Model SARIMA

Model SARIMA(4,0,4)(4,0,4)^12 ditulis sebagai:

\[ (1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 - \phi_3 B^3 - \phi_4 B^4) (1 - \Phi_1 B^{12} - \Phi_2 B^{24} - \Phi_3 B^{36} - \Phi_4 B^{48}) y_t = (1 + \theta_1 B + \theta_2 B^2 + \theta_3 B^3 + \theta_4 B^4) (1 + \Theta_1 B^{12} + \Theta_2 B^{24} + \Theta_3 B^{36} + \Theta_4 B^{48}) a_t \]

di mana \(B\) adalah backshift operator, dan \(a_t\) adalah white noise.

Data Simulasi

Membangkitkan data dengan mendefinisikan nilai parameter dari model SARIMA. Untuk menjaga stabilitas data dengan seasonal 12, digunakan nilai sampel yang cukup besar.

n <- 500
s <- 12   # seasonal period (s)

# Koefisien AR & MA non-seasonal
phi  <- c(0.5, -0.4, 0.3, -0.2)      # AR(4)
theta <- c(0.4, 0.3, -0.2, -0.1)    # MA(4)

# Koefisien AR & MA seasonal
Phi  <- c(0.6, -0.4, 0.2, -0.1)     # SAR(4)
Theta <- c(0.5, 0.3, -0.2, -0.1)    # SMA(4)

# Noise
at <- rnorm(n + 100, mean = 0, sd = 1)

# Inisialisasi vektor
y <- rep(0, n + 100)

Hasil simulasi

for (t in (max(4, 4*s)+1):(n + 100)) {
  ar_part <- sum(phi * (y[t - 1:4]))
  ma_part <- sum(theta * (at[t - 1:4]))
  sar_part <- sum(Phi * (y[t - s * (1:4)]))
  sma_part <- sum(Theta * (at[t - s * (1:4)]))
  
