EL METODO GRAFICO

PROBLEMA:

Utilice el metodo grafico para determinar el cero de la función \(f(x)=(-1/10)x^2+3\).

DESARROLLO:

Diversos valores de x se pueden sustituir del lado derecho de la ecuación para determinar el cero de la función.

##    x      f(x)
## 0  1 -1.517316
## 1  2 -2.632794
## 2  3 -3.675276
## 3  4 -4.690905
## 4  5 -5.696654
## 5  6 -6.698769
## 6  7 -7.699547
## 7  8 -8.699833
## 8  9 -9.699939

Graficamos la tabulación para obtener el cero en forma aproximada.

Observamos que el cero de la función, osea la raiz, se encuentra aproximadamente a un valor de 5.50.

EL METODO DE LA BISECCIÓN

PROBLEMA:

Determinar un cero de la función \(f(x) = (−1/10)x^2 +3\) utilizando el metodo de la bisección y garantizando un error inferior a \(\epsilon = 10^{−4}\).

DESARROLLO:

El algoritmo que resuelve el problema es el siguiente:

  1. Lo primero es determinar 2 valores \(a_{0}\) y \(b_{0}\) tales que \(f_{(a0)}f_{(b0)} < 0\).

  2. Calculamos el error \(|a_{0}-b_{0}|\)

  3. Comparamos \(|a_{0}-b_{0}| < \epsilon\). Si se cumple la condición detenemos la operación Si no se cumple con la condición continuamos con la operación.

  4. Se calcula el valor de \(c_{0}\)

  5. Se calcula las funciones \(f_{(a0)}\) y \(f_{(b0)}\).

  6. Se compara \(f_{(a0)}f_{(b0)} < 0\).

  1. Si \(f_{(a0)}f_{(b0)} > 0\), entonces existe un cero de la función en el intervalo \((c_{0}, b_{0})\). Seleccionar este intervalo y definir \(a_{1}=c_{0}, b_{1}=b_{0}\)

  2. Si \(f_{(a0)}f_{(b0)} < 0\), existe un cero de la función en el intervalo \((a_{0}, c_{0})\). Seleccionar este intervalo y definir \(a_{1}=a_{0}, b_{1}=c_{0}\)

  3. Si \(f_{(c0)} = 0\), entonces \(c_{0}\) es un cero de la función, y por lo tanto una solución al problema. Terminar procedimiento.

  1. Repetir el procedimiento con el nuevo intervalo \([a_{1},b_{1}]\).

A continuación se muestra los resultados de cada Iteración.

##        ai     bi  abs(ai-bi)       ci       fai       fci    faifci
## 0 -1.0000  0.000      1.0000 -0.50000  1.649859  0.618731  1.020818
## 1 -0.5000  0.000      0.5000 -0.25000  0.618731  0.187628  0.116091
## 2 -0.2500  0.000      0.2500 -0.12500  0.187628 -0.012295 -0.002307
## 3 -0.2500 -0.125      0.1250 -0.18750  0.187628  0.086496  0.016229
## 4 -0.1875 -0.125      0.0625 -0.15625  0.086496  0.036817  0.003185

En la tabla se observa que se obtiene un error \(\epsilon < 10^{−4}\) en la 17ma Iteración. Por lo tanto, alcanzamos el error tolerable y detenemos la operación. Se obtuvo un valor aproximado de \(c_{17} = 5.48\).