🎯 Conocer los tipos de variables utilizadas en estadísticas.
🎯 Comprender el concepto de variable aleatoria y su relación con los experimentos aleatorios.
Una variable cualitativa nominal representa
categorías sin un orden inherente entre ellas. Estas categorías son
simplemente diferentes, pero no pueden organizarse de menor a
mayor.
Ejemplo típico: el color de ojos, el país de nacimiento o el tipo de
sangre.
E1. Considere el experimento aleatorio de registrar el país de origen de un grupo de personas. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el país de nacimiento.
Paso 1: Se recopila información sobre el país de
nacimiento de cada encuestado, como:
\[\{\text{Chile}, \text{Argentina},
\text{Perú}, \text{Colombia}, \text{México}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa nominal, ya que las categorías no tienen un orden natural.E2. Considere el experimento aleatorio aplicar una encuesta donde se pregunta por la religión que profesa cada participante. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la religión declarada.
Paso 1: Se recopila información sobre la religión,
como:
\[\{\text{católica}, \text{evangélica},
\text{judía}, \text{musulmana}, \text{ninguna}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa nominal, ya que las categorías no poseen un orden jerárquico.E3. Considere el experimento aleatorio registrar el grupo sanguíneo de una muestra de pacientes. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el tipo de sangre.
Paso 1: Se anotan los tipos de sangre:
\[\{\text{A}, \text{B}, \text{AB},
\text{O}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa nominal, ya que los tipos de sangre no siguen un orden lógico entre ellos.Una variable cualitativa ordinal representa
categorías con un orden definido, aunque sin una
distancia numérica precisa entre ellas.
Ejemplo típico: nivel de satisfacción, nivel educativo, grado de
acuerdo.
E1. Considere el experimento aleatorio aplicar una encuesta donde los participantes califican el servicio recibido como “malo”, “regular”, “bueno” o “excelente”. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la opinión del encuestado.
Paso 1: Se registra la percepción de calidad del servicio según una escala verbal.
\[\{\text{malo}, \text{regular}, \text{bueno}, \text{excelente}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa ordinal, porque sus valores tienen un orden lógico.E2. Considere el experimento aleatorio registrar el grado académico alcanzado por distintos individuos. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el nivel educativo.
Paso 1: Se anotan los niveles educativos
declarados:
\[\{\text{primaria}, \text{secundaria},
\text{técnico}, \text{universitario}, \text{posgrado}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa ordinal, ya que hay un orden jerárquico en los niveles educativos.E3. Considere el experimento aleatorio aplicar una encuesta de satisfacción donde las respuestas posibles sean: “muy insatisfecho”, “insatisfecho”, “neutral”, “satisfecho”, “muy satisfecho”. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el nivel de satisfacción.
Paso 1: Se registra el grado de satisfacción percibida.
\[\{\text{muy insatisfecho}, \text{insatisfecho}, \text{neutral}, \text{satisfecho}, \text{muy satisfecho}\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cualitativa ordinal, porque las categorías están organizadas de menor a mayor satisfacción.Una variable cuantitativa discreta toma un
número finito o contable de valores. Es decir, solo
puede asumir ciertos valores enteros dentro de un rango definido.
Ejemplo típico: número de hijos, cantidad de autos en un hogar, llamadas
recibidas.
E1. Considere el experimento aleatorio contar cuántas veces suena un teléfono en una oficina durante una hora. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa dicha cantidad.
Paso 1: Se registra el número de veces que suena el teléfono durante una hora de observación.
\[\{0,1,2,3,4,...\}\]
E2. Considere el experimento aleatorio registrar cuántos hijos tiene cada persona encuestada en una muestra. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa esta cantidad.
Paso 1: Se recopilan respuestas.
\[\{0,1,2,3,4,...\}\]
E3. Considere el experimento aleatorio lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la suma de los resultados.
Paso 1: Se consideran todas las posibles sumas al
lanzar dos dados.
\[\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12\}\]
Una variable cuantitativa continua puede tomar
cualquier valor real dentro de un intervalo. Sus
valores no se limitan a números enteros, sino que pueden incluir
decimales con cualquier grado de precisión.
