En este documento se presentarán los ejercicios impares de la sección de “Ejercicios de repaso” del capitulo 2 del libro de Walpole.
Ejercicio 2.103
Un suero de la verdad tiene la propiedad de que 90% de los sospechosos culpables se juzgan de forma adecuada, mientras que, por supuesto, 10% de los sospechosos culpables erróneamente se consideran inocentes. Por otro lado, a los sospechosos inocentes se les juzga de manera errónea 1% de las veces. Si se aplica el suero a un sospechoso, que se selecciona de un grupo de sospechosos en el cual sólo 5% ha cometido un delito, y éste indica que es culpable, ¿cuál es la probabilidad de que sea inocente?
# Probabilidad inicial
P_C <- 0.05 # Culpable
P_I <- 1 - P_C # Inocente
# Probabilidad de falso positivo
P_pos_C <- 0.90 # P(+|C) # Positivo culpable
P_pos_I <- 0.01 # P(+|I) # Positivo Inocente
# Probabilidad total de ser juzgado como culpable
P_pos <- P_pos_C * P_C + P_pos_I * P_I
# Probabilidad de ser inocente dado que el suero dice culpable
P_I_T <- (P_pos_I * P_I) / P_pos
# Mostrar resultado
cat("La probabilidad de ser inocente aunque el suero diga que es culpable es:", round(P_I_T * 100, 2), "%\n")## La probabilidad de ser inocente aunque el suero diga que es culpable es: 17.43 %Para resover el ejercicio se aplica el teorema de Bayes que permite calcular probabilidades condicionales inversas. Primero, definimos las probabilidades iniciales: P_C = 0.05 (probabilidad de ser culpable) y P_I = 0.95 (probabilidad de ser inocente). Luego, consideramos las tasas de error del suero: P_pos_C = 0.90 (probabilidad de que el suero diga “culpable” dado que lo es) y P_pos_I = 0.01 (probabilidad de que diga “culpable” dado que es inocente), posteriormente se calcula la probabilidad total de ser jusgado como culpable (P_pos) combinando los verdaderos positivos y falsos positivos, de igual manera se calcula la probabilidad de ser inocente (P_I_T) utilizando el teorema de Bayes,finalmente mostramos la probablilidad de que el sospechoso sea inocente aunque el suero lo señale como culpable, la cual es del 17.43%.
Ejercicio 2.105
Mediante la comparación de las regiones apropiadas en un diagrama de Venn, con respecto a los siguientes conjuntos:
$ S ={1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} $
$ A = { 2, 4, 5, 7} $ 23469 $ B = {1, 3, 4, 5} $ $ C = {1, 2, 2, 5} $345810
verifique que: $(AB) (AB^c) = A $
# Definir el conjunto universal y conjuntos de interés
U <- 1:10 # Conjunto universal
A <- c(1,2,3,4,5)
B <- c(4,5,6,7,8)
C <- c(3,4,5,8,10)
# Crear una lista con todos los conjuntos
conjuntos <- list(A = A, B = B, C = C)
# Calcular las áreas del diagrama de Venn
calcular_areas_venn <- function(conjuntos) {
combinaciones <- expand.grid(rep(list(c(FALSE, TRUE)), length(conjuntos)))
names(combinaciones) <- names(conjuntos)
areas <- apply(combinaciones, 1, function(x) {
en_conjuntos <- names(conjuntos)[x]
no_en_conjuntos <- names(conjuntos)[!x]
elementos <- Reduce(intersect, conjuntos[en_conjuntos])
if (length(no_en_conjuntos) > 0) {
elementos <- setdiff(elementos, Reduce(union, conjuntos[no_en_conjuntos]))
}
length(elementos)
})
names(areas) <- apply(combinaciones, 1, function(x) {
paste(names(conjuntos)[x], collapse = "∩")
})
return(areas)
}
# Calcular áreas para el diagrama de Venn
areas_venn <- calcular_areas_venn(conjuntos)
# Crear el diagrama de Venn
grid.newpage()
diagrama_venn <- draw.triple.venn(
area1 = length(A), # Tamaño de A
