Nguyen Huu Hao_nv1
Tóm tắt “Generalized Linear Models With Examples in R”
Generalized Linear Models With Examples in R là một hướng dẫn thực tiễn xuất sắc, kết hợp nền tảng lý thuyết thống kê với ứng dụng thực hành của Mô hình Hồi quy Tuyến tính Tổng quát (GLM) thông qua ngôn ngữ R. Cuốn sách trình bày rõ ràng các khái niệm cốt lõi của GLM, bao gồm hàm liên kết (link function), phân phối xác suất trong họ hàm mũ, và phương pháp xây dựng mô hình cho các loại dữ liệu đa dạng, chẳng hạn như dữ liệu nhị phân (hồi quy logistic), dữ liệu đếm (hồi quy Poisson), và dữ liệu liên tục dương (hồi quy Gamma).
Tài liệu hướng dẫn chi tiết cách sử dụng hàm glm() trong R để ước lượng mô hình, đánh giá chất lượng, và diễn giải kết quả thống kê. Các kỹ thuật quan trọng như kiểm định độ phù hợp (goodness-of-fit) và xử lý hiện tượng phân tán quá mức (overdispersion) được giải thích cẩn thận, kèm theo mã R minh bạch để người đọc có thể áp dụng ngay. Đặc biệt, sách cung cấp các ví dụ thực tiễn phong phú, từ phân tích dữ liệu y tế (như tỷ lệ mắc bệnh) đến nghiên cứu sinh thái (như mật độ loài), giúp người học dễ dàng liên hệ lý thuyết với các bài toán thực tế.
Hơn nữa, cuốn sách mở rộng sang các chủ đề nâng cao như mô hình hiệu ứng hỗn hợp (mixed-effects GLM), mang lại giá trị cho các phân tích dữ liệu phức tạp, và so sánh GLM với các phương pháp hiện đại như Mô hình Hồi quy Tổng quát (GAM) hoặc kỹ thuật học máy. Các công cụ chẩn đoán mô hình, chẳng hạn như biểu đồ phần dư và chỉ số AIC, cũng được giới thiệu để đảm bảo tính chính xác và đáng tin cậy của kết quả.
Với cách trình bày dễ tiếp cận, mã R rõ ràng, và các ví dụ thực tế đa dạng, Generalized Linear Models With Examples in R là tài liệu không thể thiếu cho sinh viên, nhà nghiên cứu, và chuyên gia phân tích dữ liệu. Đây là nguồn tài nguyên lý tưởng để làm chủ GLM, nâng cao kỹ năng sử dụng R, và triển khai các phân tích thống kê chuyên sâu trong nhiều lĩnh vực.
Chương 1: Statistical Models
Chương 1 giới thiệu các khái niệm cơ bản trong phân tích dữ liệu và xây dựng mô hình, thường sử dụng dữ liệu dung tích phổi (FEV) làm ví dụ. Nội dung chương bao gồm:
Plotting Data: Chương này bắt đầu bằng việc giới thiệu cách vẽ dữ liệu. Các ví dụ minh họa bao gồm biểu đồ FEV (dung tích thở ra gắng sức trong một giây) so với tuổi và FEV so với chiều cao. Nguồn và đặc biệt đề cập đến việc vẽ dữ liệu FEV so với tuổi cho người hút thuốc và không hút thuốc.
Statistical Models Describe Both Random and Systematic Features of Data: Phần này giải thích rằng các mô hình thống kê mô tả cả các đặc điểm ngẫu nhiên và có hệ thống của dữ liệu.
Chương 1 cũng thảo luận về cách xử lý các biến phân loại (categorical variables) bằng cách sử dụng biến giả (dummy variables). Đối với một yếu tố có k mức (levels), cần k-1 biến giả. Ví dụ, tình trạng hút thuốc có thể được mã hóa bằng một biến giả, trong đó 0 nếu là người không hút thuốc và 1 nếu là người hút thuốc. Nếu tình trạng hút thuốc có ba mức, sẽ cần hai biến giả.
