Pendahuluan

Spasial ekonometrik merupakan cabang dari ilmu ekonometrika yang memperhitungkan pengaruh lokasi atau ruang dalam hubungan ekonometrik. Pendekatan ini berkembang untuk menangani permasalahan ketika data saling bergantung secara geografis, seperti dalam kasus rumah tangga di wilayah tertentu, kota-kota dalam satu negara, atau wilayah administrasi lainnya.

Konsep dasar spasial dalam ekonometrika mulai dikenal pada dekade 1970-an dan 1980-an, ketika para ekonom dan geografer menyadari pentingnya ketergantungan spasial dalam analisis data regional. Salah satu tokoh penting dalam pengembangan ekonometrika spasial adalah Luc Anselin, seorang ilmuwan yang mempopulerkan pendekatan ini melalui karyanya “Spatial Econometrics: Methods and Models” yang diterbitkan pada tahun 1988. Buku ini menjadi tonggak penting dalam metodologi analisis spasial yang sistematis, termasuk pengembangan model SAR (Spatial Autoregressive) dan SEM (Spatial Error Model).

Dengan kemajuan komputasi dan ketersediaan data spasial digital, ekonometrika spasial semakin luas digunakan di berbagai bidang seperti perencanaan wilayah, epidemiologi, lingkungan, serta kebijakan publik.

1. Matriks Bobot Spasial

Langkah-langkah:

Baca data spasial dari shapefile wilayah administratif.
Subset wilayah yang akan dianalisis, misalnya Kota Bandung.
Tentukan ID dan koordinat pusat masing-masing wilayah.
Buat matriks bobot berdasarkan keterhubungan spasial (queen contiguity).

Indo_Kec <- readRDS('gadm36_IDN_3_sp.rds')
Bandung <- Indo_Kec[Indo_Kec$NAME_2 == "Kota Bandung", ]
Bandung$id <- 1:30
row.names(Bandung) <- as.character(1:30)
CoordK <- sp::coordinates(Bandung)

W <- poly2nb(Bandung, queen = TRUE)
W_matrix <- nb2mat(W, style = 'B', zero.policy = TRUE)
W_list <- nb2listw(W, style = 'W')
W_matrix[1:5, 1:5]

##   [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## 1    0    0    0    1    1
## 2    0    0    1    0    0
## 3    0    1    0    0    0
## 4    1    0    0    0    0
## 5    1    0    0    0    0

Penjelasan:

Matriks W menunjukkan hubungan spasial antar kecamatan: 1 jika berbatasan, 0 jika tidak.
Digunakan dalam model spasial sebagai dasar pembobotan ketergantungan spasial.

Visualisasi Peta dan Keterhubungan Spasial

plot(Bandung, axes = TRUE, col = "gray90", main = "Peta Kecamatan Kota Bandung")
text(CoordK[,1], CoordK[,2], row.names(Bandung), col = "black", cex = 0.8, pos = 1.5)
points(CoordK[,1], CoordK[,2], pch = 19, cex = 0.7, col = "blue")
plot(W, CoordK, col = "red", add = TRUE)

2. Model Spasial Ekonometrik

2.1 Spesifikasi Model

Model SAR:

\[ y = \rho W y + X\beta + \epsilon \] - \(y\): variabel dependen - \(W y\): pengaruh wilayah sekitar - \(X\beta\): efek variabel independen - \(\rho\): koefisien spasial

Model SEM:

\[ y = X\beta + u, \quad u = \lambda W u + \epsilon \] - \(\lambda\): koefisien error spasial - SEM menangkap pengaruh spasial dalam error, bukan pada \(y\) langsung.

2.2 Langkah Analisis:

Tentukan bentuk hubungan spasial (model SAR/SEM).
Bangun matriks bobot spasial \(W\).
Lakukan estimasi parameter dengan metode Maximum Likelihood.
Lakukan uji hipotesis untuk memverifikasi ketergantungan spasial.