area2 = length(B), # Tamaño de B
area3 = length(C), # Tamaño de C
n12 = length(intersect(A, B)), # A ∩ B
n23 = length(intersect(B, C)), # B ∩ C
n13 = length(intersect(A, C)), # A ∩ C
n123 = length(Reduce(intersect, conjuntos)), # A ∩ B ∩ C
category = c("A (1,2,3,4,5)", "B (4,5,6,7,8)", "C (3,4,5,8,10)"),
fill = c("skyblue", "lightgreen", "lightpink"),
alpha = 0.5,
lty = "blank",
cex = 1,
cat.cex = 1,
cat.pos = c(-40, 40, 180),
cat.dist = c(0.05, 0.05, 0.03),
margin = 0.1
)
# Titulo
grid.text("Diagrama de Venn: Conjuntos A, B y C", x = 0.5, y = 0.95,
gp = gpar(fontsize = 14, fontface = "bold"))
# Mostrar los elementos en cada región
cat("\nElementos en cada región:\n")##
## Elementos en cada región:cat("Exclusivos de A:", setdiff(A, union(B,C)), "\n")## Exclusivos de A: 1 2cat("Exclusivos de B:", setdiff(B, union(A,C)), "\n")## Exclusivos de B: 6 7cat("Exclusivos de C:", setdiff(C, union(A,B)), "\n")## Exclusivos de C: 10cat("A ∩ B (exclusivo):", setdiff(intersect(A,B), C), "\n")## A ∩ B (exclusivo):cat("A ∩ C (exclusivo):", setdiff(intersect(A,C), B), "\n")## A ∩ C (exclusivo): 3cat("B ∩ C (exclusivo):", setdiff(intersect(B,C), A), "\n")## B ∩ C (exclusivo): 8cat("A ∩ B ∩ C:", Reduce(intersect, conjuntos), "\n")## A ∩ B ∩ C: 4 5El ejercicio utiliza diagramas de Venn para verificar dos igualdades entre operaciones de conjuntos. El código en R define tres conjuntos (A, B y C) dentro de un universo del 1 al 10, y genera un diagrama de Venn para visualizar sus relaciones. Para la primera igualdad (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A, el análisis muestra que: (1) A ∩ B representa los elementos 4 y 5 (comunes a A y B), mientras que (2) A ∩ B’ contiene los elementos 1, 2 y 3 (en A pero no en B). La unión de estas dos regiones efectivamente reconstruye el conjunto A completo (1,2,3,4,5), confirmando la primera igualdad. Para la segunda igualdad A’ ∩ (B’ ∪ C) = (A’∩ B’) ∪ (A’∩ C), el diagrama permite identificar que ambos lados de la ecuación incluyen los elementos 6, 8 y 10, que están fuera de A pero cumplen las condiciones especificadas. El código no solo dibuja el diagrama sino que también muestra explícitamente los elementos en cada región, lo que facilita la verificación visual y numérica de las igualdades.
Ejercicio 2.107
¿Cuántas manos de bridge que contengan 4 espadas, 6 diamantes, 1 trébol y 2 corazones son posibles?
# Calcular el número de manos posibles
posibles <- choose(13, 4) * choose(13, 6) * choose(13, 1) * choose(13, 2)
# Mostrar el resultado
cat("Número de manos posibles:", format(posibles, big.mark = ","), "\n")## Número de manos posibles: 1,244,117,160El ejercicio de combinatoria nos pide calcular cuántas manos posibles de bridge pueden formarse con una distribución específica de cartas: exactamente 4 espadas, 6 diamantes, 1 trébol y 2 corazones.Para resolverlo tenemos que tener en cuenta que en bridge cada palo tiene 13 cartas y una manno consta de 13 cartas en total.El cálculo se realiza mediante combinaciones ya que el orden de las cartas en la mano no es relevante. Para las espadas, se calculan las formas de elegir 4 cartas de 13 (espadas), 6 de 13 (diamantes), 1 de 13 (treboles) y 2 de 13 (corazones). Según el principio de multiplicación en combinatoria, el número total de manos posibles es el producto de estas combinaciones individuales, resultando de esta manera 1,244,117,160 de manos distintas que cumplen con la distribución solicitada.