Ejemplo típico: estatura, temperatura,
peso.
E1. Considere el experimento aleatorio medir la temperatura corporal (en grados Celsius) de una persona seleccionada al azar. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa dicha temperatura.
Paso 1: Se registra la temperatura de una persona
utilizando un termómetro clínico. Esta puede encontrarse dentro del
intervalo:
\[\{x \in \mathbb{R} : 36 \leq x \leq
42\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cuantitativa continua, ya que puede tomar infinitos valores reales dentro de un intervalo.E2. Considere el experimento aleatorio medir la estatura de estudiantes en una sala de clases. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la estatura en centímetros.
Paso 1: Se anotan estaturas dentro del
intervalo:
\[\{x \in \mathbb{R} : 140 \leq x \leq
220\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cuantitativa continua, ya que puede tomar cualquier valor real dentro de un rango determinado.E3. Considere el experimento aleatorio medir el tiempo (en segundos) que demora un estudiante en resolver un ejercicio matemático. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa dicho tiempo.
Paso 1: Se registran tiempos que pueden encontrarse
dentro del intervalo:
\[\{t \in \mathbb{R} : 5 \leq t \leq
1000\}\]
Respuesta final:
\(X\) es una variable aleatoria cuantitativa continua, porque puede tomar cualquier valor real positivo dentro de un intervalo de tiempo.Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio.
Formalmente, si \(\Omega\) es el espacio muestral del experimento, una variable aleatoria \(X\) se define como:
\[ X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \]
Esto significa que a cada resultado \(\omega \in \Omega\), la variable \(X\) le asigna un número real \(X(\omega)\).
El valor de \(X\) depende del azar, ya que está determinado por el resultado del experimento.
E1. Considere el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces. Sea \(X\) la variable aleatoria que cuenta la cantidad de veces que aparece cara.
Paso 1: Construimos el espacio muestral.
Denotamos con “C” a cara y con “S” a sello.
\(\Omega = \{\text{CCC}, \text{CCS}, \text{CSC}, \text{SCC}, \text{CSS}, \text{SCS}, \text{SSC}, \text{SSS}\}\)
Paso 2: Definimos la variable aleatoria \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) como la cantidad de caras obtenidas:
\[ X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = \text{SSS} \\ 1 & \text{si } x \in \{\text{SSC}, \text{SCS}, \text{CSS}\} \\ 2 & \text{si } x \in \{\text{SCC}, \text{CSC}, \text{CCS}\} \\ 3 & \text{si } x = \text{CCC} \end{cases} \]
Respuesta final:
Esta variable aleatoria \(X\) es cuantitativa discreta, ya que su recorrido es finito y contable: \(\{0, 1, 2, 3\}\).E2. Considere el experimento aleatorio de seleccionar al azar 2 productos desde una caja que contiene 3 productos en buen estado (B) y 2 defectuosos (D). Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de productos defectuosos seleccionados.
Paso 1: Construimos el espacio muestral.
\(\Omega = \{\text{BB}, \text{BD}, \text{DB}, \text{DD}\}\)
Paso 2: Definimos \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) como la cantidad de productos defectuosos:
\[ X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = \text{BB} \\ 1 & \text{si } x \in \{\text{BD}, \text{DB}\} \\ 2 & \text{si } x = \text{DD} \end{cases} \]
Respuesta final:
Esta variable aleatoria \(X\) es cuantitativa discreta, ya que su recorrido es finito y contable: \(\{0, 1, 2\}\).E3. Considere el experimento aleatorio de medir el tiempo (en segundos) que tarda una persona en responder un estímulo visual en una pantalla. Sea \(T\) la variable aleatoria que representa ese tiempo de reacción.
Paso 1: Describimos el experimento aleatorio.
Una persona observa una pantalla que emite una señal en un momento impredecible, y se registra cuánto tarda en presionar un botón al verla.
Paso 2: Definimos la variable aleatoria.
\(T\) es una variable aleatoria que asigna a cada resultado del experimento un número real positivo correspondiente al tiempo registrado.
Entonces, \(T: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\), y su recorrido puede ser, por ejemplo, el intervalo \((0, 5)\) si el tiempo se mide en segundos.
