1. En una universidad, la duración de un examen final de Estadística sigue una distribución normal con: - Media (\(\mu\)) = 90 minutos - Desviación estándar (\(\sigma\)) = 10 minutos

¿Cuál es la densidad de probabilidad de que un estudiante termine su examen en exactamente 100 minutos?

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} \]

# Parámetros
media <- 90
desviacion_estandar <- 10
x <- 100

# Cálculo de la densidad en x = 100
densidad <- dnorm(x, mean = media, sd = desviacion_estandar)
densidad
## [1] 0.02419707

Gráfica de distribución

# Crear la curva de la distribución normal
curve(dnorm(x, mean = 90, sd = 10), 
      from = 60, 
      to = 120,
      main = "Densidad de Probabilidad en Exámenes de Estadística",
      xlab = "Tiempo (minutos)",
      ylab = "Densidad",
      lwd = 2,
      col = "blue")

# Marcar la media (90) con una línea vertical
abline(v = 90, col = "darkgreen", lty = 2, lwd = 1.5)

# Resaltar el punto x = 100
points(100, dnorm(100, 90, 10), col = "red", pch = 19, cex = 1.5)
abline(v = 100, col = "red", lty = 3, lwd = 1.5)

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("Densidad (FDP)", "Media (90)", "Punto en 100 min"),
       col = c("blue", "darkgreen", "red"),
       lty = c(1, 2, 3),
       pch = c(NA, NA, 19),
       lwd = 2,
       cex = 0.8)

R) la densidad de probabilidad de que un estudiante termine su examen en exactamente 100 minutos es aproximadamente 0.0242 o 2,42%.

  1. Una tienda tiene un tiempo de entrega promedio de 48 horas con desviación estándar de 6 horas (distribución normal).
    Pregunta: ¿Cuál es la densidad de probabilidad de que un pedido se entregue exactamente en 54 horas?
media <- 48
desviacion <- 6
x <- 54

densidad <- dnorm(x, mean = media, sd = desviacion)
densidad
## [1] 0.04032845

Gráfica de distribución

curve(dnorm(x, media, desviacion), 
      from = 30, 
      to = 66,
      main = "Densidad de Probabilidad en Tiempos de Entrega",
      xlab = "Horas",
      ylab = "Densidad",
      col = "#2c3e50",
      lwd = 2)

# Marcar media y punto de interés
abline(v = media, col = "#27ae60", lty = 2, lwd = 2)
points(x, densidad, col = "#e74c3c", pch = 19, cex = 1.8)
abline(v = x, col = "#e74c3c", lty = 3, lwd = 1.5)

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("FDP", "Media (48h)", paste("54h (Densidad =", round(densidad, 4), ")")),
       col = c("#2c3e50", "#27ae60", "#e74c3c"),
       lty = c(1, 2, 3),
       pch = c(NA, NA, 19),
       lwd = 2)

R)El punto rojo está a 1 desviación estándar de la media (48h + 6h),su densidad es aproximadamente 60% del valor máximo.

  1. Los niveles de colesterol en una población siguen una distribución normal con:
media_col <- 200
sd_col <- 25
x_col <- 210

densidad_col <- dnorm(x_col, mean = media_col, sd = sd_col)
densidad_col
## [1] 0.01473081

Gráfica de distribución

# Parámetros
media_col <- 200
sd_col <- 25
x_col <- 210
densidad_col <- dnorm(x_col, media_col, sd_col)

# Crear gráfico con ajustes de escala
curve(dnorm(x, media_col, sd_col), 
      from = 125, 
      to = 275,
      ylim = c(0, 0.03),  # Ajustamos el límite del eje Y
      main = "Densidad de Colesterol Total (Media = 200 mg/dL, DE = 25 mg/dL)",
      xlab = "Nivel de colesterol (mg/dL)",
      ylab = "Densidad de probabilidad",
      col = "#3498db",
      lwd = 2,
      cex.main = 0.9)