Ejercicio 2.109
Una empresa industrial grande usa tres moteles locales para ofrecer hospedaje nocturno a sus clientes. Se sabe por experiencia que a 20% de los clientes se le asigna habitaciones en el Ramada Inn, a 50% en el Sheraton y a 30% en el Lakeview Motor Lodge. Si hay una falla en la plomería en 5% de las habitaciones del Ramada Inn, en 4% de las habitaciones del Sheraton y en 8% de las habitaciones del Lakeview Motor Lodge, ¿cuál es la probabilidad de que…
- a un cliente se le asigne una habitación en la que falle la plomería?
- a una persona que ocupa una habitación en la que falla la plomería se le haya hospedado en el Lakeview Motor Lodge?
# Probabilidades de asignación de moteles
P_Ramada <- 0.20
P_Sheraton <- 0.50
P_Lakeview <- 0.30
# Probabilidades de falla en la plomería
P_Falla_Ramada <- 0.05
P_Falla_Sheraton <- 0.04
P_Falla_Lakeview <- 0.08
# Probabilidad total de falla en la plomería
P_Falla_Total <- P_Ramada * P_Falla_Ramada +
P_Sheraton * P_Falla_Sheraton +
P_Lakeview * P_Falla_Lakeview
# Resultado
cat("Probabilidad de estar en una habitación con falla en la plomería:",
round(P_Falla_Total * 100, 2), "%\n")## Probabilidad de estar en una habitación con falla en la plomería: 5.4 %# Probabilidad condicional Lakeview Motor Lodge
P_Lakeview_Falla <- (P_Lakeview * P_Falla_Lakeview) / P_Falla_Total
# Resultado
cat("Probabilidad de falla en la plomería en el Lakeview Motor Lodge:",
round(P_Lakeview_Falla * 100, 2), "%\n")## Probabilidad de falla en la plomería en el Lakeview Motor Lodge: 44.44 %Este ejerciciosolicita examinar la probabilidad de que clientes de una empresa industrial experimenten fallas en la plomería durante su estancia en tres moteles distintos. La empresa distribuye a sus clientes en el Ramada Inn (20%), Sheraton (50%) y Lakeview Motor Lodge (30%), cada uno con diferentes tasas de fallas en plomería: 5%, 4% y 8% respectivamente.DIvidimos el analisis en dos partes.
Para el primer interrogante (probabilidad de que un cliente cualquiera reciba una habitación con fallas), se aplica el teorema de probabilidad total, considerando la distribución de clientes y las tasas de falla específicas de cada motel. El cálculo revela que existe un 5.4% de probabilidad global de que un cliente enfrente problemas de plomería, resultado que surge de combinar las probabilidades individuales.
El segundo planteamiento (probabilidad de que un cliente con problemas de plomería esté específicamente en el Lakeview Motor Lodge) requiere el uso del teorema de Bayes. Aunque este motel solo alberga el 30% de los clientes, su mayor tasa de fallas (8%) hace que contribuya significativamente a los casos totales de plomería defectuosa. El análisis demuestra que, dado que una habitación tiene fallas, hay un 44.44% de probabilidad de que se encuentre en el Lakeview Motor Lodge, porcentaje considerablemente mayor que su participación inicial en la asignación de clientes.
Ejercicio 2.111
Se sabe que 2/3 de los reclusos en cierta prisión federal son menores de 25 años de edad. También se sabe que 3/5 de los prisioneros son hombres y que 5/8 son mujeres de 25 años de edad o mayores. ¿Cuál es la probabilidad de que un prisionero seleccionado al azar de esta prisión sea mujer y tenga al menos 25 años de edad?
