Problema 1: Obtener grado en la universidad

Suponga que el espacio muestral es la población de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un grado en la universidad. Se clasifican de acuerdo con su sexo y situación laboral. La información se presenta en la tabla siguiente:

Distribución de la población según sexo y situación laboral
Hombres Mujeres
Empleado 460 140
Desempleado 40 260

Si uno de los individuos se seleccionara al azar para que realice un viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el elegido sea un hombre sabiendo que tiene empleo?

Solución

Estamos buscando la probabilidad condicional:

## P(Hombre|Empleado) = 0.7667 o 76.67 %

Problema 2: test de inteligencia

A un grupo de 1000 sujetos se les pasó un test de inteligencia y se midió su rendimiento académico (RA). Los resultados se resumen en la siguiente tabla: Se definen los sucesos: A: Ser superior en inteligencia; B: Ser apto en rendimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ó no es apto en rendimiento o es inferior en inteligencia?

Distribución de sujetos según inteligencia y rendimiento académico
Inteligencia Superior Inteligencia Inferior
Apto 300 100
No apto 200 400

Solución

Definición de Sucesos

A: Ser superior en inteligencia

B: Ser apto en rendimiento académico
## Cálculo paso a paso:
## 1. P(No apto) = 0.6
## 2. P(Inteligencia Inferior) = 0.5
## 3. P(No apto ∩ Inteligencia Inferior) = 0.4
## 
## Aplicando fórmula de unión:
## P(No apto U Inteligencia Inferior) = 0.6 + 0.5 - 0.4 = 0.7
## Verificación por complemento:
## P(No apto U Inteligencia Inferior) = 1 - P(Apto ∩ Superior) = 0.7
## Resultado final:
## La probabilidad de que un sujeto no sea apto en rendimiento o sea inferior en inteligencia es 70 %

Problema 3: Insecticida de larvas

Se aplica un insecticida a tres larvas y, al cabo de 24 horas, se observa si están muertas o vivas. Queremos encontrar la probabilidad de que exactamente dos larvas estén muertas y una viva.

Solución

Se aplica un insecticida a tres larvas. Después de 24 horas, cada larva puede estar:

Muerta (M)

Viva (V)

Queremos calcular la probabilidad de que exactamente dos larvas estén muertas y una viva. Supuestos

Cada larva tiene la misma probabilidad de morir (p)

Las larvas son independientes entre sí

No se especifica p, asumiremos que el insecticida tiene una efectividad del 50% (p = 0.5)

Espacio Muestral

Primero enumeremos todos los posibles resultados (combinaciones de M y V para 3 larvas):

Todas las combinaciones posibles
Larva1 Larva2 Larva3
M M M
V M M
M V M
V V M
M M V
V M V
M V V
V V V

Cálculo de Probabilidades 1. Identificar los casos favorables

Buscamos combinaciones con exactamente 2 M y 1 V:

Casos favorables (2M, 1V)
Larva1 Larva2 Larva3
2 V M M
3 M V M
5 M M V
  1. Calcular probabilidad de cada caso

Asumiendo P(M) = 0.5 y P(V) = 0.5, la probabilidad de cada combinación es: 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125

## Probabilidad de cada combinación específica: 0.125

Contar casos favorables y calcular probabilidad total

## Número de casos favorables: 3
## Probabilidad total: 0.375

Problema 4: Materias de un curso

Para un estudiante que cursa las materias de estadística y Precálculo, se estima que la probabilidad de aprobar Precálculo es igual al 40%. Además, la probabilidad de aprobar por lo menos un curso es igual al 60%, y tiene un 10% de probabilidad de aprobar ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que pase la materia de Estadística?

Solución

Planteamiento del Problema

Tenemos un estudiante que cursa dos materias:

Estadística (E)

Precálculo (P)

Conocemos las siguientes probabilidades:

P(P) = 40% (probabilidad de aprobar Precálculo)

P(E ∪ P) = 60% (probabilidad de aprobar al menos un curso)

P(E ∩ P) = 10% (probabilidad de aprobar ambos cursos)

Objetivo: Calcular P(E) - la probabilidad de aprobar Estadística. Solución Paso a Paso 1. Fórmula Fundamental de Probabilidad

Usaremos la fórmula de la unión de dos eventos: P(E∪P)=P(E)+P(P)−P(E∩P) P(E∪P)=P(E)+P(P)−P(E∩P) 2. Sustitución de Valores Conocidos

Insertamos los valores conocidos en la fórmula: 0.60=P(E)+0.40−0.10 0.60=P(E)+0.40−0.10

## Despejando P(E):
## 0.60 = P(E) + 0.40 - 0.10
## P(E) = 0.60 - 0.40 + 0.10 = 0.3
## Verificación:
## P(E) + P(P) - P(E ∩ P) = 0.3 + 0.4 - 0.1 = 0.6
## Que debe ser igual a P(E ∪ P) = 0.6
## RESULTADO FINAL:
## La probabilidad de aprobar Estadística es 30 %

La probabilidad de que el estudiante apruebe la materia de Estadística es del 30%.