Respuesta final:
Esta variable aleatoria \(T\) es cuantitativa continua, ya que puede tomar infinitos valores reales dentro de un intervalo.P1. ¿Cuál de las siguientes variables corresponde a una cualitativa nominal.?
P2. ¿Cuál de las siguientes variables corresponde a una cualitativa ordinal?
P3. ¿Cuál de las siguientes variables es cuantitativa discreta?
P4. ¿Cuál de las siguientes variables es cuantitativa continua?
P5. ¿Cuál de las siguientes variables es de tipo cuantitativa continua?
P6. Se lanza una moneda dos veces. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál es el recorrido de \(X\)?
P7. Se lanzan tres dados equilibrados de seis caras. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la suma de los resultados obtenidos. ¿Cuál es el recorrido de \(X\)?
P8. Se mide la estatura (en centímetros) de estudiantes de un curso. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa dicha estatura. ¿Cuál es el recorrido más apropiado para \(X\)?
P9. Se mide el tiempo (en segundos) que demora un estudiante en resolver un problema. Sea \(T\) la variable aleatoria que representa ese tiempo. ¿Cuál podría ser el recorrido de \(T\)?
🎯 Calcular probabilidades a través de funciones de distribución de probabilidad discretas.
Una distribución de probabilidad discreta es una función que asigna a cada valor posible \(x_i\) de una variable aleatoria discreta \(X\) una probabilidad \(P(X = x_i)\), de forma que se cumplen las siguientes condiciones:
Para calcular estas probabilidades, se utiliza la siguiente fórmula:
\[ P(X = x) = \dfrac{\#\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}}{\#\Omega} \]
Donde \(\#\Omega\) corresponde a la cardinalidad del espacio muestral asociado y \(\#\{\omega \in \Omega :X(\omega) = x\}\) es la cardinal del evento de interés.
E1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una moneda tres veces?
Paso 1: Construimos el espacio muestral.
Denotamos con “C” a cara y con “S” a sello.
\[ \Omega = \{\text{CCC}, \text{CCS}, \text{CSC}, \text{SCC}, \text{CSS}, \text{SCS}, \text{SSC}, \text{SSS}\} \]
Paso 2: Definimos la variable aleatoria \(X\) que cuenta la cantidad de caras obtenidas:
\[ X(\omega) = \begin{cases} 0 & \text{si } \omega = \text{SSS} \\ 1 & \text{si } \omega \in \{\text{SSC}, \text{SCS}, \text{CSS}\} \\ 2 & \text{si } \omega \in \{\text{SCC}, \text{CSC}, \text{CCS}\} \\ 3 & \text{si } \omega = \text{CCC} \end{cases} \]
Paso 3: Identificamos los casos favorables a \(X = 2\).
\[ \text{Casos favorables} = \{\text{SCC}, \text{CSC}, \text{CCS}\} \]
Luego, hay 3 casos favorables sobre un total de 8 posibles.
Respuesta final:
La probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras es:
\[ P(X = 2) = \dfrac{3}{8} \]
E2. Se extraen dos bolas sin reemplazo de una urna
que contiene 2 bolas blancas (B) y 3 bolas negras (N). Sea \(X\) la variable aleatoria que cuenta la
cantidad de bolas blancas extraídas.
¿Cuál es la probabilidad de que \(X =
1\)?
Paso 1: Construimos el espacio muestral.
Las extracciones posibles de dos bolas sin importar el orden son:
\[ \Omega = \{\text{BB}, \text{BN}, \text{NB}, \text{NN}\} \]
Paso 2: Definimos la variable aleatoria \(X\) que cuenta cuántas bolas blancas se extraen:
\[ X(\omega) = \begin{cases} 0 & \text{si } \omega = \text{NN} \\ 1 & \text{si } \omega \in \{\text{BN}, \text{NB}\} \\ 2 & \text{si } \omega = \text{BB} \end{cases} \]
Paso 3: Identificamos los casos favorables a \(X = 1\):
\[ \text{Casos favorables} = \{\text{BN}, \text{NB}\} \]
Luego, hay 2 casos favorables sobre un total de 4 posibles.