3. Simulasi Data SAR dan SEM

set.seed(42)
n <- 30
x1 <- rnorm(n)
x2 <- runif(n)
x <- cbind(1, x1, x2)
beta <- c(2, 0.5, -0.3)

rho <- 0.6
I <- diag(n)
y_sar <- solve(I - rho * W_matrix) %*% (x %*% beta + rnorm(n))

lambda <- 0.7
u <- solve(I - lambda * W_matrix) %*% rnorm(n)
y_sem <- x %*% beta + u

sim_data <- data.frame(id = 1:n, x1 = x1, x2 = x2, y_sar = y_sar, y_sem = y_sem)

Penjelasan:

Data disimulasikan agar merepresentasikan fenomena spasial.
Digunakan dua model berbeda (SAR dan SEM) untuk menunjukkan efek ketergantungan.

4. Estimasi dan Uji Hipotesis

4.1 Estimasi Model SAR dan SEM

sar_model <- spatialreg::lagsarlm(y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data, listw = W_list)
sem_model <- spatialreg::errorsarlm(y_sem ~ x1 + x2, data = sim_data, listw = W_list)
summary(sar_model)

## 
## Call:spatialreg::lagsarlm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data, 
##     listw = W_list)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -9.98184 -3.13638 -0.35046  3.21351  8.97155 
## 
## Type: lag 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)  2.61451    1.55158  1.6851  0.09198
## x1          -0.26283    0.70505 -0.3728  0.70931
## x2          -5.36908    3.08714 -1.7392  0.08200
## 
## Rho: 0.81726, LR test value: 12.937, p-value: 0.00032207
## Asymptotic standard error: 0.091432
##     z-value: 8.9385, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 79.896, p-value: < 2.22e-16
## 
## Log likelihood: -92.56581 for lag model
## ML residual variance (sigma squared): 22.23, (sigma: 4.7149)
## Number of observations: 30 
## Number of parameters estimated: 5 
## AIC: 195.13, (AIC for lm: 206.07)
## LM test for residual autocorrelation
## test value: 15.068, p-value: 0.0001037

summary(sem_model)

## 
## Call:spatialreg::errorsarlm(formula = y_sem ~ x1 + x2, data = sim_data, 
##     listw = W_list)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -615.832 -319.001   35.615  343.674  815.648 
## 
## Type: error 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)  -46.783    420.594 -0.1112   0.9114
## x1           -51.972     59.673 -0.8709   0.3838
## x2            27.624    214.798  0.1286   0.8977
## 
## Lambda: 0.82905, LR test value: 12.708, p-value: 0.00036402
## Asymptotic standard error: 0.087584
##     z-value: 9.4658, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 89.602, p-value: < 2.22e-16
## 
## Log likelihood: -225.1208 for error model
## ML residual variance (sigma squared): 151390, (sigma: 389.09)
## Number of observations: 30 
## Number of parameters estimated: 5 
## AIC: 460.24, (AIC for lm: 470.95)

Langkah-langkah:

Gunakan lagsarlm() untuk model SAR.
Gunakan errorsarlm() untuk model SEM.
Interpretasi koefisien dan signifikansi p-value.

4.2 Uji Koefisien Spasial

Hipotesis: - \(H_0: \rho = 0\) → tidak ada ketergantungan spasial - \(H_1: \rho \neq 0\) → ada ketergantungan spasial

\(H_0: \lambda = 0\) → tidak ada ketergantungan error spasial
\(H_1: \lambda \neq 0\)

Jika p-value < 0.05 → tolak \(H_0\), ada pengaruh spasial yang signifikan.

