Solucion Taller 2 capítulo 2.10 (Probabilidad)

Punto 2.103

Un suero de la verdad tiene la propiedad de que 90% de los sospechosos culpables se juzgan de forma adecuada, mientras que, por supuesto, 10% de los sospechosos culpables erróneamente se consideran inocentes. Por otro lado, a los sospechosos inocentes se les juzga de manera errónea 1% de las veces. Si se aplica el suero a un sospechoso, que se selecciona de un grupo de sospechosos en el cual sólo 5% ha cometido un delito, y éste indica que es culpable, ¿cuál es la probabilidad de que sea inocente?

Solución analitica

# B  = "sospechoso es culpable"
# A  = "suero indica culpable"

p.b    <- 0.05
p.bc   <- 1 - p.b

p.a_b  <- 0.90
p.a_bc <- 0.01

# Bayes:
p.bc_a <- p.a_bc * p.bc / (p.a_bc * p.bc + p.a_b * p.b)

# Mensaje de conclusión
cat(sprintf(
  "\nConclusión: Si el suero indica que el sospechoso es culpable,\n"
))

## 
## Conclusión: Si el suero indica que el sospechoso es culpable,

cat(sprintf(
  "existe aproximadamente un %.2f%% de probabilidad de que, en realidad, sea inocente.\n",
  p.bc_a * 100
))

## existe aproximadamente un 17.43% de probabilidad de que, en realidad, sea inocente.

Punto 2.105

Con respecto a los siguientes conjuntos, \(S = \{1,2....,10\}\) \(A = \{2,3,4,5,9\}\) \(B = \{2,3,4,7,10\}\) \(C = {3,4,5,8,10}\)

verifique que:

\((A\cap B) \cup (A\cap B') = A\)

Solución analitica

S <- 1:10
A <- c(2,3,4,5,9)
B <- c(2,3,4,7,10)
C <- c(3,4,5,8,10)

AnB <- intersect(A,B)
Bc <- setdiff(S, B)
AnBc <- intersect(A,Bc)

resultado <- union(AnB, AnBc)
resultado == A

## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

cat("La afirmación es verdadera")

## La afirmación es verdadera

#$A'\cap(B'\cup C) = (A'\cap B')\cup(A'\cap C)$

Ac <- setdiff(S, A)
resultado_1 <- intersect(Ac, union(Bc, C))
resultado_2 <- union(intersect(Ac,Bc), intersect(Ac,C))
resultado_1 == resultado_2

## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE

cat("La afirmacion es verdadera")

## La afirmacion es verdadera

Punto 2.107

¿Cuántas manos de bridge que contengan 4 espadas, 6 diamantes, 1 trébol y 2 corazones son posibles?

Solución analitica

# Cálculo por cada grupo teniendo en cuenta que cada categoria tiene 13 cartas
espadas <- choose(13, 4)
diamantes <- choose(13, 6)
treboles <- choose(13, 1)
corazones <- choose(13, 2)

# Total de manos posibles
total_manos <- espadas * diamantes * treboles * corazones

cat("Número total de manos posibles:", total_manos, "\n")

## Número total de manos posibles: 1244117160

Punto 2.109

Una empresa industrial grande usa tres moteles locales para ofrecer hospedaje nocturno a sus clientes. Se sabe por experiencia que a 20% de los clientes se le asigna habitaciones en el Ramada Inn, a 50% en el Sheraton y a 30% en el Lakeview Motor Lodge. Si hay una falla en la plomería en 5% de las habitaciones del Ramada Inn, en 4% de las habitaciones del Sheraton y en 8% de las habitaciones del Lakeview Motor Lodge, ¿cuál es la probabilidad de que… a) a un cliente se le asigne una habitación en la que falle la plomería? b) a una persona que ocupa una habitación en la que falla la plomería se le haya hospedado en el Lakeview Motor Lodge?