Respuesta final:
La probabilidad de obtener exactamente \(1\) bola blanca es:
\[ P(X = 1) = \dfrac{2}{4} \]
P1. Se lanza un dado equilibrado dos veces. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de veces que se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que \(X = 1\)?
P2. Se lanza una moneda equilibrada tres veces. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de veces que aparece sello. ¿Cuál es la probabilidad de que \(X = 2\)?
P3. En una urna hay 4 bolas rojas y 2 bolas azules. Se extraen al azar 2 bolas sin reemplazo. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de bolas azules obtenidas. ¿Cuál es la probabilidad de que \(X = 1\)?
P4. En una tienda, 6 de cada 10 clientes prefieren pagar con tarjeta y el resto en efectivo. Si se eligen al azar dos clientes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos pague con tarjeta?
P5. En una granja hay 12 animales: 5 gallinas, 4 patos y 3 gansos. Se elige uno al azar. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el tipo de animal. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un pato?
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el comportamiento de una variable aleatoria \(X\) que cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos independientes, donde cada ensayo tiene únicamente dos posibles resultados: éxito o fracaso.
La fórmula que permite calcular la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos es:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
donde:
A continuación se presentan las funciones disponibles en RStudio para trabajar con la distribución binomial. Estas permiten calcular probabilidades exactas, acumuladas, percentiles y generar simulaciones:
Considere que:
# Calcula la probabilidad exacta P(X = k)
D = dbinom(k, n, p)# Calcula la probabilidad acumulada P(X ≤ k)
P = pbinom(k, n, p)# Calcula el cuantil mínimo k tal que P(X ≤ k) ≥ q
Q = qbinom(q, n, p)# Genera m valores aleatorios con distribución binomial
R = rbinom(m, size = n, prob = p)E1. Una máquina produce piezas con una probabilidad de \(0{,}2\) de que salgan defectuosas. Si se seleccionan al azar \(10\) piezas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(3\) estén defectuosas?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento binomial.
Paso 2: Calculamos la probabilidad usando RStudio:
# Probabilidad binomial.
dbinom(3, 10, 0.2)[1] 0.2013266
Respuesta final:
La probabilidad de que exactamente \(3\) estén defectuosas es de \(0{,}20\)E2. Una máquina produce piezas con una probabilidad de \(0{,}3\) de que estén defectuosas. Si se seleccionan al azar \(12\) piezas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más \(4\) estén defectuosas?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento binomial.
Paso 2: Usamos pbinom() en RStudio para
calcular la probabilidad de obtener 4 o menos piezas defectuosas:
# Probabilidad acumulada binomial: P(X ≤ 4)
pbinom(4, 12, 0.3)[1] 0.7236555
Respuesta final:
La la probabilidad de que a lo más \(4\) estén defectuosas es de \(0{,}72\)E3. Una máquina produce piezas con una probabilidad de \(0{,}2\) de que estén defectuosas. Si se seleccionan al azar \(10\) piezas, ¿cuál es el mayor número de piezas defectuosas que se puede esperar de al menos \(80\%\) de probabilidad acumulada?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento binomial.
Paso 2: Calculamos el cuantil usando
qbinom() en RStudio:
# Cuantil binomial que da al menos 80% de acumulación
qbinom(0.8, 10, 0.2)[1] 3
Respuesta final:
El mayor número de piezas defectuosas que se puede eserar es de \(3\).P1. Un estudiante tiene un \(80\%\) de probabilidad de responder correctamente una pregunta de opción múltiple. Si se le hacen \(5\) preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que responda exactamente \(4\) de ellas correctamente?
P2. Un medicamento tiene una efectividad del \(70\%\). Si se administra a \(10\) pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(7\) de ellos mejoren?
P3. En un parque, la probabilidad de que una persona recoja su basura es de \(0{,}85\). Si observamos a \(12\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos personas \(10\) recojan su basura?
P4. Un fabricante sabe que un \(5\%\) de sus productos tienen defectos. ¿Cuál es el número máximo de productos defectuosos esperados en una muestra de \(50\) unidades, con una probabilidad acumulada de a lo menos \(90\%\)?
