🎯 Determinar el \(n\)-ésimo término de una progresión aritmética.
🎯 Determinar la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética.
📘 Una progresión aritmética es una sucesión de números enteros donde la diferencia entre términos consecutivos es constante.
📐 Sea \(t_1 \in \mathbb{Z}\) el primer término de una progresión aritmética y \(d\) la diferencia común entre términos consecutivos. Entonces, una progresión aritmética se puede expresar como:
| \(i\) | Términos |
|---|---|
| \(1\) | \(t_1\) |
| \(2\) | \(t_1 + d\) |
| \(3\) | \(t_1 + 2d\) |
| \(4\) | \(t_1 + 3d\) |
| \(5\) | \(t_1 + 4d\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(n\) | \(t_1 + (n-1)d\) |
🔍 E1. Determinar los primeros cinco términos de una progresión aritmética con \(a_1=7\) y \(d=3\).
| \(i\) | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \(1\) | \(7\) | 7 |
| \(2\) | \(7 + 1 \cdot 3\) | 10 |
| \(3\) | \(7 + 2 \cdot 3\) | 13 |
| \(4\) | \(7 + 3 \cdot 3\) | 16 |
| \(5\) | \(7 + 4 \cdot 3\) | 19 |
🔍 E2. Determinar los primeros siete términos de una progresión aritmética con \(t_1=40\) y \(d=-2\).
| \(i\) | Cálculo | Término |
|---|---|---|
| \(1\) | \(40\) | 40 |
| \(2\) | \(40 + 1 \cdot (-2)\) | 38 |
| \(3\) | \(40 + 2 \cdot (-2)\) | 36 |
| \(4\) | \(40 + 3 \cdot (-2)\) | 34 |
| \(5\) | \(40 + 4 \cdot (-2)\) | 32 |
| \(6\) | \(40 + 5 \cdot (-2)\) | 30 |
| \(7\) | \(40 + 6 \cdot (-2)\) | 28 |
📘 En GeoGebra podemos determinar los términos que van desde la posición \(i\) hasta la \(n\) de una progresión aritmética, mediante la expresión:
Secuencia(Expresión,Variable,i,n)🔍 E1. Determinar desde el segundo al octavo término de la progresión aritmética \(t_n=3+(n-1)5\).
Secuencia(3+(n-1)5,n,2,8)\(\Rightarrow\) \(\{8,13,18,23,28,33,38\}\)
🔍 E2. Determinar el término que ocupa la posición \(200\) en \(t_n=2+(n-1)3\).
Secuencia(2+(n-1)3,n,200,200)\(\Rightarrow\) \(\{599\}\)
📐 La suma de los primeros \(n\) términos de una progresión aritmética, se determina mediante la siguiente expresión.
\[S_n=\dfrac{n}{2}(t_1+t_n)\]
🔍 E1. Determinar la suma de los \(10\) primeros términos de la progresión aritmética \(t_n=2+(n-1)4\).
(1) Identificar datos relevantes.
\(\Rightarrow\) \(t_1=2\) y \(d=4\)
(2) Identificar modelo a utlizar.
\(\Rightarrow\) \(S_n=\dfrac{n}{2}(t_1+t_n)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_n}=\dfrac{n}{2}(t_1+t_1+(n-1)d)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_n}=\dfrac{n}{2}(2t_1+(n-1)d)\)
(2) Resolver.
\(\Rightarrow\) \(S_{20}=\dfrac{20}{2}(2\cdot 2+(20-1)4)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_{20}}=10(4+19\cdot 4)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_{20}}=10(4+76)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_{20}}=10(80)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_{20}}=800\)
🔍 E2. Determinar la suma de los términos desde \(t_{12}\) hasta \(t_{30}\) de la progresión aritmética \(t_n = 4 + (n-1)5\).
(1) Identificar datos relevantes.
\(\Rightarrow\) \(t_1 = 4\) y \(d = 5\)
(2) Identificar modelo a utilizar.
\(\Rightarrow\) \(S_n=\dfrac{n}{2}(t_1+t_n)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_n}=\dfrac{n}{2}(t_1+t_1+(n-1)d)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S_n}=\dfrac{n}{2}(2t_1+(n-1)d)\)
(3) Resolver.
\(\Rightarrow\) \(S = S_{30}-S_{11}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=\dfrac{30}{2}(2\cdot 4+(30-1)5)-\dfrac{11}{2}(2\cdot 4+(11-1)5)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=15(8+29\cdot 5)-\dfrac{11}{2}(8+10\cdot5)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=15(8+145)-\dfrac{11}{2}(8+50)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=15(153)-\dfrac{11}{2}(58)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=2.295-\dfrac{638}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=2.295-319\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{S}=1.976\)
📘 En GeoGebra podemos determinar la suma de los términos que van desde la posición \(i\) hasta la \(n\) de una progresión aritmética, mediante la expresión.
Suma(Secuencia(Expresión,Variable,i,n))🔍 E1. Determinar la suma de los \(10\) primeros términos de la progresión aritmética \(t_n=7+(n-1)2\)
Secuencia(7+(n-1)2,n,1,10)\(\Rightarrow\) \(160\)
🔍 E2. Determinar la suma desde el término \(t_4\) al \(t_{40}\) de la progresión aritmética \(t_n=3+(n-1)(-5)\)
Secuencia(3+(n-1)(-5),n,4,40)\(\Rightarrow\) \(-3.774\)