Accuracy vs Parsimony: Một khía cạnh quan trọng được đề cập là sự đánh đổi giữa độ chính xác và tính tiết kiệm (parsimony) của mô hình. Một ứng dụng trong lĩnh vực sức khỏe là thiết lập phạm vi cân nặng bình thường cho trẻ em dựa trên tuổi và giới tính. Mục đích là để xác định xem một đứa trẻ có nằm ngoài phạm vi bình thường hay không. Dữ liệu dung tích phổi thực chất là một phần trích từ một nghiên cứu lớn hơn nhằm thiết lập phạm vi FEV bình thường ở mỗi độ tuổi.
Experiments vs Observational Studies: Causality vs Association: Chương này cũng phân biệt giữa nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu quan sát, nhấn mạnh sự khác biệt giữa mối quan hệ nhân quả (causality) và mối liên hệ (association).
Tóm lại, Chương 1 giới thiệu các bước ban đầu trong phân tích dữ liệu, bao gồm trực quan hóa dữ liệu, hiểu các thành phần của mô hình thống kê, xử lý biến phân loại, xem xét sự cân bằng giữa độ chính xác và tính tiết kiệm của mô hình, và nhận biết sự khác biệt giữa các loại hình nghiên cứu. Dữ liệu dung tích phổi là một ví dụ chính được sử dụng để minh họa các khái niệm này.
Chương 2: Linear Regression Models
Chương này giới thiệu về công thức ma trận của mô hình hồi quy tuyến tính (Matrix Formulation of Linear Regression Models). Nội dung chính của chương bao gồm:
Giải thích khái niệm và cách tính bậc tự do dư (residual degrees of freedom). Bậc tự do dư bằng số lượng quan sát trừ đi số lượng hệ số được ước lượng trong thành phần hệ thống của mô hình hồi quy tuyến tính. Việc ước lượng mỗi hệ số được coi là “sử dụng” một quan sát, do đó chỉ còn lại n - p’ quan sát độc lập để ước lượng phương sai, trong đó p’ là số tham số ước lượng.
Cách tính tổng bình phương phần dư (residual sum of squares - rss) được trình bày. Ước lượng của phương sai σ² là s², được tính bằng rss chia cho bậc tự do dư.
Chương 2 cũng thảo luận về chọn lọc mô hình (model selection). Các công cụ hỗ trợ như add1() (thêm một biến) và drop1() (loại bỏ một biến) được đề cập. Hàm step() sử dụng các phương pháp tự động để đề xuất mô hình dựa trên AIC (mặc định) hoặc BIC.
Việc so sánh các mô hình không lồng nhau (non-nested models) được thực hiện bằng cách sử dụng AIC (Akaike Information Criterion) và BIC (Bayesian Information Criterion). Công thức tổng quát của AIC và BIC liên quan đến log-likelihood và số lượng tham số của mô hình, và chúng được áp dụng cho mô hình hồi quy tuyến tính bình thường trong Chương 2. Giá trị AIC hoặc BIC càng nhỏ (gần −∞) thì mô hình càng tốt.
Dữ liệu dung tích phổi (lungcap) được sử dụng để minh họa. Trong Chương 2, dữ liệu này được phân tích bằng cách sử dụng logarithm của FEV (log(FEV)) làm biến phản hồi và Chiều cao (Ht) là một trong các biến giải thích. Các mô hình sử dụng Age và Height (cùng với Smoke) làm biến dự đoán cho log(FEV) được so sánh bằng AIC/BIC. Kết quả từ AIC và BIC đều cho thấy sự kết hợp của Ht và Smoke hữu ích hơn Age và Smoke trong việc dự đoán log(FEV).
Dữ liệu tuổi thai và cân nặng sơ sinh (gestation) có khả năng cũng được sử dụng làm ví dụ trong Chương 2, minh họa mối quan hệ gần như tuyến tính giữa cân nặng sơ sinh trung bình và tuổi thai. Cách vẽ dữ liệu này với các điểm được phân biệt dựa trên số lượng quan sát (<20 hoặc ≥20) cũng được trình bày.
