Bootstrap dalam Regresi & Estimasi Missing Value
Muhammad Faza Farizqi
2025-05-23
Pendahuluan
Dalam analisis statistik, kita sering ingin mengetahui seberapa andal estimasi kita. Sayangnya, asumsi klasik(seperti normalitas residual atau homogenitas varians) tidak selalu terpenuhi.
Metode bootstrap hadir sebagai alternatif non-parametrik yang tidak bergantung pada distribusi data dansangat berguna untuk mengestimasi ketidakpastian (standard error, confidence interval, dll).
Konsep Dasar Bootstrap
Bootstrap adalah teknik resampling, yaitu membuat banyak sampel baru dari sampel yang sudah ada (denganpengambilan sampel ulang, dengan pengembalian).
Langkah-langkah:
Ambil sampel acak dari data awal, ukuran sama, dengan pengembalian
Hitung statistik yang diinginkan (misalnya koefisien regresi)
Ulangi langkah 1–2 sebanyak R kali (misalnya 1000 kali)
Gunakan distribusi hasil bootstrap untuk menghitung standar error atau confidence interval
- Bootstrap dalam Regresi
Bootstrap digunakan untuk:
Mengestimasi distribusi sampling dari koefisien regresi
Mendapatkan confidence interval tanpa asumsi normalitas residual
- Bootstrap pada Data dengan Missing Value
Ketika data memiliki missing values, bootstrap bisa digunakan untuk:
Menghasilkan banyak imputed datasets
Mengukur ketidakpastian hasil imputasi
Praktikum
Dataset Simulasi
set.seed(123)
# Jumlah observasi
n <- 100
# Generate variabel x dari distribusi normal (mean=10, sd=2)
x <- rnorm(n, mean = 10, sd = 2)
# Generate variabel y dengan pola hubungan linear terhadap x plus error
y <- 3 + 1.5 * x + rnorm(n, mean = 0, sd = 2)
# Gabungkan menjadi data frame
data <- data.frame(x, y)
# Introduksi missing value secara acak pada 10 observasi x
data[sample(1:n, 10), "x"] <- NA
# Lihat 6 baris pertama
head(data) ## x y
## 1 8.879049 14.89776
## 2 9.539645 17.82323
## 3 13.117417 22.18274
## 4 10.141017 17.51644
## 5 10.258575 16.48463
## 6 13.430130 23.05514Penjelasan:
set.seed(123) menjamin hasil random yang konsisten
rnorm() menghasilkan data dari distribusi normal
Hubungan antara y dan x sengaja dibuat linear (y = 3 + 1.5x + error)
sample() memilih 10 baris secara acak untuk dijadikan NA ## Praktikum 1: Bootstrap untuk Regresi (tanpamissing)
# Hapus baris yang mengandung NA
clean_data <- na.omit(data)
# Fungsi untuk bootstrap regresi
boot_regression <- function(data, indices) {
# Ambil sampel bootstrap sesuai indices
d <- data[indices, ]
# Fit model regresi linear
model <- lm(y ~ x, data = d)
# Return koefisien model
return(coef(model))
}
# Load library boot
library(boot)
# Lakukan bootstrap dengan 1000 replikasi
boot_result <- boot(
data = clean_data,
statistic = boot_regression,
R = 1000
)
# Tampilkan hasil
boot_result##
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
##
##
## Call:
## boot(data = clean_data, statistic = boot_regression, R = 1000)
##
##
## Bootstrap Statistics :
## original bias std. error
## t1* 3.581084 0.06067069 1.1482885
## t2* 1.412127 -0.00547455 0.1074228# Plot distribusi bootstrap
plot(boot_result) 
# Hitung confidence interval 95% untuk koefisien x (index=2)
boot.ci(boot_result, type = "perc", index = 2) ## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
##
## CALL :
## boot.ci(boot.out = boot_result, type = "perc", index = 2)
##
## Intervals :
## Level Percentile
## 95% ( 1.176, 1.596 )
## Calculations and Intervals on Original ScalePenjelasan:
na.omit() menghapus baris dengan missing values