  y[t] <- ar_part + sar_part + at[t] + ma_part + sma_part
}

# Buang 100 observasi awal untuk kestabilan
yt <- ts(y[-(1:100)], frequency = 12)
yt
##            Jan         Feb         Mar         Apr         May         Jun
## 1   2.68471702  0.05166329 -0.21707861 -0.44929738  1.33604391  4.95289876
## 2   3.33380407  2.88868225  0.85594531 -0.99734419  1.32408034  3.72746999
## 3   3.47668620  5.55260512  2.56477172 -1.59104167 -1.67591560 -0.69226067
## 4  -0.73053045  2.37177361  2.04278534 -1.21813902 -3.11168222 -1.16140677
## 5  -3.91402809 -2.68830124 -0.90392391 -1.91486077 -2.20922394  1.50223124
## 6  -4.03117773 -1.37243570 -0.35362382 -2.47302383 -0.56389761  0.87610968
## 7  -3.38623280 -0.69933995  0.03074703 -1.45245115  0.04789796 -1.34971208
## 8  -1.47581456  0.48254404  1.05185140  0.65751505  0.29828934 -1.50152630
## 9   1.55853353  1.51875355  1.06838197  0.80156164 -0.99728208 -3.12257570
## 10  0.35499581  0.30870201 -0.15690699 -0.32832843 -1.74015211 -2.80690997
## 11 -0.40213989 -2.73228068 -2.48177717 -1.99636753 -0.12962058  0.01238406
## 12 -1.83695027 -4.36586739 -3.44753766 -1.85992922  0.64245145  3.64443902
## 13 -2.22724923 -0.76622040 -0.23164074  0.12105617  0.10641985  2.02491812
## 14 -3.45011704 -0.05618986  0.26693424 -0.86545425  0.46321460  0.15834729
## 15 -1.18560558 -0.46961120 -0.33946978 -0.82212189 -0.42770589 -1.02830759
## 16  2.19875077  1.01238075  0.49621601  1.09774137 -0.09190475 -3.73386464
## 17  5.49876882  3.74791759  2.29770848  2.04945152  0.01707676 -4.00764491
## 18  5.29857438  4.11937820  3.62076458  2.43068724  0.22415295 -1.92510326
## 19  4.75751695  2.58447851  2.20404084  1.22468029  0.04537575  0.68633811
## 20  1.08609917 -0.34683340  0.44800369  1.17947189  1.46818782  0.42285564
## 21  0.51315484 -1.27185540 -1.91255334 -1.61015173  1.95890145  0.80714892
## 22 -0.45069239 -2.14249855 -4.42773031 -2.48031399  1.51436274  1.16866099
## 23  1.34559214 -1.09953341 -4.19384141 -2.90309859  1.54698067  2.30832529
## 24  2.34374914  2.62702088  0.07484181 -2.69579858 -0.48146280  0.83324276
## 25  0.49057997  1.80517187  2.53941385 -1.89124332 -1.32545790  0.64355894
## 26 -0.02804640  2.54681709  2.84498188 -0.40878689 -1.27855008  0.85500185
## 27 -0.97479903  0.44495986  0.39750222  0.81205151  0.74879652  1.25159336
## 28 -0.76773309 -2.93970900 -4.40044867  0.97329621  3.19832130  1.41463243
## 29  0.09991777 -2.44449266 -4.13864120  0.14062912  3.19727464  2.21147547
## 30  0.26095057  1.11662538  0.13175001 -0.52560121  0.84017616  1.96204758
## 31 -1.32154785  1.59809992  2.30446951 -1.23302327 -0.04470341  2.50551844
## 32 -2.03109675 -2.96368333 -1.62037489 -2.49816219  2.17013851  5.89658940
## 33 -1.30332251 -3.22631403 -4.28312163 -2.31568764  1.25932573  3.98586986
## 34  0.30796888 -1.18957756 -4.71149377 -2.16904198 -0.36142051 -0.44546348
## 35 -2.95398887 -1.03852387 -2.58472227  0.71688857  1.92434686 -0.28051360
## 36 -2.29799578 -0.45147996 -0.04234021  1.20127392  0.90586653 -0.64304301
## 37  2.93569366  1.62833703 -0.44956799 -1.85809157 -2.84268711 -1.55718486
## 38  3.54430116  0.36159528 -1.50452765 -2.41768145 -3.16367730 -1.78526730
## 39  2.54598915  1.97226095  0.74284690  0.80611747 -1.72715040 -1.25970739
## 40 -1.52030564 -0.29797842  0.80062859  3.50124041 -0.32451423 -3.46594663
## 41 -3.85957331 -3.19700271 -1.64943968  1.74406810 -0.59166143 -2.62336342
## 42 -2.39476094 -1.26625422 -0.92425170 -0.69829790 -2.07864684 -4.30032098
##            Jul         Aug         Sep         Oct         Nov         Dec
## 1   3.50942323 -0.06736204 -2.41964230 -2.61428293 -3.34119898 -1.43988639
## 2   2.32887356 -1.20382285 -2.37286402 -3.70336755 -4.11959094 -2.93388751
## 3  -0.69148272 -1.21494036  0.03544332 -0.60427748 -2.72081556 -4.48435939
## 4   0.35619400  1.15887496  2.72366628  3.32334766 -0.39274463 -3.81106434
## 5   3.02811582  2.38357562  2.85935587  3.27584329 -0.67553362 -2.82975530
## 6   1.42873840  1.90719417  0.92744818  2.26804279 -0.07846390 -1.17597373
## 7  -1.25577728  0.11348473  0.97957180  2.97810726  0.31194083 -1.00390048
## 8  -1.96769169 -1.31840081  0.50795187  4.47015139  1.53735356  0.16891830
## 9  -2.90926870 -3.61108166  0.09095207  3.82733902  1.91500857  1.04416823
## 10 -1.47444618 -4.05248078 -1.49724950  0.36533829  1.89836785  2.97448154
## 11  0.68452338 -4.24126073 -3.91098831  0.25460868  2.06141371  2.51441364
## 12  4.15113016  0.45973925 -1.70688775 -0.61060647  0.55417267 -0.69248827
## 13  3.05364124  1.48703484  1.68381491  1.26077750  0.91360075 -1.14256357
## 14 -1.08985976 -1.15333897  2.94420929  3.83697143  1.34552614  0.35727520
## 15 -3.15922498 -3.84144124  0.28662157  1.51098972  0.11046174  0.93337499
## 16 -3.56215392 -2.95954361 -2.79802174 -1.55408417 -1.19298837  3.02982910
## 17 -4.12783011 -2.25304500 -3.94025860 -1.76532296  0.32419198  3.97312233
## 18 -2.50840829 -0.75555110 -1.69566828 -0.95454268  1.49645437  3.97261320
## 19  1.82144019  3.14414574  2.31796841 -0.06916616  0.43799881 -0.20805572
## 20  1.19057790  2.72953278 -0.23698860 -1.43790374  1.08852231  1.41139228
## 21  1.44916944  2.68780903 -2.33756546 -2.63897467 -0.11594350  1.80362434
## 22  0.26785198  0.95655184 -2.58309547 -2.31003260 -0.10941487  2.20910652
## 23  0.71051081  1.29659653 -0.50689001 -1.80304412 -0.54757511  1.01367299
## 24  0.68370032  2.41348995  3.00539940 -0.11472759 -0.94780680 -1.28012455
## 25  0.96443624  1.09046164  2.86637592  1.35004784 -3.23084364 -2.93870459
## 26  2.91430553  0.65903493  0.76943990  0.66528289 -4.97591375 -4.73530713
## 27  3.44885987  2.11945467  0.58438388  1.02741376 -2.55389802 -3.56510081
## 28  0.31620417  1.17992004  0.03279781  0.03185934  1.75441348  0.79027456
## 29  0.33321633  0.32692316  0.68918015 -0.92765862  1.14176829  1.30121865
## 30 -0.55815334 -1.74835150  1.16543717  1.38946565  0.88217155  0.15545342
## 31  1.98862620  2.48408593  3.61560941  2.47062671  0.16421356 -0.89313438
## 32  4.42951368  4.81895301  3.06556449 -0.50721924 -1.15888142 -1.26864256
## 33  4.29325932  3.31177977  1.27698679 -2.60471423 -1.19393202  0.57824229
## 34  1.43462800  2.41035249  1.06329196 -0.73572595  0.11008125 -0.40821324
## 35 -0.14900651 -0.30157854 -0.66165556 -1.16433414 -0.15984571 -0.06021298
## 36 -1.81688014 -2.85774808 -2.56360080 -1.59079683  0.81846329  3.79425078
## 37 -1.73732815 -3.67250472 -1.26097452  0.84310625  1.67734310  5.86726611
## 38 -1.33893922 -1.99541639  2.35163612  2.76610936 -1.31295748  0.40035718
## 39  1.03969582  3.28105516  5.29558839  3.13318197 -2.41673475 -3.05711281
## 40 -2.96920676  1.50539706  3.28531610  2.70112296  0.84864709 -2.41507501
## 41 -2.06645372  0.66727875  1.95681878  2.79597082  4.07835538  0.12429970
## 42 -3.91952315 -3.81042336