Nguyên tắc biên (marginality principle) được đề cập trong ngữ cảnh giữ lại các biến trong mô hình hồi quy tuyến tính.
Các bài tập liên quan đến Chương 2 được tham chiếu, bao gồm việc phân tích dữ liệu về nhu cầu năng lượng hàng ngày và cân nặng của cừu đực thiến và dữ liệu về huyết áp ở nam giới Ghan.
Việc thực hiện phân tích chẩn đoán (diagnostic analysis) và nhận thấy sự cần thiết của biến đổi biến phản hồi (như logarit) dường như được giới thiệu trong Chương 2 hoặc thông qua các bài tập của nó, được tham chiếu trong Chương 3.
Chương 3: Linear Regression Models: Diagnostics and Model-Building
Phân tích chẩn đoán (Diagnostic Analysis): Đây là một chủ đề trọng tâm của chương. Phân tích chẩn đoán được thực hiện để kiểm tra các giả định của mô hình hồi quy tuyến tính và xác định các vấn đề tiềm ẩn trong dữ liệu hoặc mô hình đã chọn. Điều này thường bao gồm việc kiểm tra phân dư (residuals).
Biến đổi dữ liệu (Data Transformations): Chương này thảo luận về việc biến đổi cả biến phản hồi (response variable) và biến giải thích (explanatory variables) để cải thiện mô hình và đáp ứng các giả định của hồi quy tuyến tính.
Biến đổi biến phản hồi: Ví dụ, việc sử dụng logarit của FEV (log(FEV)) làm biến phản hồi, như đã thấy trong Chương 2, được giải thích là cần thiết để đạt được phương sai gần như không đổi (constant variance). Chương 3 cung cấp các công cụ chẩn đoán (như biểu đồ phân dư chuẩn hóa so với giá trị fitted) giúp xác định sự cần thiết của biến đổi này.
Biến đổi biến giải thích: Các biến đôi khi cần biến đổi, chẳng hạn như logarit hóa, nghiệm đảo,… cũng được xem xét để mô hình hóa mối quan hệ giữa biến phản hồi và biến giải thích một cách phù hợp hơn.
Mô hình hóa xu hướng phi tuyến tính (Modelling Nonlinear Trends): Khi mối quan hệ giữa biến phản hồi và biến giải thích không thể được mô tả tốt bằng các biến đổi đơn giản, Chương 3 giới thiệu các kỹ thuật nâng cao hơn như:
Xu hướng đa thức (Polynomial Trends): Thêm các số mũ cao hơn của biến giải thích (ví dụ: x², x³, …) vào mô hình để tạo ra đường cong phức tạp hơn.
Spline hồi quy (Regression Splines): Sử dụng các hàm spline (như natural cubic splines –
ns()và B-splines –bs()) để chia miền giá trị của biến giải thích thành các đoạn và khớp các đoạn đó với các hàm trên mỗi đoạn, tạo ra một đường cong linh hoạt hơn để mô tả mối quan hệ. Ví dụ: xem sách mô hình spline (không được học kỹ trong môn này).
Nhận diện các điểm ngoại lệ và có ảnh hưởng (Identifying Outliers and Influential Observations): Chương 3 sẽ đề cập cách xác định các quan sát có ảnh hưởng bất thường hoặc có ảnh hưởng lớn đến mô hình (influential observations). Các thước đo như Cook’s distance và DFFITS được sử dụng để đo lường độ ảnh hưởng của quan sát. Một số đặc điểm cần kiểm tra bao gồm: điểm dư chuẩn hóa lớn và độ ảnh hưởng vượt ngưỡng. Vượt ngưỡng là các quan sát cần được xem xét lại vì có thể là do lỗi số liệu hoặc là kết quả hiếm có.
Nguyên lý ngẫu nhiên hóa (Linearity Principle): Nguyên tắc này được đề cập, nhấn mạnh rằng nếu tất cả các giả định tuyến tính được thỏa mãn thì các sai lệch là ngẫu nhiên.