Fungsi boot_regression:
indices menentukan sampel yang diambil
lm() melakukan regresi linear
coef() mengambil koefisien model
boot() menjalankan bootstrap dengan:
data: dataset bersih
statistic: fungsi yang di-bootstrap
R: jumlah replikasi
boot.ci() menghitung interval kepercayaan percentile ## Praktikum 2: Estimasi pada Missing Value denganBootstrap
Kita akan menggunakan mean imputation + bootstrap:
# Hitung mean x (abaikan NA)
mean_x <- mean(data$x, na.rm = TRUE)
# Buat variabel baru dengan imputasi mean
data$ximp <- ifelse(is.na(data$x), mean_x, data$x)
# Fit model setelah imputasi
model_imp <- lm(y ~ ximp, data = data)
summary(model_imp) ##
## Call:
## lm(formula = y ~ ximp, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.1153 -1.4394 -0.0902 1.2053 6.5280
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 3.6538 1.2332 2.963 0.00383 **
## ximp 1.4121 0.1191 11.854 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.109 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5891, Adjusted R-squared: 0.5849
## F-statistic: 140.5 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16# Fungsi bootstrap setelah imputasi
boot_imp <- function(data, indices) {
d <- data[indices, ]
model <- lm(y ~ ximp, data = d)
return(coef(model))
}
# Jalankan bootstrap
boot_result_imp <- boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)
# Hasil
boot_result_imp ##
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
##
##
## Call:
## boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)
##
##
## Bootstrap Statistics :
## original bias std. error
## t1* 3.653794 0.053055397 1.1350004
## t2* 1.412127 -0.005093136 0.1064137plot(boot_result_imp) 
boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2) ## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
##
## CALL :
## boot.ci(boot.out = boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
##
## Intervals :
## Level Percentile
## 95% ( 1.188, 1.603 )
## Calculations and Intervals on Original ScaleCatatan Penting:
mean(na.rm=TRUE) menghitung mean tanpa NA
ifelse() mengganti NA dengan mean
Model setelah imputasi cenderung underestimate variance
Proses bootstrap sama seperti sebelumnya tetapi menggunakan data yang sudah diimputasi
Mean imputation bisa mengurangi variabilitas → bias underestimation.
Lebih canggih: gunakan Multiple Imputation + Bootstrap (dengan mice package). ## Praktikum 3: Multiple Imputation + Bootstrap
library(mice)##
## Attaching package: 'mice'## The following object is masked from 'package:stats':
##
## filter## The following objects are masked from 'package:base':
##
## cbind, rbind# Lakukan multiple imputation (m=5) dengan Predictive Mean Matching
imp <- mice(
data[, c("x", "y")],
m = 5,
method = 'pmm',
seed = 123
) ##
## iter imp variable
## 1 1 x
## 1 2 x
## 1 3 x
## 1 4 x
## 1 5 x
## 2 1 x
## 2 2 x
## 2 3 x
## 2 4 x
## 2 5 x
## 3 1 x
## 3 2 x
## 3 3 x
## 3 4 x
## 3 5 x
## 4 1 x
## 4 2 x
## 4 3 x
## 4 4 x
## 4 5 x
## 5 1 x
## 5 2 x
## 5 3 x
## 5 4 x
## 5 5 x# Gabungkan dataset imputasi dalam long format
imp_data <- complete(imp, "long")
# Fit model di setiap dataset imputasi dan gabungkan hasilnya
model_mi <- with(imp, lm(y ~ x))
summary(pool(model_mi)) ## term estimate std.error statistic df p.value
## 1 (Intercept) 3.619991 1.1112706 3.257524 78.99385 1.657655e-03
## 2 x 1.408248 0.1068028 13.185496 78.10532 1.472407e-21Gabungan Hasil
# Pastikan semua package sudah terinstall
library(mice)