#Prisionero menor de 25
Prisionero_Menor_25 <- 2/3
#Que sea mujer
Prisionero_mujer <- 2/5
Prisionero_25oMas <- 5/8
# Calcular la probabilidad de que sea mujer y menor de 25 años
Prisionero_menor_dado_mujer <- 1 - Prisionero_25oMas
Prisionero_mmujer_y_mayor <- Prisionero_mujer * Prisionero_menor_dado_mujer
# Mostrar resultado
cat("La probabilidad de que un prisionero sea mujer y tenga menos de 25 años es:", round(Prisionero_mmujer_y_mayor, 4), "\n")## La probabilidad de que un prisionero sea mujer y tenga menos de 25 años es: 0.15En este problema se busca calcular la probabilidad de que un prisionero seleccionado al azar sea mujer y tenga al menos 25 años de edad. Para ello, se utilizan datos proporcionales de la población penitenciaria: se sabe que 2/3 de los reclusos son menores de 25 años, 3/5 son hombres (lo que implica que 2/5 son mujeres), y que 5/8 de las mujeres tienen 25 años o más. Aunque el primer dato parece relevante, en realidad no se necesita para resolver esta pregunta específica, ya que se conoce directamente la proporción de mujeres y, dentro de ese grupo, la proporción que cumple con la condición de tener al menos 25 años. Aplicando la regla de la probabilidad compuesta, se multiplica la probabilidad de que un prisionero sea mujer (2/5) por la probabilidad de que, siendo mujer, tenga 25 años o más (5/8), lo que da como resultado una probabilidad total de 0.25 o 25%.
Ejercicio 2.113
De una caja que contiene 6 bolas negras y 4 verdes se extraen 3 bolas sucesivamente y cada bola se reemplaza en la caja antes de extraer la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que… a) las 3 sean del mismo color? b) cada color esté representado?
# Datos del problema
bolas_negras <- 6
bolas_verdes <- 4
total_bolas <- bolas_negras + bolas_verdes
extracciones <- 3- Probabilidad de que las 3 sean del mismo color
# Probabilidad de sacar 3 negras
prob_negra <- bolas_negras / total_bolas
prob_3_negras <- prob_negra * prob_negra * prob_negra
# Probabilidad de sacar 3 verdes
prob_verde <- bolas_verdes / total_bolas
prob_3_verdes <- prob_verde * prob_verde * prob_verde
# Probabilidad total de que las 3 sean del mismo color (sumamos porque son eventos mutuamente excluyentes)
prob_mismo_color <- prob_3_negras + prob_3_verdes
cat("La probabilidad de que las 3 bolas sean del mismo color es:", round(prob_mismo_color, 4), "\n")## La probabilidad de que las 3 bolas sean del mismo color es: 0.28- Probabilidad de que cada color esté representado
# Las posibles secuencias para que cada color esté representado en 3 extracciones son:
# Negro-Verde-Negro (NVN)
# Negro-Negro-Verde (NNV)
# Verde-Negro-Negro (VNN)
# Verde-Negro-Verde (VNV)
# Negro-Verde-Verde (NVV)
# Verde-Verde-Negro (VVN)
# Probabilidad de cada secuencia existentes
prob_NV <- prob_negra * prob_verde
prob_VN <- prob_verde * prob_negra
# Probabilidad de las secuencias con dos negras y una verde:
prob_NNV <- prob_negra * prob_negra * prob_verde
prob_NVN <- prob_negra * prob_verde * prob_negra
prob_VNN <- prob_verde * prob_negra * prob_negra
prob_2N_1V <- prob_NNV + prob_NVN + prob_VNN
# Probabilidad de las secuencias con una negra y dos verdes:
prob_NVV <- prob_negra * prob_verde * prob_verde
prob_VNV <- prob_verde * prob_negra * prob_verde
prob_VVN <- prob_verde * prob_verde * prob_negra
prob_1N_2V <- prob_NVV + prob_VNV + prob_VVN
# La probabilidad de que cada color esté representado es la suma de las probabilidades de estas secuencias
prob_cada_color_representado <- prob_2N_1V + prob_1N_2V
cat("La probabilidad de que cada color esté representado es:", round(prob_cada_color_representado, 4), "\n")## La probabilidad de que cada color esté representado es: 0.72En este problema se calcula la probabilidad de ciertos resultados al extraer 3 bolas, con reemplazo, de una caja con 6 bolas negras y 4 verdes. Como las extracciones son independientes, en el inciso (a) se busca la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, lo que puede ocurrir si son todas negras (6/10)^3=0.216 o todas verdes (4/10)3=0.064(4/10)3=0.064 al sumar ambas se obtiene un resultado total de 0.28. En el inciso (b), se desea que ambos colores estén representados, lo cual es el complemento del caso anterior, por lo que la probabilidad es 1−0.28=0.72
Ejercicio 2.115
Cierto organismo federal emplea a tres empresas consultoras (A, B y
C) con probabilidades de 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente. Se sabe por
experiencia que las probabilidades de que las empresas rebasen los
costos son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente. Suponga que el organismo
experimenta un exceso en los costos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea
la C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea la A?
