Nehmen wir an, dass bei ungefähr 30% der Personen nach einer Impfbehandlung leichte, aber vorübergehende Nebenwirkungen auftreten. Wir nehmen daher an, dass die Wahrscheinlichkeit \(\pi = 0.3\) für Nebenwirkungen gilt. In einer Klinik werden pro Woche rund 120 Impfungen durchgeführt. Die Variable \(X\) (Anzahl der Personen mit Nebenwirkungen) ist binomialverteilt:

\[ X \sim \mathcal{Bin}(120, 0.3) \]

Das bedeutet, dass \(X\) die Anzahl der Personen beschreibt, bei denen nach der Impfung Nebenwirkungen auftreten, und diese Anzahl folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern \(n\) (Anzahl der Impfungen) und \(\pi\) (Wahrscheinlichkeit für Nebenwirkungen).

Aufgaben

  1. Welcher Wert hat \(n\) und welcher \(\pi\)?
  2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand (in einer Woche) Nebenwirkungen hat: \(Pr(X = 0)\)?
  3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 Personen (in einer Woche) Nebenwirkungen haben: \(Pr(X > 30)\)?
  4. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 20 Personen (in einer Woche) Nebenwirkungen haben: \(Pr(X < 20)\)?
  5. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 20 und 40 Perseonen (in einer Woche) Nebenwirkungen haben?

Lösungen

  1. Welcher Wert hat \(n\) und welche \(\pi\)?

\(n = 120\) , \(\pi = 0.3\)

  1. \(Pr(X = 0)\)
dbinom(0, 120, 0.3)
## [1] 2.580862e-19

Diese Wahrscheinlichkeit ist extrem klein.

  1. \(Pr(X > 30)\)
1 - pbinom(30, 120, 0.3)
## [1] 0.8640772

oder

sum(dbinom(31:120, 120, 0.3))
## [1] 0.8640772
  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 20 Personen (in einer Woche) Nebenwirkungen haben?

Vorsicht: Weniger als 20 bedeutet \(Pr(X \le 19)\) und nicht \(Pr(X \le 20)\)

pbinom(19, 120, 0.3)
## [1] 0.0002632608

oder

sum(dbinom(0:19, 120, 0.3))
## [1] 0.0002632608

Diese Wahrscheinlichkeit ist sehr klein.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 20 und 40 Perseonen (in einer Woche) Nebenwirkungen haben?
sum(dbinom(20:40, 120, 0.3))
## [1] 0.8154356