Plot Time Series dari Data Bangkitan

Pada grafik di atas, ditampilkan hasil simulasi manual dari model SARIMA(4,0,4)(4,0,4)^12, terlihat bahwa data bersifat fluktuatif secara acak namun menunjukkan pola musiman yang cukup konsisten. Tidak terdapat tren jangka panjang yang signifikan, namun pola perulangan secara berkala memperkuat indikasi adanya komponen musiman, yang memang telah disisipkan dalam struktur model melalui parameter musiman 𝑠= 12 (Walaupun tidak terlihat secara jelas). Hal ini menunjukkan bahwa mekanisme simulasi telah berhasil merefleksikan karakteristik proses musiman.

ACF dan PACF dari data Bangkitan

Dari grafik yang menunjukkan nilai ACF dan PACF, tampak bahwa autokorelasi cukup tinggi pada beberapa lag awal serta pada lag kelipatan 12. Pola ini mempertegas keberadaan komponen musiman dan non-musiman yang masih aktif dalam data. PACF juga menunjukkan nilai parsial autokorelasi yang menonjol pada beberapa lag awal, menandakan adanya pengaruh jangka pendek yang belum terselesaikan. Dengan kata lain, pada tahap ini data belum mencapai stasioneritas, baik secara musiman maupun jangka pendek.

Seasonal Differencing

Pada model ini tidak diperlukan differencing, namun sebagai ketentuan dari tugas, saya lakukan differencing untuk melihat apakah terdapat perbedaan atau tidak.

Setelah dilakukan seasonal differencing dengan lag 12, tampak perubahan yang signifikan pada struktur data. Pola musiman menjadi jauh lebih tidak terlihat, dan fluktuasi data terlihat lebih stabil, tanpa adanya siklus periodik yang mencolok. Hal ini mengindikasikan bahwa proses differencing musiman berhasil menghilangkan pola musiman yang sebelumnya dominan.

ACF dan PACF dari hasil bangkitan

Dari grafik nilai ACF dan PACF setelah dilakukan seasonal differencing, nilai autokorelasi pada lag musiman menjadi jauh lebih rendah, dan keseluruhan pola ACF-PACF menunjukkan karakteristik data yang lebih stasioner. Autokorelasi cepat menghilang, yang secara statistik menunjukkan bahwa proses sudah mendekati white noise, atau setidaknya cukup memenuhi asumsi stasioneritas untuk melanjutkan ke tahap pemodelan atau estimasi parameter yang lebih akurat.

Kesimpulan

Model SARIMA(4,0,4)(4,0,4)^12 yang disimulasikan sejak awal telah didesain dalam keadaan stasioner (tanpa memerlukan differencing, baik musiman maupun non-musiman). Hasil simulasi menunjukkan pola yang mencerminkan dinamika jangka pendek dan musiman sesuai spesifikasi model. Proses seasonal differencing yang dilakukan, membantu menegaskan bahwa data memang menyimpan pola musiman yang kuat dan setelah differencing, pola tersebut menghilang sesuai teori. Namun hal ini tidak berarti bahwa differencing diperlukan; justru sebaliknya, ini menegaskan bahwa model awal sudah valid secara struktural dan telah berhasil membangkitkan data yang stasioner dengan kompleksitas dan stabilitas yang dapat dikontrol.