P5. Una aplicación tiene una tasa de éxito del \(60\%\) en sus descargas. Si se realizan \(15\) descargas, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho \(9\) sean exitosas?
Una distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe el comportamiento de una variable aleatoria \(X\) que representa la cantidad de éxitos obtenidos al seleccionar una muestra sin reemplazo desde una población finita que contiene una cantidad conocida de elementos exitosos y fallidos.
La fórmula para calcular la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en una muestra de tamaño \(n\) es:
\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} \]
donde:
A continuación se presentan las funciones disponibles en RStudio para trabajar con la distribución hipergeométrica. Estas permiten calcular probabilidades exactas, acumuladas, percentiles y generar simulaciones:
Considere que:
# Calcula la probabilidad exacta P(X = k)
D = dhyper(k, K, N - K, n)# Calcula la probabilidad acumulada P(X ≤ k)
P = phyper(k, K, N - K, n)# Calcula el cuantil mínimo k tal que P(X ≤ k) ≥ q
Q = qhyper(q, K, N - K, n)# Genera s valores aleatorios con distribución hipergeométrica
R = rhyper(s, K, N - K, n)E1. En una caja hay 8 ampolletas, de las cuales 3 están defectuosas. Se seleccionan 4 al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 defectuosas?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento hipergeométrico.
Paso 2: Calculamos la probabilidad usando
dhyper():
dhyper(2, 3, 8-3, 4)[1] 0.4285714
E2. En una rifa hay \(K = 10\) boletos premiados entre \(N = 50\) boletos en total. Si una persona compra \(n = 6\) boletos, ¿cuál es la probabilidad de ganar a lo más \(k = 2\) premios?
Paso 1: Identificamos los parámetros:
Paso 2: Calculamos la probabilidad usando
phyper():
phyper(2, 10, 50 - 10, 6)[1] 0.9144349
E3. En una población de \(N = 100\) estudiantes, \(K = 20\) han aprobado un examen. Si se eligen \(n = 15\) estudiantes al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que al menos \(k = 5\) hayan aprobado?
Paso 1: Definimos los valores del problema:
Paso 2: Usamos phyper() para calcular
la acumulada hasta 4 y restamos:
1 - phyper(4, 20, 100-20,15)E4. Una fábrica tiene un lote de \(N = 60\) productos, de los cuales \(K = 12\) están dañados. Si se revisan \(n = 10\) productos al azar, ¿cuál es el menor número de productos defectuosos que se puede esperar sin superar el \(90\%\) de probabilidad acumulada?
Paso 1: Parámetros del experimento:
Paso 2: Usamos qhyper() para encontrar
el cuantil:
qhyper(0.9,12, 60-12,10)P1. En una bolsa hay \(12\) bolas rojas y \(8\) verdes. Se extraen \(5\) sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(3\) bolas rojas?
P2. Una caja contiene \(20\) tornillos, \(6\) de ellos están oxidados. Si se seleccionan \(7\) al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más \(2\) estén oxidados?
P3. En una población de \(80\) personas, \(20\) han recibido una vacuna. Si se eligen \(10\) personas al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que al menos \(4\) estén vacunadas?
P4. Una urna tiene \(50\) pelotas, de las cuales \(10\) son negras. Si se extraen \(12\) sin reemplazo, ¿cuál es la cantidad máxima de pelotas negras esperada con una probabilidad acumulada de al menos \(95\%\)?
Una distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo, espacio o cualquier otra unidad, cuando los eventos ocurren de forma independiente y a una tasa constante.
La fórmula para calcular la probabilidad de que ocurran exactamente \(k\) eventos es:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]
donde:
A continuación se presentan las funciones disponibles en RStudio para trabajar con la distribución de Poisson. Estas permiten calcular probabilidades exactas, acumuladas, percentiles y generar simulaciones:
# Calcula la probabilidad exacta P(X = k)
D = dpois(k, lambda)# Calcula la probabilidad acumulada P(X ≤ k)
P = ppois(k, lambda)# Calcula el cuantil mínimo k tal que P(X ≤ k) ≥ q
Q = qpois(q, lambda)# Genera s valores aleatorios con distribución Poisson
R = rpois(s, lambda)E1. En una calle se producen en promedio \(4\) accidentes por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente \(3\) accidentes en un mes?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento:
Paso 2: Calculamos la probabilidad usando
dpois():
dpois(3, lambda = 4)E2. Una empresa recibe en promedio \(2\) reclamos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba a lo más \(2\) reclamos en un día cualquiera?