# Elementos gráficos mejorados
abline(v = media_col, col = "#2ecc71", lty = 2, lwd = 2)  # Media
points(x_col, densidad_col, col = "#e74c3c", pch = 19, cex = 2)  # Punto más grande
abline(v = x_col, col = "#e74c3c", lty = 3, lwd = 1.5)    # Línea vertical
text(x_col, densidad_col + 0.002,  # Texto arriba del punto
     labels = paste("210 mg/dL\nDensidad =", round(densidad_col, 4)), 
     col = "#e74c3c", cex = 0.8)

# Leyenda con posición ajustada
legend("topright",
       legend = c("Función de densidad", "Media (200 mg/dL)", "Valor en 210 mg/dL"),
       col = c("#3498db", "#2ecc71", "#e74c3c"),
       lty = c(1, 2, NA),
       pch = c(NA, NA, 19),
       lwd = 2,
       cex = 0.8)

  1. El punto rojo (210 mg/dL) está en la zona de cola derecha y cercana al centro la densidad es aproximadamente el 53% del valor máximo.
  1. Encuentre las siguientes probabilidades para la variable aleatoria normal estándar z:
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)

Cálculo de probabilidades para la distribución normal estándar \(Z\)

Soluciones

a. \(P(0.68 < Z < 1.43)\)

prob_a <- pnorm(1.43) - pnorm(0.68)
prob_a
## [1] 0.1718937

b. \(P(0.58 < Z < 1.74)\)

prob_b <- pnorm(1.74) - pnorm(0.58)
prob_b
## [1] 0.2400278

c. \(P(-0.44 < Z < 1.55)\)

prob_c <- pnorm(1.55) - pnorm(-0.44)
prob_c
## [1] 0.6094607

d. \(P(Z > 1.34)\)

prob_d <- 1 - pnorm(1.34)
prob_d
## [1] 0.09012267

e. \(P(Z < 4.32)\)

prob_e <- pnorm(4.32)
prob_e
## [1] 0.9999922

  1. Una variable aleatoria normal x tiene media de 1.35 y desviación estándar 0.15. Encuentre las probabilidades de estos valores x:

  2. 2.00 < x < 2.20

  3. x > 2.48

  4. 2.35 < x < 2.50

media_x <- 1.35
sd_x <- 0.15

Soluciones

a. \(P(2.00 < X < 2.20)\)

prob_a <- pnorm(2.20, media_x, sd_x) - pnorm(2.00, media_x, sd_x)
prob_a
## [1] 7.336144e-06

b. \(P(X > 2.48)\)

prob_b <- 1 - pnorm(2.48, media_x, sd_x)
prob_b
## [1] 2.475797e-14

c. \(P(2.35 < X < 2.50)\)

prob_c <- pnorm(2.50, media_x, sd_x) - pnorm(2.35, media_x, sd_x)
prob_c
## [1] 1.307521e-11
  1. Una fábrica produce tornillos con diámetros distribuidos normalmente:
  • Media (\(\mu\)) = 5 mm
  • Desviación estándar (\(\sigma\)) = 0.2 mm
    Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga un diámetro mayor a 5.3 mm?
media <- 5
desviacion <- 0.2
limite <- 5.3

prob <- 1 - pnorm(limite, mean = media, sd = desviacion)
prob_z <- round((limite - media)/desviacion, 2)  # Valor Z estandarizado

Gráfica de distribución

# Curva normal
curve(dnorm(x, media, desviacion), 
      from = 4.4, 
      to = 5.6,
      main = paste("Diámetros de tornillos\n", "μ = 5 mm, σ = 0.2 mm"),
      xlab = "Diámetro (mm)",
      ylab = "Densidad",
      col = "#2c3e50",
      lwd = 2)

# Área de interés (cola derecha)
polygon(c(limite, seq(limite, 5.6, 0.01), 5.6),
        c(0, dnorm(seq(limite, 5.6, 0.01), media, desviacion), 0),
        col = "#e74c3c30",
        border = NA)

# Líneas de referencia
abline(v = media, col = "#27ae60", lty = 2, lwd = 2)  # Media
abline(v = limite, col = "#e74c3c", lwd = 1.5)        # Límite 5.3 mm