Solución analitica

# a) P(Falla) = P(Ramada)*P(Falla|Ramada) + P(Sheraton)*P(Falla|Sheraton) +
# P(Lakeview)*P(Falla|Lakeview)
# P(Falla) = (0.20)*(0.05) + (0.50)*(0.04) + (0.30)*(0.08)
# P(Falla) = 0.01 + 0.02 + 0.024
# P(Falla) = 0.054

P_Ramada <- 0.2
P_Sheraton <- 0.5 
P_Lakeview <- 0.3

P_Falla_Ramada <- 0.05
P_Falla_Sheraton <- 0.04
P_Falla_Lakeview <- 0.08

P_Falla_Total <- (P_Ramada*P_Falla_Ramada) + (P_Sheraton*P_Falla_Sheraton) + (P_Lakeview*P_Falla_Lakeview)

cat("a) La probabilidad de que a alguien le toque una habitacion con falla de plomeria es de",P_Falla_Total*100,"%\n")

## a) La probabilidad de que a alguien le toque una habitacion con falla de plomeria es de 5.4 %

# b) Teorema de Bayes

# P(A|B) = P(AnB) / P(B), P(B|A) = P(BnA) / P(A)
# P(AnB) = P(BnA) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) 
# P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

# P(Lakeview|Falla) = P(Falla|Lakeview)*P(Lakeview) / P(Falla)

P_Lakeview_Falla <- P_Falla_Lakeview*P_Lakeview/P_Falla_Total

cat("b) La probabilidad de que a alguien con habitacion de falla de plomeria este hospedado en Lakeview Motor Lodge es de",P_Lakeview_Falla*100,"%\n")

## b) La probabilidad de que a alguien con habitacion de falla de plomeria este hospedado en Lakeview Motor Lodge es de 44.44444 %

Punto 2.111

Se sabe que 2/3 de los reclusos en cierta prisión federal son menores de 25 años de edad. También se sabe que 3/5 de los reos son hombres y que 5/8 son mujeres de 25 años de edad o mayores. ¿Cuál es la probabilidad de que un prisionero seleccionado al azar de esta prisión sea mujer y tenga al menos 25 años de edad?

Solución analitica

# H   = "prisionero es hombre"
# M   = "prisionero es mujer"
# J   = "prisionero es menor de 25 años"
# Jc  = "prisionero tiene 25 años o más"

p.h     <- 3/5
p.m     <- 1 - p.h

p.j     <- 2/3
p.jc    <- 1 - p.j

p.jc_m  <- 5/8# P(Yc | W) 

p.m_jc  <- p.m * p.jc_m


# Salida numérica
cat("Probabilidad P(M ∩ Jc) =", p.m_jc, "\n")

## Probabilidad P(M ∩ Jc) = 0.25

# Mensaje de conclusión
cat(sprintf(
  "\nConclusión: Aproximadamente el %.2f%% de los reclusos\n",
  p.m_jc * 100))

## 
## Conclusión: Aproximadamente el 25.00% de los reclusos

cat("son mujeres y tienen 25 años de edad o más.\n")

## son mujeres y tienen 25 años de edad o más.

Punto 2.113

De una caja que contiene 6 bolas negras y 4 verdes se extraen 3 bolas sucesivamente y cada bola se reemplaza en la caja antes de extraer la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que… a) las 3 sean del mismo color? b) cada color esté representado?

Solución analitica

# a) las 3 sean del mismo color?
 

#Probabilidades de sacar una bola de cada color

probabilidad_negra <- 0.6
probabilidad_verde <- 0.4

#Probabilidad de sacar 3 veces el mismo color

prob_tres_negras <- 0.6^3
prob_tres_verdes <- 0.4^3

prob_tres_mismo_color <- prob_tres_negras + prob_tres_verdes

cat("La probabilidad de que las 3 bolas sean del mismo color es de",prob_tres_mismo_color*100, "%")

## La probabilidad de que las 3 bolas sean del mismo color es de 28 %

# b) cada color esté representado?

prob_color_representado <- 1 - prob_tres_mismo_color
prob_color_representado

## [1] 0.72

cat("La probabilidad de que al menos halla una negra y otra verde es de",prob_color_representado*100, "%")

## La probabilidad de que al menos halla una negra y otra verde es de 72 %

Punto 2.115

Cierto organismo federal emplea a tres empresas consultoras (A, B y C) con probabilidades de 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente. Se sabe por experiencia que las probabilidades de que las empresas rebasen los costos son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente. Suponga que el organismo experimenta un exceso en los costos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea la A?