Paso 1: Identificamos los parámetros del experimento:
Paso 2: Utilizamos ppois() para
calcular la acumulada:
ppois(2, lambda = 2)E3. Una máquina produce errores a una tasa promedio de \(1\) por hora. ¿Cuál es el mayor número de errores que se puede esperar por hora sin superar el \(80\%\) de probabilidad acumulada?
Paso 1: Identificamos los datos del experimento:
Paso 2: Calculamos el cuantil con
qpois():
qpois(0.8, lambda = 1)P1. En un hospital llegan en promedio \(4\) urgencias por noche. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente \(5\) en una noche?
P2. Una oficina recibe en promedio \(3\) correos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir a lo más 2 correos en una hora?
P3. Una fábrica reporta en promedio \(1{,}5\) fallas por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguna falla en una semana?
P4. Una biblioteca presta en promedio \(2\) libros por hora. ¿Cuál es el mayor número de préstamos esperados sin superar el \(85\%\) de probabilidad acumulada?
P5. En promedio, llegan \(2{,}5\) clientes por hora a una tienda. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 3 clientes en una hora?
P6. Una aplicación recibe en promedio \(6\) reportes de error por día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 6 reportes en un día?
🎯 Calcular probabilidades a través de funciones de distribución de probabilidad continuas.
Una distribución de probabilidad continua es una función que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria continua \(X\) a lo largo de un intervalo de números reales.
En este caso, no se calculan probabilidades exactas para valores individuales, sino para intervalos. Es decir, para una variable continua se cumple que:
\[ P(X = x) = 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R} \]
La probabilidad de que \(X\) tome un valor dentro de un intervalo \([a, b]\) se calcula mediante una función de densidad de probabilidad \(f(x)\), integrando en ese intervalo:
\[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx \]
La función de densidad \(f(x)\) debe cumplir:
La función \(f(x)\) no entrega directamente una probabilidad, sino que permite calcularla integrando en un intervalo determinado.
La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria alrededor de su media. Se caracteriza por su forma de campana simétrica.
La función de densidad de probabilidad para la distribución normal se expresa como:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2} \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2 } \]
donde:
A continuación se presentan las funciones disponibles en RStudio para trabajar con la distribución normal. Estas permiten calcular probabilidades exactas, acumuladas, percentiles y generar simulaciones:
Considere que:
# Calcula la densidad de probabilidad en x
D = dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)
# Calcula la probabilidad acumulada P(X ≤ x)
P = pnorm(x, mean = mu, sd = sigma)
# Calcula el cuantil mínimo x tal que P(X ≤ x) ≥ q
Q = qnorm(q, mean = mu, sd = sigma)
# Genera m valores aleatorios con distribución normal
R = rnorm(m, mean = mu, sd = sigma)E1. En una fábrica, el peso de las cajas producidas sigue una distribución normal con una media de \(80\) \([kg]\) y una desviación estándar de \(31\) \([kg]\). ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar pese menos de \(234\) \([kg]\)?
Cálculo en R:
# Probabilidad de que el peso sea menor a 234 kg
P_234 <- pnorm(234, mean = 80, sd = 31)
P_234[1] 0.9999997
E2. En un colegio, la altura de los estudiantes de \(12\) años sigue una distribución normal con una media de \(150\) \([cm]\) y una desviación estándar de \(10\) \([cm]\). ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar mida entre \(145\) \([cm]\) y \(155\) \([cm]\)?
Paso 1: Identificamos los parámetros de la distribución normal.