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("Distribución", "Media (5 mm)", 
                  paste("> 5.3 mm (Prob =", round(prob*100, 2), "%)")),
       col = c("#2c3e50", "#27ae60", "#e74c3c"),
       lty = c(1, 2, 1),
       lwd = 2,
       cex = 0.8)

  1. El área roja representa la Probabilidad de interés (X>5.3 mm), mientras que la línea verde es la Media del proceso (5 mm).
  1. Los puntajes siguen una distribución normal con:
  • Media (\(\mu\)) = 70 puntos
  • Desviación estándar (\(\sigma\)) = 10 puntos
    Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga entre 65 y 85 puntos?
media <- 70
desviacion <- 10
lim_inf <- 65
lim_sup <- 85

prob <- pnorm(lim_sup, media, desviacion) - pnorm(lim_inf, media, desviacion)
z_inf <- round((lim_inf - media)/desviacion, 2)  # Estandarización Z
z_sup <- round((lim_sup - media)/desviacion, 2)

Gráfica de distribución

# Curva normal
curve(dnorm(x, media, desviacion), 
      from = 40, 
      to = 100,
      main = "Distribución de Puntajes del Examen\n(μ = 70, σ = 10)",
      xlab = "Puntaje",
      ylab = "Densidad",
      col = "#3498db",
      lwd = 2)

# Área de interés (65-85)
polygon(c(lim_inf, seq(lim_inf, lim_sup, 0.1), lim_sup),
        c(0, dnorm(seq(lim_inf, lim_sup, 0.1), media, desviacion), 0),
        col = "#2ecc7080",  # Verde semitransparente
        border = NA)

# Líneas de referencia
abline(v = media, col = "#e67e22", lty = 2, lwd = 2)  # Media
abline(v = c(lim_inf, lim_sup), col = "#e74c3c", lwd = 1.5)  # Límites

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("Distribución", "Media (70)", 
                  paste("65-85 pts (", round(prob*100, 1), "%)")),
       col = c("#3498db", "#e67e22", "#2ecc70"),
       lty = c(1, 2, 1),
       lwd = 2,
       cex = 0.8)

  1. El área verde es el rango de interés (65-85 puntos), mientras que la línea naranja es la media del examen (70 puntos).
  1. El tiempo de reacción de pacientes sigue una distribución normal con:
  • Media (\(\mu\)) = 30 minutos
  • Desviación estándar (\(\sigma\)) = 5 minutos
    Pregunta clínica: ¿Qué probabilidad hay de que un paciente responda entre 25 y 35 minutos post-aplicación?
# Parámetros
media_tr <- 30
sd_tr <- 5
lim_inf <- 25
lim_sup <- 35

# Cálculo de probabilidad
prob <- pnorm(lim_sup, media_tr, sd_tr) - pnorm(lim_inf, media_tr, sd_tr)

# Estandarización a puntajes Z
z_inf <- (lim_inf - media_tr)/sd_tr  # Z para 25 min
z_sup <- (lim_sup - media_tr)/sd_tr  # Z para 35 min

Gráfica de distribución

# Configuración gráfica
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3
ggplot(data.frame(x = c(15, 45)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = media_tr, sd = sd_tr),
               color = "#3498db", linewidth = 1.2) +
  geom_area(stat = "function", fun = dnorm, args = list(mean = media_tr, sd = sd_tr),
            fill = "#2ecc70", alpha = 0.3, xlim = c(lim_inf, lim_sup)) +
  geom_vline(xintercept = media_tr, linetype = "dashed", color = "#e67e22") +
  geom_vline(xintercept = c(lim_inf, lim_sup), color = "#e74c3c") +
  annotate("text", x = 30, y = 0.02, 
           label = paste("Probabilidad =", round(prob*100, 1), "%"), 
           color = "black", size = 4) +
  labs(title = "Distribución de Tiempos de Reacción",
       subtitle = "Media = 30 min, Desviación = 5 min",
       x = "Tiempo (minutos)",
       y = "Densidad de probabilidad") +
  theme_minimal()

  1. El intervalo 25-35 minutos cubre ±1 desviación estándar desde la media. Según la regla empírica 68-95-99.7, esto corresponde al 68% del área bajo la curva normal.