Solución analitica

# a) P(Exceso) = P(A)*P(Exceso|A) + P(B)*P(Exceso|B) + P(C)*P(Exceso|C)
# P(Exceso) = (0.40)*(0.05) + (0.35)*(0.03) + (0.25)*(0.15)
# P(Exceso) = 0.02 + 0.0105 + 0.0375
# P(Exceso) = 0.068

P_A <- 0.4
P_B <- 0.35
P_C <- 0.25

P_Exceso_A <- 0.05
P_Exceso_B <- 0.03
P_Exceso_C <- 0.15

P_Exceso_Total <- (P_A*P_Exceso_A) + (P_B*P_Exceso_B) + (P_C*P_Exceso_C)

# Teorema de Bayes

# P(A|B) = P(AnB) / P(B), P(B|A) = P(BnA) / P(A)
# P(AnB) = P(BnA) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) 
# P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

# P(C|Exceso) = P(Exceso|C)*P(C) / P(Exceso)

P_C_Exceso <- P_Exceso_C*P_C/P_Exceso_Total

cat("a) La probabilidad de que la empresa consultora sea la C es de",P_C_Exceso*100,"%\n")

## a) La probabilidad de que la empresa consultora sea la C es de 55.14706 %

# b) P(A|Exceso) = P(Exceso|A)*P(A) / P(Exceso)

P_A_Exceso <- P_Exceso_A*P_A/P_Exceso_Total

cat("a) La probabilidad de que la empresa consultora sea la A es de",P_A_Exceso*100,"%\n")

## a) La probabilidad de que la empresa consultora sea la A es de 29.41176 %

Punto 2.117

Considere la situación del ejercicio 2.116 y suponga que el fabricante puede probar sólo dos combinaciones en un día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que elija cualquier conjunto dado de 2 corridas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice la temperatura más alta en cualquiera de estas 2 combinaciones?

Solución analitica

# 1. Datos del problema

n_temperaturas <- 3
n_tiempos      <- 4
n_aceites      <- 3
n_total        <- n_temperaturas * n_tiempos * n_aceites   # 36 corridas

n_t_alta       <- 1 * n_tiempos * n_aceites   # 12 corridas con temperatura más alta
n_t_baja       <- n_total - n_t_alta          # 24 corridas sin temperatura más alta


# (a): ¿Cuál es la probabilidad de que elija cualquier 
# conjunto dado de 2 corridas?

# Eventos:
# A  : “se extrae la corrida A”
# B  : “se extrae la corrida B”

p.a      <- 1 / n_total
p.b_a    <- 1 / (n_total - 1)
p.b      <- 1 / n_total
p.a_b    <- 1 / (n_total - 1)


p.ainterb <- p.a * p.b_a + p.b * p.a_b
cat("Probabilidad del par concreto {A,B}  : ", p.ainterb, "\n") 

## Probabilidad del par concreto {A,B}  :  0.001587302

cat(sprintf(
  "\nConclusión:\n• La probabilidad de seleccionar ese par específico de corridas es %.4f%%.\n",
  p.ainterb * 100))

## 
## Conclusión:
## • La probabilidad de seleccionar ese par específico de corridas es 0.1587%.

#(b):¿Cuál es la probabilidad de que utilice la temperatu
# ra más alta en cualquiera de estas 2 combinaciones?