Paso 2: Calculamos la probabilidad usando
pnorm():
# Probabilidad acumulada hasta 155 cm
P_155 <- pnorm(155, mean = 150, sd = 10)
# Probabilidad acumulada hasta 145 cm
P_145 <- pnorm(145, mean = 150, sd = 10)
# Probabilidad entre 145 cm y 155 cm
P_intervalo <- P_155 - P_145
P_intervalo[1] 0.3829249
I. Resolver los siguientes problemas aplicando distribuciones normales.
✏️ (E1.) En un examen de matemáticas, los puntajes siguen una distribución normal con media de \(70\) y desviación estándar de \(10\). ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga un puntaje menor a \(85\)?
✏️ (E2.) El tiempo que tarda un empleado en completar una tarea sigue una distribución normal con media de \(50\) minutos y desviación estándar de \(8\) minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tarde entre \(45\) y \(55\) minutos?
✏️ (E3.) En una fábrica, el peso de los paquetes de arroz sigue una distribución normal con media de \(2\) kg y desviación estándar de \(0.2\) kg. ¿Qué porcentaje de los paquetes pesa más de \(2.3\) kg?
✏️ (E4.) La altura de los estudiantes de una escuela sigue una distribución normal con media de \(160\) cm y desviación estándar de \(12\) cm. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un estudiante cuya altura sea menor a \(150\) cm?
✏️ (E5.) El tiempo de espera en una fila de un banco se distribuye normalmente con una media de \(15\) minutos y desviación estándar de \(4\) minutos. ¿Qué porcentaje de los clientes espera más de \(20\) minutos?
✏️ (E6.) En un concurso de lanzamiento de discos, las distancias logradas por los participantes siguen una distribución normal con media de \(60\) metros y desviación estándar de \(5\) metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento esté entre \(55\) y \(65\) metros?
✏️ (E7.) Las calificaciones de un grupo de estudiantes en un examen siguen una distribución normal con media de \(75\) y desviación estándar de \(6\). ¿Qué porcentaje de estudiantes obtiene una calificación mayor a \(80\)?
✏️ (E8.) El peso de las cajas producidas en una planta sigue una distribución normal con media de \(500\) gramos y desviación estándar de \(30\) gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja pese entre \(470\) y \(530\) gramos?
✏️ (E9.) La duración de las llamadas en un centro de atención telefónica sigue una distribución normal con media de \(8\) minutos y desviación estándar de \(1.5\) minutos. ¿Qué porcentaje de las llamadas dura menos de \(6.5\) minutos?
✏️ (E10.) En una prueba de resistencia, los tiempos de ejecución siguen una distribución normal con media de \(100\) segundos y desviación estándar de \(15\) segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que un participante termine la prueba en menos de \(90\) segundos?
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua utilizada para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson. Se caracteriza por su tasa constante de ocurrencia.
La función de densidad de probabilidad para la distribución exponencial se expresa como:
\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \]
donde:
A continuación se presentan las funciones disponibles en RStudio para trabajar con la distribución exponencial. Estas permiten calcular densidades, probabilidades acumuladas, percentiles y generar simulaciones:
Considere que:
# Calcula la densidad de probabilidad en x
D = dexp(x, rate = lambda)
# Calcula la probabilidad acumulada P(X ≤ x)
P = pexp(x, rate = lambda)
# Calcula el cuantil mínimo x tal que P(X ≤ x) ≥ q
Q = qexp(q, rate = lambda)
# Genera m valores aleatorios con distribución exponencial
R = rexp(m, rate = lambda)E1. En una planta industrial, el tiempo entre fallos de una máquina sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 0.05\) fallos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre fallos sea menor a \(10\) horas?
Cálculo en R:
# Parámetro de la tasa
lambda <- 0.05
# Probabilidad de que el tiempo entre fallos sea menor a 10 horas
P_10 <- pexp(10, rate = lambda)
P_10[1] 0.3934693
I. Resolver los siguientes problemas aplicando distribuciones exponenciales.
✏️ (E1.) En una tienda, el tiempo entre la llegada de clientes sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 2\) clientes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente llegue en menos de \(0.5\) minutos?
✏️ (E2.) En una planta industrial, el tiempo entre fallos de una máquina sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 0.1\) fallos por hora. ¿Qué probabilidad hay de que el tiempo entre fallos sea mayor a \(10\) horas?
