SARIMA Model Simulation

NAMA : Fikri Rizal Dhiya Ul Haq Sandyka Putra
NRP : 5003221105
KELAS : Pengantar Analisis Deret Waktu

Model yang digunakan adalah:

SARIMA(0,0,0)(2,1,0)^12

Persamaan model Backshift Operatornya adalah: \[ (1 - \Phi_1 B^{12} - \Phi_2 B^{24}) (1-B^{12})y_t = a_t \] atau persamaan eksplisitnya menjadi sebagai berikut: \[ y_t = y_{t-12} + \Phi_1 y_{t-12} - \Phi_1 y_{t-24} + \Phi_2 y_{t-24} - \Phi_2 y_{t-36} + a_t \]

Simulasi Manual

dilakukan dengan men-generate data dari model, dengan menentukan parameternya terlebih dahulu

library("forecast")
library("tseries")

set.seed(105)
n = 500
at = rnorm(n,mean = 0, sd = 1)
Phi1 = 0.6
Phi2 = -0.5
n_burn_in = 100

masukkan ke dalam model.
untuk inisialisasi y1 sampai y36 sama dengan 0 dan ditambahkan periode burn-in

y = numeric(n)

y[1:36] = 0

for (t in 37:n) {
  y[t] <- y[t-12] + Phi1 * y[t-12] - Phi1 * y[t-24] + Phi2 * y[t-24] - Phi2 * y[t-36] + at[t]
}
y=y[n_burn_in:n]

ts.plot(y, main="Plot Time Series")

diatas ini adalah plot asli dari data hasil simulasi sebelum didfferencing. terlihat membentuk pola seasonal

ydiff=diff(y,12,1)
ts.plot(ydiff)

Diatas ini adalah plot setelah didifferencing 1 kali.
Bisa dilihat dari plot yang terbentuk terdapat pola seasonal dan data cukup stasioner.

par(mfrow=c(1,2))
Acf(ydiff,50, main="Plot ACF")
Pacf(ydiff,50, main="Plot PACF")

Interpretasi

berdasarkan plot ACF bisa dilihat bahwa terdapat pola seasonal pada lag seasonalnya (kelipatan 12) dan dies down slowly.
sedangkan pada plot PACF-nya cuts off setelah lag seasonal ke-2 (lag 24).
hasil ini sudah sesuai dengan teori model SARIMA(0,0,0)(2,1,0)

Simulasi otomatis

menggunakan arima.sim

tsmodel1 = list(
  order = c(0, 0, 0),
  seasonal = list(order = c(2, 1, 0), 
    period = 12),
  sar = c(Phi1, Phi2))

ts.sim1 <- arima.sim(
  n = n,
  model = tsmodel1,
  rand.gen = function(n, ...) {set.seed(105); rnorm(n, mean = 0, sd = 1)},
  n.start = n_burn_in
)
ts.plot(ts.sim1, main = "Plot Time Series")

ts.sim1diff=diff(ts.sim1,12,1)
ts.plot(ts.sim1diff)

par(mfrow=c(1,2))
Acf(ts.sim1diff,50, main="Plot ACF")
Pacf(ts.sim1diff,50, main="Plot PACF")

Interpretasi:

hasil plot ACF & PACF sedikit berbeda dengan hasil sebelumnya. dimana kali ini pada plot ACF terlihat cuts off pada lag seasonal pertama. sedangkan pada plot PACF terlihat dies down. hasil dari simulasi manual dan otomatis menggunakan arima.sim bisa berbeda karena beberapa kemungkinan bisa karena perbedaan pembangkitan data,perbedaan inisialisasi data awal, dan penanganan periode burn-in.

Tanpa Differencing

modelnya menjadi sebagai berikut \[ (1 - \Phi_1 B^{12} - \Phi_2 B^{24})y_t = a_t \] sehingga persamaan eksplisitnya menjadi \[ y_t = \Phi_1 y_{t-12} + \Phi_2 y_{t-24} + a_t \]

Simulasi Manual

y2 = numeric(n)

y2[1:24] = 0

for (t in 24+1:n) {
  y2[t] <- Phi1 * y2[t-12] + Phi2 * y2[t-24] + at[t]
}
y2=y2[n_burn_in:n]

ts.plot(y2, main="Plot Time Series")

par(mfrow=c(1,2))
Acf(y2,50, main="Plot ACF")
Pacf(y2,50, main="Plot PACF")

Terlihat bahwa hasil plot ACF & PACF manual tanpa differencing sama dengan plot ACF & PACF manual dengan differencing

Simulasi Otomatis

tsmodel2 = list(
  order = c(0, 0, 0),
  seasonal = list(
    order = c(2, 0, 0), 
    period = 12),
  sar = c(Phi1, Phi2))

ts.sim2 <- arima.sim(
  n = n,
  model = tsmodel1,
  rand.gen = function(n, ...) {set.seed(105); rnorm(n, mean = 0, sd = 1)},
  n.start = n_burn_in
)
ts.plot(ts.sim2, main="Plot Time Series")

par(mfrow=c(1,2))
Acf(ts.sim2,50, main="Plot ACF")
Pacf(ts.sim2,50, main="Plot PACF")

untuk plot ACF & PACF otomatis tanpa differencing terlihat berbeda dengan plot ACF & PACF otomatis dengan differencing, dimana kali ini terlihat bahwa tidak ada lag yang signifikan. Perbedaan ini bisa terjadi karena alasan yang sudah disebutkan sebelumnya.