Problema 5: Caja de fusibles

Supóngase que se tiene una caja de fusibles que contiene 20 piezas, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 al azar y se sacan de la caja en una sucesión sin reemplazo del primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles resulten defectuosos?

Solucion

Planteamiento del problema

Tenemos una caja con:

Total de fusibles: 20

Fusibles defectuosos: 5

Fusibles no defectuosos: 15

Se seleccionan 2 fusibles sin reemplazo. Queremos calcular la probabilidad de que ambos sean defectuosos.

Combinaciones

## Método 1 - Probabilidad secuencial:
## 1. Probabilidad primer defectuoso: 0.25
## 2. Probabilidad segundo defectuoso: 0.2105
## Probabilidad conjunta: 0.0526
## Método 2 - Combinatoria:
## Combinaciones 2 defectuosos: 10
## Combinaciones totales: 190
## Probabilidad: 0.0526
## RESULTADO FINAL:
## La probabilidad de que ambos fusibles sean defectuosos es: 5.26 %

Problema 6: Caja de chocolatinas

Un niño guarda tres cajas con chocolatinas. En la primera tiene dos chocolatinas negras y una blanca, en la segunda dos negras y dos blancas, y en la tercera dos blancas y una negra. En un despiste suyo, su hermana pequeña le ha cogido una chocolatina blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya cogido de la primera caja? (respuesta hasta 3 decimales)

Solucion

Planteamiento del problema

Tenemos tres cajas con la siguiente composición:

Caja 1: 2 negras (N) + 1 blanca (B) → Total 3 chocolatinas

Caja 2: 2 negras (N) + 2 blancas (B) → Total 4 chocolatinas

Caja 3: 1 negra (N) + 2 blancas (B) → Total 3 chocolatinas

Evento observado: Se ha cogido una chocolatina blanca (B).

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la Caja 1?

Paso 1: Definir probabilidades a priori

Asumimos que la hermana eligió una caja al azar (probabilidad uniforme):

Paso 2: Calcular probabilidades condicionales

Probabilidad de sacar una blanca dado que se eligió cada caja:

Paso 3: Calcular probabilidad total de sacar blanca (P(B))

Paso 4: Aplicar Teorema de Bayes

Queremos P(Caja 1 | Blanca) = [P(Caja 1) * P(Blanca | Caja 1)] / P(Blanca)

## Probabilidades a priori:
## P(Caja 1) = 0.333
## P(Caja 2) = 0.333
## P(Caja 3) = 0.333
## Probabilidades condicionales P(B|C):
## P(B|C1) = 0.333
## P(B|C2) = 0.5
## P(B|C3) = 0.667
## Probabilidad total P(B):
## P(B) = (1/3)*(1/3) + (1/3)*(1/2) + (1/3)*(2/3) = 0.5
## Aplicando Teorema de Bayes:
## P(C1|B) = [P(C1)*P(B|C1)]/P(B) = [ 0.333 * 0.333 ]/ 0.5 = 0.222
## RESULTADO FINAL:
## La probabilidad de que la chocolatina blanca provenga de la Caja 1 es: 0.222 ( 22.2 % )

Verificación con tabla de probabilidades

Desglose de probabilidades por caja
Caja P(C) P(B|C) P(C ∩ B) P(C|B)
Caja 1 0.333 0.333 0.111 0.222
Caja 2 0.333 0.500 0.167 0.333
Caja 3 0.333 0.667 0.222 0.444

Problema 7: monedas

Supongamos que tenemos una moneda A que cae en cara con probabilidad s y una moneda B que cae en cara con probabilidad t. Si cada moneda se tira de manera alternada, empezando con la moneda A. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera cara se obtenga con la moneda A?

Solucion

En este caso, la probabilidad de que la primera cara se obtenga con la moneda A es simplemente la probabilidad de que la moneda A caiga en cara en el primer lanzamiento. Por lo tanto, la probabilidad es:

P(primera cara con A)= s

Respuesta

La probabilidad de que la primera cara se obtenga con la moneda A es s.

Problema 8: Agencia de seguros

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 60%. ¿Cuál es la probabilidad de que, transcurridos 30 años, todas vivan?

Solucion

Paso 1. Definir los datos

Paso 2. Entender el problema

Cada persona tiene una probabilidad independiente del 60% de vivir 30 años o más. Como son eventos independientes, la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades individuales.

Paso 3. Calcular y mostrar la probabilidad conjunta

## Probabilidad de que todas vivan después de 30 años:
## 0.0778 ( 7.78 %)

Problema 9: Probabilidad de sucesos

Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad de su intersección es de 0,2. ¿Qué suceso es más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?