✏️ (E3.) Un sistema informático registra errores con una tasa de \(\lambda = 4\) errores por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de \(15\) minutos sin que ocurra un error?
✏️ (E4.) El tiempo que tarda un autobús en llegar a una parada sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 0.25\) llegadas por minuto. ¿Qué probabilidad hay de que el autobús llegue en menos de \(3\) minutos?
✏️ (E5.) En un centro de llamadas, el tiempo entre llamadas sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 5\) llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de \(2\) minutos sin recibir una llamada?
✏️ (E6.) Un cliente espera en una fila donde el tiempo entre atenciones sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 1.5\) atenciones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea atendido en menos de \(1\) minuto?
✏️ (E7.) En un laboratorio, el tiempo entre fallos de un equipo sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 0.02\) fallos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo fallo ocurra en más de \(20\) horas?
✏️ (E8.) El tiempo entre llegadas de barcos a un puerto sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 0.5\) barcos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo barco llegue en menos de \(30\) minutos?
✏️ (E9.) En un hospital, el tiempo entre emergencias sigue una distribución exponencial con una tasa de \(\lambda = 3\) emergencias por hora. ¿Qué probabilidad hay de que no ocurra una emergencia en los próximos \(10\) minutos?
✏️ (E10.) Un servidor web recibe peticiones con una tasa de \(\lambda = 12\) peticiones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de \(5\) segundos sin recibir una petición?
II. Resolver los siguientes problemas aplicando distribuciones exponenciales y normales. Justificar el procedimiento.
✏️ (E1.) El tiempo entre llamadas en una central telefónica se modela con una distribución exponencial con parámetro \(\lambda = 0{,}75\). ¿Qué valor \(t\) cumple que la probabilidad de recibir una llamada antes de ese tiempo sea del 80%?
qexp(0.80,0.75)[1] 2.145917
✏️ (E2.) En una fábrica, el tiempo entre revisiones técnicas sigue una distribución exponencial con parámetro \(\lambda = 2\) por hora. Calcular la probabilidad de que la próxima revisión ocurra después de 1,5 horas.
1-pexp(1.5,2)[1] 0.04978707
✏️ (E3.) Un sistema de monitoreo detecta alertas con una frecuencia de \(\lambda = 5\) por minuto. Calcular el valor esperado y la varianza del tiempo entre alertas.
# Promedio
1/5[1] 0.2
# Varianza
1/5^2[1] 0.04
✏️ (E4.) El peso de los paquetes en una empresa de envíos se distribuye normalmente con media \(\mu = 12\) kg y desviación estándar \(\sigma = 2{,}5\) kg. ¿Qué porcentaje de paquetes pesa entre 10 kg y 14 kg?
pnorm(14,12,2.5)-pnorm(10,12,2.5)[1] 0.5762892
✏️ (E5.) El puntaje de una prueba estandarizada se distribuye normalmente con media \(500\) y desviación estándar \(100\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje superior a \(620\)?
✏️ (E6.) La duración de las baterías de cierto dispositivo se distribuye normalmente con media \(8\) horas y desviación estándar \(1{,}2\) horas. ¿Qué duración exceden solo el 5% de las baterías?
✏️ (E7.) Las temperaturas en una ciudad siguen una distribución normal con media \(22^\circ\)C y desviación estándar \(3^\circ\)C. Calcular el intervalo centrado en la media que contiene aproximadamente el 90% de los días.
✏️ (E8.) El ingreso mensual de una población se distribuye normalmente con media \(\$850.000\) y desviación estándar \(\$120.000\). ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un ingreso menor a \(\$700.000\)?
✏️ (E9.) El tiempo que demora una máquina en completar una tarea se distribuye normalmente con media \(45\) minutos y desviación estándar \(5\) minutos. ¿Qué tiempo máximo debe fijarse para asegurar que el 95% de las tareas se completen a tiempo?
✏️ (E10.) En un proceso productivo, los valores medidos siguen una distribución normal con media \(30\) y desviación estándar \(4\). Calcular el valor esperado y la varianza de la variable.