# Probabilidades a priori de contratar cada empresa
prob_A <- 0.40
prob_B <- 0.35
prob_C <- 0.25
# Probabilidades condicionales de exceder los costos dado cada empresa
prob_exceso_A <- 0.05
prob_exceso_B <- 0.03
prob_exceso_C <- 0.15- Probabilidad de que la empresa consultora implicada sea C dado que hubo exceso en los costos
#calculamos la probabilidad total de un exceso en los costos
prob_exceso_total <- (prob_A * prob_exceso_A) +
(prob_B * prob_exceso_B) +
(prob_C * prob_exceso_C)
# Ahora aplicamos el teorema de Bayes para encontrar P(C | Exceso)
prob_C_exceso <- (prob_exceso_C * prob_C) / prob_exceso_total
cat("La probabilidad de que la empresa consultora implicada sea C, dado que hubo exceso en los costos, es:", round(prob_C_exceso, 4), "\n")## La probabilidad de que la empresa consultora implicada sea C, dado que hubo exceso en los costos, es: 0.5515- Probabilidad de que la empresa consultora implicada sea A dado que hubo exceso en los costos
# Aplicamos el teorema de Bayes
prob_A_exceso <- (prob_exceso_A * prob_A) / prob_exceso_total
cat("La probabilidad de que la empresa consultora implicada sea A, dado que hubo exceso en los costos, es:", round(prob_A_exceso, 4), "\n")## La probabilidad de que la empresa consultora implicada sea A, dado que hubo exceso en los costos, es: 0.2941Dado que hubo un exceso en los costos, se busca cuál empresa consultora fue la responsable. Aunque la empresa C es contratada con menor frecuencia, tiene una mayor probabilidad de exceder los costos, por lo que es la más probable responsable con un 55.15%. La empresa A, aunque es contratada más seguido, tiene menor probabilidad de sobrecostos, por lo que su responsabilidad es menor, con un 29.41%.
Ejercicio 2.117
Considere la situación del ejercicio 2.116 y suponga que el fabricante puede probar sólo dos combinaciones en un día.
Enunciado del ejercicio 2.116: Los efectos de la temperatura de cocción, el tiempo de cocción y el tipo de aceite para la cocción al elaborar papas fritas. Se utilizan 3 diferentes temperaturas, 4 diferentes tiempos de cocción y 3 diferentes aceites.
- ¿Cuál es la probabilidad de que elija cualquier conjunto dado de 2
corridas?
- ¿Cuál es la probabilidad de que utilice la temperatura más alta en cualquiera de estas 2 combinaciones?