# Eventos:
#  alta : “la corrida usa la temperatura más alta”
#  baja : “la corrida NO usa la temperatura más alta”

p.alta       <- n_t_alta / n_total
p.baja       <- n_t_baja / n_total

# Probabilidades condicionales para la segunda extracción 
p.alta_alta  <- (n_t_alta - 1) / (n_total - 1)
p.baja_alta  <-  n_t_baja      / (n_total - 1)
p.alta_baja  <-  n_t_alta      / (n_total - 1)
p.baja_baja  <- (n_t_baja - 1) / (n_total - 1)

# Probabilidad de que ambas corridas sean con temperatura baja
p.baja1      <- p.baja
p.baja2_baja1<- p.baja_baja
p.baja1interbaja2<- p.baja1 * p.baja2_baja1

# Probabilidad de al menos una con temperatura alta 
p.mayorigual1_t_alta <- 1 - p.baja1interbaja2


cat("Probabilidad de al menos una temperatura alta: ", p.mayorigual1_t_alta, "\n") 

## Probabilidad de al menos una temperatura alta:  0.5619048

cat(sprintf(
  "• Hay un %.2f%% de probabilidad de que, en al menos una de las dos corridas del día, se utilice la temperatura más alta.\n",
  p.mayorigual1_t_alta * 100))

## • Hay un 56.19% de probabilidad de que, en al menos una de las dos corridas del día, se utilice la temperatura más alta.

Punto 2.119

Un fabricante de cierto tipo de componente electrónico abastece a los proveedores en lotes de 20. Suponga que 60% de todos los lotes no contiene componentes defectuosos, que 30% contiene un componente defectuoso y que 10% contiene dos componentes defectuosos. Si se elige un lote del que se extraen aleatoriamente dos componentes, los cuales se prueban y ninguno resulta defectuoso, a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cero componentes defectuosos en el lote? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un componente defectuoso en el lote? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos componentes defectuosos en el lote?

Solución analitica

# a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cero componentes defectuosos en el lote?

Lotes_nodef <- 0.6
Lotes_nodefcomp <- 1 # probabilidad de que al elegir dos componentes al azar no haya defectuosos

Lotes_undef <- 0.3
Lotes_undefcomp <- (19/20) * (18/19) # probabilidad de que al elegir dos componentes al azar no haya defectuosos

Lotes_dosdef <- 0.1
Lotes_dosdefcomp <- (18/20) * (17/19)# probabilidad de que al elegir dos componentes al azar no haya defectuosos

#Probabilidad de escoger un lote y que al escoger dos componentes hayan cero defectuosos
prob_escoger_dos_cerodef <- Lotes_nodef * Lotes_nodefcomp + Lotes_undef * Lotes_undefcomp + Lotes_dosdef * Lotes_dosdefcomp

prob_cero_def <- (Lotes_nodef * Lotes_nodefcomp)/prob_escoger_dos_cerodef

cat("La probabilidad es de",round(prob_cero_def, 3)*100, "%")

## La probabilidad es de 63.1 %

# b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un componente defectuoso en el lote?

prob_un_def <- (Lotes_undef * Lotes_undefcomp)/prob_escoger_dos_cerodef
cat("La probabilidad es de",round(prob_un_def, 3)*100, "%")

## La probabilidad es de 28.4 %

# c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos componentes defectuosos en el lote?

prob_dos_def <- (Lotes_dosdef * Lotes_dosdefcomp)/prob_escoger_dos_cerodef
cat("La probabilidad es de",round(prob_dos_def, 3)*100, "%")

## La probabilidad es de 8.5 %

Punto 2.121

Una empresa constructora emplea a dos ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace el trabajo de estimar costos en 70% de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El ingeniero 2 hace lo mismo en 30% de las cotizaciones. Se sabe que la tasa de error para el ingeniero 1 es tal que la probabilidad de encontrar un error en su trabajo es 0.02; mientras que la probabilidad de encontrar un error en el trabajo del ingeniero 2 es 0.04. Suponga que al revisar una solicitud de cotización se encuentra un error grave en la estimación de los costos. ¿Qué ingeniero supondría usted que hizo los cálculos? Explique su respuesta y muestre todo el desarrollo

