Regresión Lineal

1. Regresión lineal simple.

1.1. Objetivo(s).

🎯 Analizar la relación lineal entre dos variables cuantitativas mediante el ajuste de un modelo de regresión lineal simple, interpretando sus parámetros y aplicándolo en la estimación y predicción de valores a partir de datos empíricos.

1.2. Definición.

📘 Sea \(x\) una variable independiente e \(y\) una variable dependiente. La regresión lineal simple es un modelo matemático que describe la relación entre ambas variables mediante la ecuación:

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \]

donde \(\beta_0\) es la ordenada al origen (intercepto), \(\beta_1\) es el coeficiente de regresión o pendiente, y \(\varepsilon\) representa el término de error aleatorio. Este modelo permite estimar el valor de \(y\) a partir de un valor dado de \(x\), bajo el supuesto de que la relación entre ambas variables es lineal.

1.3. Propiedad.

📐 El ajuste de un modelo de regresión lineal en RStudio se realiza mediante la siguiente instrucción, que permite estimar los parámetros del modelo a partir de datos observados:

# Variable dependiente.

x <- c(x_1,x_2,x_3,..,x_n)

# Variable independiente.

y <- c(y_1,y_2,y_3,...,y_n)

# Ajuste del modelo de regresión lineal.

modelo <- lm(y ~ x)

1.4. Propiedad.

📐 La representación gráfica del modelo de regresión lineal en RStudio se realiza mediante el siguiente conjunto de instrucciones, que permite visualizar los datos y la recta ajustada al modelo:

# Gráfico de dispersión.

plot(x, 
     y, 
     main = "Título",
     xlab = "Nombre variable x", 
     ylab = "Nombre variable y", 
     pch = 19)

# Recta ajustaad al modelo de regresión.

abline(modelo, col = "blue", lwd = 2)
modelo <- lm(y ~ x)

1.5. Ejemplo(s).

🔍 E1. Analizar la relación entre el tiempo de entrenamiento y el rendimiento en una prueba, a partir de los datos entregados. Ajustar un modelo de regresión lineal simple, determinar su ecuación e ilustrar gráficamente el ajuste.

\(i\)	\(x_i\)	\(y_i\)
1	1	4
2	2	6
3	3	9
4	4	12
5	5	13
6	6	19
7	7	21
8	8	22
9	9	23
10	10	24

Respuesta

(1) Análisis en R.

# Variable dependiente.

x <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

# Variable independiente.

y <- c(4,6,9,12,13,19,21,22,23,24)

# Ajuste del modelo de regresión lineal.

Modelo <- lm(y ~ x)

\(\Rightarrow\) \(\beta_0 = 2{,067}\) y \(\beta_1=2.406\)

(2) Relación lineal.

\(\Rightarrow\) \(y=2.067+2.406x\)

(3) Gráfico de dispersión.

# Definición de datos
x <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
y <- c(4,6,9,12,13,19,21,22,23,24)

# Ajuste del modelo
modelo <- lm(y ~ x)

# Gráfico de dispersión
plot(x, 
     y, 
     main = "Regresión lineal simple",
     xlab = "Variable x", 
     ylab = "Variable y",
     pch = 19)

# Recta ajustada al modelo
abline(modelo, col = "blue", lwd = 2)

🔍 E2. Analizar la relación entre la dosis administrada de un medicamento (en miligramos) y la reducción de temperatura corporal (en °C) observada en pacientes. A partir de los datos entregados, ajustar un modelo de regresión lineal simple, determinar la ecuación de la recta estimada e ilustrar gráficamente el ajuste.

\(i\)	\(x_i\) (mg)	\(y_i\) (°C)
1	50	0.4
2	73	1.4
3	97	1.5
4	121	1.4
5	144	2.0
6	168	2.1
7	192	3.0
8	215	2.5
9	239	3.3
10	263	3.5
11	286	3.7
12	310	4.3
13	334	4.4
14	357	4.4
15	381	5.4
16	405	5.5
17	428	5.4
18	452	6.6
19	476	6.5
20	500	6.9