perm <- function(n, k){
y = factorial(n)/factorial(n - k)
return(y)
}
comb <- function(n, k){
z = perm(n, k) / factorial(k)
return(z)
}
# Total de combinaciones posibles
temperatura_de_cocción <- 3
tiempo_de_cocción <- 4
tipo_de_aceite <- 3
total <- temperatura_de_cocción*tiempo_de_cocción*tipo_de_aceite # temperaturas x tiempos x aceites = 36
### a) Probabilidad de elegir cualquier conjunto dado de 2 corridas ###
total_combinaciones <- comb(total, 2)
prob_a <- 1 / total_combinaciones
cat("a) La probabilidad de elegir cualquier conjunto de 2 corridas:", prob_a, "\n")## a) La probabilidad de elegir cualquier conjunto de 2 corridas: 0.001587302### b) Probabilidad de que al menos una de las 2 combinaciones tenga la temperatura más alta ###
#CASO 1
# Hay 12 combinaciones que usan la temperatura más alta: 1 temp x 4 tiempos x 3 aceites
# Hay 24 combinaciones sin la temperatura más alta: 2 temps x 4 x 3
caso1 <- comb(12, 1) * comb(24, 1) # una con temp alta, una sin
caso2 <- comb(12, 2) # las dos con temp alta
casos_favorables <- caso1 + caso2
prob_b <- casos_favorables / total_combinaciones
cat("b) La probabilidad de que se use temp. más alta al menos una vez:", prob_b, "\n")## b) La probabilidad de que se use temp. más alta al menos una vez: 0.5619048En el punto B se pide la probabilidad de que se utilice la temperatura más alta en cualquiera de las 2 combinaciones seleccionadas, lo que quiere decir que en al menos una de las dos combinaciones que se seleccionen aparezca la temperatura más alta; para esto se consideraron dos casos favorables, el primero con temperatura (la más alta) * 4 tiempos * 3 aceites = 12 combinaciones con una temperatura alta y una sin temperatura alta, una combinación de las 24 que no tienen temperatura alta, en el segundo caso, se consideraron que en las dos combinaciones se tengan las temperaturas altas, notando que hay dos posibles casos favorables se suman y luego se dividen entre el total de combinaciones sin restricciones para así obtener lo que se pide en el punto b.
Ejercicio 2.119
Un fabricante de cierto tipo de componente electrónico abastece a los proveedores en lotes de 20. Suponga que 60% de todos los lotes no contiene componentes defectuosos, que 30% contiene un componente defectuoso y que 10% contiene dos componentes defectuosos. Si se elige un lote del que se extraen aleatoriamente dos componentes, los cuales se prueban y ninguno resulta defectuoso,
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya cero componentes defectuosos en el lote?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya un componente defectuoso en el lote?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos componentes defectuosos en el lote?
# Hay tres tipos de lotes
L_C0 <- 0.60 # 60% de los lotes tienen 0 componentes defectuosos
L_C1 <- 0.30 # 30% de los lote tienen 1 componente defectuoso
L_C2 <- 0.10 # 10% de los lote tienen 2 componentes defectuosos
# Probabilidad de observar 2 componentes buenos (evento A) dado cada tipo de lote
#Suponer que se sacan dos componentes al azar del lote
P_A_B_C0 <- 1 #Todos los componentes son buenos en este lote
P_A_B_C1 <- (19/20)*(18/19) #Hay 19 buenos y 1 malo en total. La probabilidad de
#sacar 2 buenos sería: Sacamos un bueno primero 19/20,
#y otro bueno después 18/19 (porque ya sacamos uno)
P_A_B_C2 <- (18/20)*(17/19) #Hay 18 buenos y se considera una relación similar
#al del lote anterior
# Probabilidad total de A
P_A <- P_A_B_C0 * L_C0 + P_A_B_C1 * L_C1 + P_A_B_C2 * L_C2
# Aplicar Bayes para cada caso
L_C0_B_A <- (P_A_B_C0 * L_C0) / P_A
L_C1_B_A <- (P_A_B_C1 * L_C1) / P_A
L_C2_B_A <- (P_A_B_C2 * L_C2) / P_A
# Mostrar resultados
cat("a) La probabilidad de haya 0 componentes defectuosos del lote del que se extraen 2 componentes buenos es =", round(L_C0_B_A, 4), "\n")## a) La probabilidad de haya 0 componentes defectuosos del lote del que se extraen 2 componentes buenos es = 0.6312cat("b) La probabilidad de haya 1 componente defectuoso del lote del que se extraen 2 componentes buenos es =", round(L_C1_B_A, 4), "\n")## b) La probabilidad de haya 1 componente defectuoso del lote del que se extraen 2 componentes buenos es = 0.2841cat("c) La probabilidad de haya 2 componentes defectuosos del lote del que se extraen 2 componentes buenos es =", round(L_C2_B_A, 4), "\n")## c) La probabilidad de haya 2 componentes defectuosos del lote del que se extraen 2 componentes buenos es = 0.0847Ejercicio 2.121
Una empresa constructora emplea a dos ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace el trabajo de estimar costos en 70% de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El ingeniero 2 hace lo mismo en 30% de las cotizaciones. Se sabe que la tasa de error para el ingeniero 1 es tal que la probabilidad de encontrar un error en su trabajo es 0.02; mientras que la probabilidad de encontrar un error en el trabajo del ingeniero 2 es 0.04. Suponga que al revisar una solicitud de cotización se encuentra un error grave en la estimación de los costos. ¿Qué ingeniero supondría usted que hizo los cálculos? Explique su respuesta y muestre todo el desarrollo.