Solución analitica

# P(Error) = P(Ing 1)*P(Error|Ing 1) + P(Ing 2)*P(Error|Ing 2)
# P(Error) = (0.70)*(0.02) + (0.30)*(0.04)
# P(Error) = 0.014 + 0.012
# P(Error) = 0.026

P_Ing_1 <- 0.7
P_Ing_2 <- 0.3

P_Error_Ing_1 <- 0.02
P_Error_Ing_2 <- 0.04

P_Error_Total <- (P_Ing_1*P_Error_Ing_1) + (P_Ing_2*P_Error_Ing_2)

# Teorema de Bayes

# P(A|B) = P(AnB) / P(B), P(B|A) = P(BnA) / P(A)
# P(AnB) = P(BnA) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) 
# P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

# P(Ing 1|Error) = P(Error|Ing 1)*P(Ing 1) / P(Error)

P_Ing_1_Error <- P_Error_Ing_1*P_Ing_1/P_Error_Total

cat("La probabilidad de que el error sea del intgeniero 1 es de",P_Ing_1_Error*100,"%\n")

## La probabilidad de que el error sea del intgeniero 1 es de 53.84615 %

# P(Ing 2|Error) = P(Error|Ing 2)*P(Ing 2) / P(Error)

P_Ing_2_Error <- P_Error_Ing_2*P_Ing_2/P_Error_Total

cat("La probabilidad de que el error sea del intgeniero 2 es de",P_Ing_2_Error*100,"%\n")

## La probabilidad de que el error sea del intgeniero 2 es de 46.15385 %

cat("Debido a que cuando se comete un error es mas probable que el error sea del ingeniero 1 que del ingeniero 2, se puede suponer que el ingeniero 1 hizo los calculos")

## Debido a que cuando se comete un error es mas probable que el error sea del ingeniero 1 que del ingeniero 2, se puede suponer que el ingeniero 1 hizo los calculos

Punto 2.123

En una planta industrial se está realizando un estudio para determinar la rapidez con la que los trabajadores lesionados regresan a sus labores después del percance. Los registros demuestran que 10% de los trabajadores lesionados son llevados al hospital para su tratamiento y que 15% regresan a su trabajo al día siguiente. Además, los estudios demuestran que 2% son llevados al hospital y regresan al trabajo al día siguiente. Si un trabajador se lesiona, ¿cuál es la probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente, o de ambas cosas?

Solución analitica

# H : “el trabajador es llevado al hospital”
# R : “el trabajador regresa a su trabajo al día siguiente”

p.h<- 0.10
p.r<- 0.15
p.hinterr<- 0.02


# Regla de la unión:  P(H ∪ R) = P(H) + P(R) – P(H ∩ R)
p.hunionr <- p.h + p.r - p.hinterr

cat("Probabilidad (H ∪ R) =", p.hunionr, "\n")

## Probabilidad (H ∪ R) = 0.23

cat(sprintf(
  "Conclusión: Aproximadamente el %.2f%% de los trabajadores lesionados\n",
  p.hunionr * 100
))

## Conclusión: Aproximadamente el 23.00% de los trabajadores lesionados

cat("serán llevados al hospital, regresarán a su trabajo al día siguiente\n")

## serán llevados al hospital, regresarán a su trabajo al día siguiente

cat("o experimentarán ambas situaciones.\n")

## o experimentarán ambas situaciones.

Punto 2.125

Una encuesta aplicada a quienes usan un software estadístico específi co indica que 10% no quedó satisfecho. La mitad de quienes no quedaron satisfechos le compraron el sistema al vendedor A. También se sabe que 20% de los encuestados se lo compraron al vendedor A. Dado que el proveedor del paquete de software fue el vendedor A, ¿cuál es la probabilidad de que un usuario específico haya quedado insatisfecho?