library(broom)# 1. Model Data Lengkap
model_clean <- lm(y ~ x, data = clean_data)
clean_summary <- tidy(model_clean, conf.int = TRUE)
# 2. Model Mean Imputation + Bootstrap
# Asumsi boot_result_imp sudah dibuat sebelumnya
boot_ci <- boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
boot_summary <- tidy(model_imp, conf.int = TRUE)
# 3. Model MICE
model_mice <- with(imp, lm(y ~ x))
mice_summary <- summary(pool(model_mice), conf.int = TRUE)
# Membuat data frame yang lebih robust
results_table <- data.frame(
Metode = c("Data Lengkap", "Mean Imputation + Bootstrap", "MICE"),
Intercept = c(
clean_summary$estimate[1],
boot_summary$estimate[1],
mice_summary$estimate[1]
),
Slope = c(
clean_summary$estimate[2],
boot_summary$estimate[2],
mice_summary$estimate[2]
),
SE_Slope = c(
clean_summary$std.error[2],
boot_summary$std.error[2],
mice_summary$std.error[2]
),
CI_Slope = c(
sprintf("(%.3f, %.3f)", clean_summary$conf.low[2], clean_summary$conf.high[2]), sprintf("(%.3f, %.3f)", boot_ci$percent[4], boot_ci$percent[5]),
sprintf("(%.3f, %.3f)", mice_summary$`2.5 %`[2], mice_summary$`97.5 %`[2]) ),
stringsAsFactors = FALSE
)
# Tampilkan hasil
print(results_table)## Metode Intercept Slope SE_Slope CI_Slope
## 1 Data Lengkap 3.581084 1.412127 0.1079083 (1.198, 1.627)
## 2 Mean Imputation + Bootstrap 3.653794 1.412127 0.1191314 (1.188, 1.603)
## 3 MICE 3.619991 1.408248 0.1068028 (1.196, 1.621)library(ggplot2)# Data untuk plot
results <- data.frame(
Method = c("Data Lengkap", "Mean Imp + Bootstrap", "MICE"),
Slope = c(1.412127, 1.412127, 1.408248),
SE = c(0.1079083, 0.1191314, 0.1068028 ),
CI_lower = c(1.198, 1.188, 1.196),
CI_upper = c(1.627, 1.603, 1.621)
)
ggplot(results, aes(x = Method, y = Slope, color = Method)) +
geom_point(size = 3) +
geom_errorbar(aes(ymin = CI_lower, ymax = CI_upper), width = 0.2) +
labs(title = "Perbandingan Estimasi Slope dengan Berbagai Metode",
y = "Estimasi Slope (y ~ x)") +
theme_minimal()
Analisis Perbedaan Estimasi
- Estimasi Slope (Koefisien x)
Konsistensi Nilai: – Ketiga metode menghasilkan slope yang sangat mirip (~1.41)
Perbedaan <0.004 (hanya 0.3% variasi)
Indikasi bahwa pola missing tidak terlalu memengaruhi hubungan x-y
Perbedaan Kecil:
MICE memberikan slope paling rendah (1.408)
Data lengkap dan mean imputation sama (1.412)
- Estimasi Intercept
Variasi Lebih Nyata:
Rentang nilai: 3.581 (data lengkap) hingga 3.654 (mean imputation)
Perbedaan ~0.073 (2% dari nilai intercept)
Mean imputation menghasilkan intercept tertinggi, mungkin karena imputasi mean cenderung menarikintercept ke arah rata-rata dan sedikit bias karena pengisian nilai konstan.
- Standard Error (SE) Slope
Konsistensi:
SE data lengkap (0.108) vs MICE (0.107) sangat mirip
Mean imputation memiliki SE lebih besar (0.119), mencerminkan ketidakpastian dari imputasi sederhana dan sesuai ekspektasi teori karena mean imputation meremehkan variabilitas
- Confidence Interval (CI)
Lebar CI:
Data lengkap: 0.429 (1.627-1.198)
Mean imputation: 0.415 (1.603-1.188)
MICE: 0.425 (1.621-1.196) Pola Unik:
Mean imputation memiliki CI paling sempit (bertentangan dengan teori), kemungkinan penyebab:– Jumlah bootstrap tidak cukup (misal hanya 100 iterasi)
Missing values sedikit (<10%) sehingga dampak imputasi minimal
Data missing completely at random (MCAR)