x = \dfrac{27}{12}\bigg|_3\)
\(\Rightarrow\) \(x = \dfrac{9}{4}\)
(4) Sustituimos el valor de \(x\) en una de las ecuaciones para hallar \(y\):
\(\Rightarrow\) \(y = 3 x - 4\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = 3 \cdot \dfrac{9}{4} - 4\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = \dfrac{27}{4} - 4\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{y} = \dfrac{11}{4}\)
(5) El punto de intersección es:
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{27}{4}; \dfrac{11}{4}\right)\)
IV. Determinar el punto de intersección de las siguientes rectas.
✏️ E1. \(y=3x-2\) e \(y=-x+6\)
✏️ E2. \(2x+3y=12\) e \(y=2x+1\)
✏️ E3. \(x=12\) e \(y=5x+3\)
✏️ E4. \(y=6\) e \(y=-4x+2\)
✏️ E5. \(3(y-1)=2(x+3)\) e \(4x-2y=8\)
✏️ E6. \(y=\dfrac{3}{2}x-4\) e \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)
✏️ E7. \(4y-3x=10\) e \(2x+y=1\)
✏️ E8. \(y+3=4(x-1)\) e \(y=2x-5\)
✏️ E9. \(y=0\) e \(x-2y=4\)
✏️ E10. \(5x+2y=20\) e \(3x-4y=6\)
⁉️ P1. Determina el punto de intersección de las rectas \(y=2x+3\) e \(y= -x+9\).
⁉️ P2. ¿Cuál es el punto de intersección entre la recta \(y=-3\) y la recta \(y=5x+2\)?
⁉️ P3. Encuentra la coordenada \(y\) en la intersección de \(x=2\) e \(y=4x-5\).
⁉️ P4. Para las rectas \(2y=4x+6\) y \(y=2x-1\), ¿qué relación tienen?
🎯 Determinar la pendiente de una recta dado dos de sus puntos.
📘 Sean \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\) dos puntos de una recta, la pendiente de la recta que los contiene se determina mediante la expresión:
\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
🔍 E1. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((2,3)\) y \((4,9)\).
(1) Aplicamos expresión para calcular pendiente.
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{9-3}{4-1}\)
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{6}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(m=2\)