Solución analitica

prob_insatisfecho <- 0.1
prob_A_insatisfecho <- 0.5
prob_A <- 0.2
prob_insatisfecho_A <- (prob_insatisfecho * prob_A_insatisfecho)/prob_A
cat("La probabilidad de que un usuario que compro A y haya quedado insatisfecho es", round(prob_insatisfecho_A,3)*100,"%")

## La probabilidad de que un usuario que compro A y haya quedado insatisfecho es 25 %

Punto 2.127

Hay 50% de probabilidad de que la reina tenga el gen de la hemofilia. Si es portadora, entonces cada uno de los príncipes tiene 50% de probabilidad independiente de tener hemofi lia. Si la reina no es portadora, el príncipe no tendrá la enfermedad. Suponga que la reina tuvo tres príncipes que no padecen la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la reina sea portadora del gen?

Solución analitica

# P(La Reina tiene Hemofilia) = 0.50
# P(La Reina NO tiene Hemofilia) = 1 - P(La Reina tiene Hemofilia) = 1 - 0.50 = 0.50
# P(El Principe tiene Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia) = 0.50
# P(El Principe tiene Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia) = 0.00
# P(El Principe NO tiene Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia) = 1 - P(El Principe tiene Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia) = 1 - 0.50 = 0.5
# P(El Principe NO tiene Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia) = 1 - P(El Principe NO tiene Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia) = 1 - 0.00 = 1.00

P_Hemofilia_Reina <- 0.5
P_No_Hemofilia_Reina <- 1 - P_Hemofilia_Reina
P_Hemofilia_Principe_Reina_Si <- 0.5
P_Hemofilia_Principe_Reina_No <- 0.0
P_No_Hemofilia_Principe_Reina_Si <- 1 - P_Hemofilia_Principe_Reina_Si
P_No_Hemofilia_Principe_Reina_No <- 1 - P_Hemofilia_Principe_Reina_No

# P(3 Principes NO tienen Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia) = P(El Principe NO tiene Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia)^3 = (0.5)^3 = 0.125
# P(3 Principes NO tienen Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia) = P(El Principe NO tiene Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia)^3 = (1.00)^3 = 1.00

P_No_Hemofilia_3_Principes_Reina_Si <- (P_No_Hemofilia_Principe_Reina_Si)^3
P_No_Hemofilia_3_Principes_Reina_No <- (P_No_Hemofilia_Principe_Reina_No)^3

# P(3 Principes NO tienen Hemofilia) = P(3 Principes NO tienen Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia)*P(La Reina tiene Hemofilia) + P(3 Principes NO tienen Hemofilia|La Reina NO tiene Hemofilia)*P(La Reina NO tiene Hemofilia)
# P(3 Principes NO tienen Hemofilia) = (0.125)*(0.50) + (1.00)*(0.50)
# P(3 Principes NO tienen Hemofilia) = 0.0625 + 0.50
# P(3 Principes NO tienen Hemofilia) = 0.5625

P_No_Hemofilia_3_Principes_Total <- (P_No_Hemofilia_3_Principes_Reina_Si*P_Hemofilia_Reina) + (P_No_Hemofilia_3_Principes_Reina_No*P_No_Hemofilia_Reina)

# Teorema de Bayes

# P(A|B) = P(AnB) / P(B), P(B|A) = P(BnA) / P(A)
# P(AnB) = P(BnA) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) 
# P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

# P(La Reina tiene Hemofilia|3 Principes NO tienen Hemofilia) = P(3 Principes NO tienen Hemofilia|La Reina tiene Hemofilia)*P(La Reina tiene Hemofilia) / P(3 Principes NO tienen Hemofilia)

P_Hemofilia_Reina_3_Principes_No <- P_No_Hemofilia_3_Principes_Reina_Si*P_Hemofilia_Reina/P_No_Hemofilia_3_Principes_Total

cat("La probabilidad de que la Reina tenga Hemofilia cuando 3 Principes no la tienen es de",P_Hemofilia_Reina_3_Principes_No*100,"%\n")

## La probabilidad de que la Reina tenga Hemofilia cuando 3 Principes no la tienen es de 11.11111 %