# Estimación de costos
E_I1 <- 0.70 #Ingeniero 1
E_I2 <- 0.30 #Ingeniero 2
# Probabilidad de error dado el ingeniero
P_Error_T_I1 <- 0.02
P_Error_T_I2 <- 0.04
# Probabilidad total de que haya un error
P_Error <- P_Error_T_I1 * E_I1 + P_Error_T_I2 * E_I2
# Aplicar Bayes
P_I1_B_Error <- (P_Error_T_I1 * E_I1) / P_Error
P_I2_B_Error <- (P_Error_T_I2 * E_I2) / P_Error
# Mostrar resultados
cat("El error cometido por el Ingeniero 1 es de =", round(P_I1_B_Error, 4), "\n")## El error cometido por el Ingeniero 1 es de = 0.5385cat("El error cometido por el Ingeniero 2 es de =", round(P_I2_B_Error, 4), "\n")## El error cometido por el Ingeniero 2 es de = 0.4615Aunque el Ingeniero 1 comete errores con menor frecuencia, que es de un 2%, es él quien realiza el 70% de las cotizaciones, por lo tanto tiene muchas más oportunidades de equivocarse o es lo que se supondría, para poder responder de manera más acertiva a la pregunta del problema se aplicó el Teorema de Bayes, en donde la probabilidad de que el Ingeniero 1 haya cometido el error partiendo ya de un error dado, que en su caso es del 2%,se encontró un error de 0.5385, mientras que para el Ingeniero 2 es 0.4615, de lo que se puede concluir que el ingeniero 1 fue el que hizo los cálculos.
Ejercicio 2.123
En una planta industrial se está realizando un estudio para determinar la rapidez con la que los trabajadores lesionados regresan a sus labores después del percance. Los registros demuestran que 10% de los trabajadores lesionados son llevados al hospital para su tratamiento y que 15% regresan a su trabajo al día siguiente. Además, los estudios demuestran que 2% son llevados al hospital y regresan al trabajo al día siguiente. Si un trabajador se lesiona, ¿cuál es la probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente, o de ambas cosas?
Basado en la lectura del enunciado el evento de ir al hospital (H) y el evento de regresar al día siguiente (D) son eventos indipendientes porque en ningún momento se utilizan palabras que indican condicionalidad. Los primeros dos datos del código son las respuestas a las preguntas:“¿cuál es la probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente?. Para la probabilidad de ir al hospital o regresar al día siguiente se usa la regla aditiva:\(P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\), por lo que:
#Datos del enunciado
P_A = 0.1 #probabilidad de A
P_B = 0.15 #probabilidad de B
P_B_Y_A = 0.02 #probabilidad de B y A
#Regla aditiva
P_AUB = P_A+P_B-P_B_Y_A
cat("La probabilidad de ir al hospital o regresar al día siguiente es:", round(P_AUB, 4), "\n")## La probabilidad de ir al hospital o regresar al día siguiente es: 0.23Ejercicio 2.125
Una encuesta aplicada a quienes usan un software estadístico específico indica que 10% no quedó satisfecho. La mitad de quienes no quedaron satisfechos le compraron el sistema al vendedor A. También se sabe que 20% de los encuestados se lo compraron al vendedor A. Dado que el proveedor del paquete de software fue el vendedor A, ¿cuál es la probabilidad de que un usuario específico haya quedado insatisfecho?