Solucion Planteamiento del problema

Tenemos dos sucesos A y B con las siguientes condiciones:

P(B) = 2 × P(A)

P(A ∪ B) = 2 × P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = 0.2

Pregunta: ¿Qué suceso es más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?

Paso a paso

  1. Definir las probabilidades conocidas

  2. Establecer relaciones según las condiciones

Primera condición: P(B) = 2 × P(A) Segunda condición: P(A ∪ B) = 2 × P(A ∩ B) = 2 × 0.2 = 0.4

  1. Aplicar la fórmula de la unión

Sabemos que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Sustituyendo: 0.4 = P(A) + 2P(A) - 0.2 0.4 = 3P(A) - 0.2

  1. Resolver para P(A) y P(B)
## P(A) = 0.2
## P(B) = 0.4
  1. Calcular probabilidades condicionales

Queremos comparar: P(A|B) vs P(B|A)

## P(A|B) = 0.5
## P(B|A) = 1
  1. Determinar qué probabilidad condicional es mayor
## Es más probable que ocurra B dado que ha ocurrido A
Resumen de probabilidades
Probabilidad Valor
P(A) 0.2
P(B) 0.4
P(A ∩ B) 0.2
P(A ∪ B) 0.4
P(A|B) 0.5
P(B|A) 1.0

Por lo tanto, es más probable que ocurra B dado que ha ocurrido A, ya que P(B|A) = 1.0 > P(A|B) = 0.5. Esto significa que si sabemos que A ha ocurrido, podemos estar seguros (probabilidad 1) de que B también ocurrirá.

Problema 10: Extracción de bolas en una urna

Sea la urna U (3B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de que la segunda sea roja.

Solucion

Planteamiento del problema

Tenemos una urna con:

3 bolas Blancas (B)

3 bolas Negras (N)

4 bolas Rojas (R)

Se extraen 3 bolas consecutivamente:

Primera bola: Negra (N)

Segunda bola: No observada

Tercera bola: Blanca (B)

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea R (roja)?

Paso a paso

  1. Situación inicial
## Composición inicial de la urna: 3 3 4
  1. Primera extracción (Negra)
## Composición después de 1ª extracción (N): 3 2 4
  1. Tercera extracción (Blanca)

Para que la tercera sea blanca, la segunda puede ser B, N o R, pero afecta a la composición. 4. Calcular probabilidades condicionales

Hay 3 escenarios para la segunda bola:

Segunda bola es B

Segunda bola es N

Segunda bola es R

Calculamos la probabilidad de cada escenario y luego la probabilidad condicional de que la tercera sea B en cada caso.

  1. Resultados
## Probabilidades iniciales para la segunda bola:
## P(Segunda = B) = 0.3333
## P(Segunda = N) = 0.2222
## P(Segunda = R) = 0.4444
## Probabilidades condicionales de tercera blanca:
## P(Tercera = B | Segunda = B) = 0.25
## P(Tercera = B | Segunda = N) = 0.375
## P(Tercera = B | Segunda = R) = 0.375
## Probabilidades conjuntas:
## P(Segunda = B y Tercera = B) = 0.0833
## P(Segunda = N y Tercera = B) = 0.0833
## P(Segunda = R y Tercera = B) = 0.1667
## Probabilidad total P(Tercera = B) = 0.3333
## RESULTADO FINAL:
## P(Segunda = R | Tercera = B) = 0.5
## Es decir, hay un 50 % de probabilidad de que la segunda bola sea roja.

Problema 11: Concurso de redacción

En un colegio hay dos grupos de 35 alumnos de quinto curso y dos grupos de 30 alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar. Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?

Solucion Planteamiento del problema

Tenemos los siguientes datos:

Alumnos de quinto: 2 grupos de 35 → Total 70 alumnos

    50% sin faltas → 35 con faltas, 35 sin faltas

Alumnos de sexto: 2 grupos de 30 → Total 60 alumnos

    70% sin faltas → 18 con faltas, 42 sin faltas

Pregunta: Si se elige una redacción con faltas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de quinto?

Solución paso a paso

  1. Definir los datos

  2. Aplicar probabilidad condicional

Queremos P(Quinto | Faltas) = P(Quinto ∩ Faltas) / P(Faltas)

  1. Resultados
## Total alumnos quinto: 70
## Alumnos quinto con faltas: 35
## Total alumnos sexto: 60
## Alumnos sexto con faltas: 18
## Total redacciones con faltas: 53
## Probabilidad buscada:
## P(Quinto | Faltas) = 35 / 53 = 0.6604
## Es decir, un 66.04 % de probabilidad

Verificación con teorema de Bayes

## Verificación con Bayes: 0.6604