4.3 Uji LM (Lagrange Multiplier)

lm.LMtests(lm(y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data), listw = W_list, test = "all")

## Please update scripts to use lm.RStests in place of lm.LMtests

## 
##  Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
##  dependence
## 
## data:  
## model: lm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data)
## test weights: listw
## 
## RSerr = 5.9808, df = 1, p-value = 0.01446
## 
## 
##  Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
##  dependence
## 
## data:  
## model: lm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data)
## test weights: listw
## 
## RSlag = 8.0005, df = 1, p-value = 0.004677
## 
## 
##  Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
##  dependence
## 
## data:  
## model: lm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data)
## test weights: listw
## 
## adjRSerr = 1.175, df = 1, p-value = 0.2784
## 
## 
##  Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
##  dependence
## 
## data:  
## model: lm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data)
## test weights: listw
## 
## adjRSlag = 3.1946, df = 1, p-value = 0.07388
## 
## 
##  Rao's score (a.k.a Lagrange multiplier) diagnostics for spatial
##  dependence
## 
## data:  
## model: lm(formula = y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data)
## test weights: listw
## 
## SARMA = 9.1754, df = 2, p-value = 0.01018

Formula:

LM = \(\frac{(e' W y)^2}{\hat{\sigma}^2 \cdot tr(W'W)}\),

dengan \(e\) adalah residual model OLS.

Uji ini memeriksa apakah residual memiliki pola spasial.
Jika signifikan, lanjut ke model SAR atau SEM.

4.4 Uji LR (Likelihood Ratio)

logLik(lm(y_sar ~ x1 + x2, data = sim_data))

## 'log Lik.' -99.03453 (df=4)

logLik(sar_model)

## 'log Lik.' -92.56581 (df=5)

logLik(sem_model)

## 'log Lik.' -225.1208 (df=5)

Langkah:

Estimasi log-likelihood model OLS.
Bandingkan dengan SAR/SEM.
Jika LL(SAR/SEM) > LL(OLS) secara signifikan → model spasial lebih baik.

5. Visualisasi Output SAR dan SEM

Bandung$y_sar <- as.numeric(sim_data$y_sar)
Bandung$y_sem <- as.numeric(sim_data$y_sem)

spplot(Bandung, "y_sar", main = "Simulasi Output SAR", col.regions = viridis::viridis(30))

spplot(Bandung, "y_sem", main = "Simulasi Output SEM", col.regions = viridis::viridis(30))

6. Kesimpulan

Spasial ekonometrik memberikan pendekatan yang lebih realistis dalam menganalisis fenomena sosial ekonomi yang tersebar secara geografis. Dengan mempertimbangkan interaksi antar wilayah, model seperti SAR dan SEM mampu mengatasi pelanggaran asumsi klasik akibat adanya autokorelasi spasial.

Dari hasil simulasi dan pengujian: - Koefisien \(\rho\) dan \(\lambda\) signifikan → terdapat pengaruh spasial nyata - Uji LM menunjukkan perlunya pendekatan spasial - Log-likelihood SAR dan SEM lebih baik dibanding OLS

Implementasi ini menunjukkan bahwa pendekatan spasial penting untuk pengambilan keputusan berbasis data wilayah, baik untuk perencanaan, kebijakan, maupun penelitian lanjutan.

Spasial Ekonometrik dengan R

MUHAMMAD SAHID

2025-05-19

Pendahuluan

1. Matriks Bobot Spasial

Langkah-langkah:

Penjelasan:

Visualisasi Peta dan Keterhubungan Spasial

2. Model Spasial Ekonometrik

2.1 Spesifikasi Model

Model SAR:

Model SEM:

2.2 Langkah Analisis:

3. Simulasi Data SAR dan SEM

Penjelasan:

4. Estimasi dan Uji Hipotesis

4.1 Estimasi Model SAR dan SEM

Langkah-langkah:

4.2 Uji Koefisien Spasial

4.3 Uji LM (Lagrange Multiplier)

Formula:

4.4 Uji LR (Likelihood Ratio)

Langkah:

5. Visualisasi Output SAR dan SEM

6. Kesimpulan