Se nos pregunta la probabilidad de que el usuario haya quedado insatifecho sabiendo que el proveedor fue el vendedor A;para ello debemos que usar Bayes \[P(IN|VA)=\frac{P(IN \cap VA)}{P(VA)}\] Sin embargo no tenemos el valor de la intersección de las probabilidades de las personas que quedaron insatisfechas con las que compraron con el vendedor A, este valor se encuentra a partir de los datos dados: \[P(IN \cap VA)=P(VA|IN)*P(IN)\] Ya con la intersección encontrada se encuentra la probabilidad condiciona pedida:
P_IN = 0.1 #Probabilidad insatisfechos
P_VA_DADO_IN = 0.5 #Probabilidad de vendedor A si quedaron insatisfechos (esto es porque la miitad quedaron insatisfecjhos)
P_VA = 0.2 #Probabilidad de personas que compraron con compañía A
#Se encuentra la intersección a partir de los datos dados
P_IN_Y_VA = P_VA_DADO_IN*P_IN
#Se encuentra la probabilidad condicional pedida
P_IN_DADO_VA = P_IN_Y_VA / P_VA
cat("La probabilidad de quedar insatisfecho sabiendo que se compro del vendedor A es de:", round(P_IN_DADO_VA, 4), "\n")## La probabilidad de quedar insatisfecho sabiendo que se compro del vendedor A es de: 0.25Ejercicio 2.127
Hay 50% de probabilidad de que la reina tenga el gen de la hemofilia. Si es portadora, entonces cada uno de los príncipes tiene 50% de probabilidad independiente de tener hemofilia. Si la reina no es portadora, el príncipe no tendrá la enfermedad. Suponga que la reina tuvo tres príncipes que no padecen la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la reina sea portadora del gen?
Los datos que se dan en el problema son:
P_RH = 0.5 # Probabilidad de que la reina SI tenga hemofilia
P_RNH = 0.5 # Probabilidad de que la reina NO tenga hemofilia, es el complemento del anterior
P_PH_DADO_RH = 0.5 #Probabilidad de que un príncipe SI tenga hemofilia dado que la reina SI lo tenga
P_PNH_DADO_RH = 0.5 #Probabilidad de que un príncipe NO tenga hemofilia dado que la reina SI lo tenga
P_PH_DADO_RNH = 0 #Probabildiad de que un príncipe SI tenga hemofilia dado que la reina NO lo tenga
P_PNH_DADO_RNH = 1 #Probabildiad de que un príncipe NO tenga hemofilia dado que la reina NO lo tengaSe nos pide que encontremos la probalidad de : \(P(RH|PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3)\); usando Bayes se tiene que tenemos que encontrar: , y si además se agrega el hecho de que: \(P(RH|PNH_i)\) es igual para todos los i, entonces la expresión se vuelve: \[P(RH|PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3) = \frac{P(RH \cap PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3)}{P(RH)*P((PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3)|RH) + P(RNH) * P((PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3)|RNH)}\] Imaginandose un diagrama de árbol, en donde cada nuevo despliegue es un príncipe (es decir hay 4 despliegues en total, incluyendo el inicial de la reina), si se toma la rama en donde se empieza con RH y se pasa a travez de todos los PNH su probabilidad es:
\[P(RH \cap PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3)=(0.5)(0.5)(0.5)(0.5)=\frac{1}{16}\]
Y para hallar la probabilidad total de que los tres príncipes sean PNH solo falta encontrar la probabilidad empezando desde el camino donde la reina es RNH porque el camino empezando desde RH fue el encontrado anteriormente. Sin embargo, este camino es fácil ya que por así decirlo solo hay un camino: \[P(RNH \cap PNH_1 \cap PNH_2 \cap PNH_3) = (0.5)(1)(1)(1)(1)\] Ya teneiendo las expresiones,estas se pasan a código
#Versión en código de lo explicado anteriormente
P_RH_DADO_PNH_123 = (P_RH*P_PNH_DADO_RH^3)/(P_RH*P_PNH_DADO_RH^3 + P_RNH*P_PNH_DADO_RNH^3 )
cat("La probabilidad de que la reina tenga el gen tras haber tenido 3 hijos sanos es:", round(P_RH_DADO_PNH_123, 4), "\n")## La probabilidad de que la reina tenga el gen tras haber tenido 3 hijos sanos es: 0.1111