Các ví dụ minh họa kết luận (Examples and Problems): Chương 3 sử dụng nhiều bộ dữ liệu khác nhau để minh họa các vấn đề như kiểm tra giả định, biến đổi dữ liệu, mô hình phi tuyến, độ ảnh hưởng,… Ví dụ: dữ liệu bệnh hen (FEV), dữ liệu chiều cao - độ tuổi - giới tính (height), dữ liệu thu nhập,…
Chương 4: Beyond Linear Regression: The Method of Maximum Likelihood
Chương 4 mở rộng mô hình hồi quy tuyến tính để xử lý các tình huống mà mô hình tuyến tính không còn phù hợp, bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (Maximum Likelihood Estimation - MLE). Các nội dung chính liên quan trong chương này:
Kiểm định giả thuyết mẫu lớn (Large Sample Hypothesis Testing): Một trích đoạn đề cập đến chủ đề “Hypothesis Testing: Large Sample Asymptotic Results” và minh họa việc tính kiểm định Wald (thông qua các đại lượng như
W.globalvàp.W.global) sử dụng ma trận thông tin (inf.mat). Điều này cho thấy Chương 4 có thể tập trung vào các phương pháp kiểm định giả thuyết dựa trên lý thuyết mẫu lớn trong ngữ cảnh của các mô hình thống kê, đặc biệt là các Mô hình Hồi quy Tuyến tính Tổng quát (GLMs).Ví dụ dữ liệu tàu con thoi Challenger (Challenger Shuttle Data): Chương 4 có đề cập đến dữ liệu thực nghiệm về số vòng đệm chữ O (O-ring) bị hỏng trong các lần phóng tàu con thoi Challenger. Biến phản hồi là số lượng vòng đệm bị hỏng trong tổng số 6 vòng, đây là biến đếm có giới hạn trên. Nguồn trích dẫn nhấn mạnh rằng không có phép biến đổi dữ liệu nào có thể thay đổi bản chất của biến phản hồi này. Điều này cho thấy chương sử dụng ví dụ này để minh họa cho các khái niệm mô hình hóa hoặc kiểm định giả thuyết, và nhấn mạnh tính phù hợp (hoặc không phù hợp) của các kỹ thuật biến đổi dữ liệu trong từng loại biến.
Chương 4 không nhằm giới thiệu một họ phân phối GLM cụ thể nào, mà thay vào đó đóng vai trò như một chương chuyển tiếp, tập trung vào các nguyên lý thống kê tổng quát, như kiểm định giả thuyết mẫu lớn, kỹ thuật xấp xỉ hoặc minh họa phân tích qua dữ liệu thực nghiệm.
Chương 4 có thể được xem là phần mở rộng từ các chương đầu, cung cấp nền tảng toán học và thống kê cần thiết trước khi đi sâu vào từng dạng phân phối cụ thể trong GLM. Việc đề cập lại chủ đề biến đổi dữ liệu (nối tiếp từ Chương 3), nhưng với lập luận rằng có những trường hợp biến đổi không mang lại hiệu quả (như biến đếm giới hạn trong dữ liệu Challenger), cũng cho thấy chương này đóng vai trò lý thuyết và phản biện quan trọng trong mô hình hóa thống kê.
Chương 5: Generalized Linear Models: Structure
Chương 5 của cuốn sách tập trung vào cơ sở lý thuyết của Mô hình Tuyến tính Tổng quát (GLMs), đặc biệt là giới thiệu về Mô hình Phân tán Hàm mũ (Exponential Dispersion Models - EDMs).
Các điểm chính về Chương 5 được đề cập trong các nguồn bao gồm:
Mô hình Phân tán Hàm mũ (EDMs): Chương này giới thiệu và thảo luận về EDMs dưới dạng Dispersion Model Form (Dạng mô hình phân tán). Điều này là nền tảng lý thuyết cho các GLM khác nhau.
Độ Lệch Đơn vị (Unit Deviance): Khái niệm về độ lệch đơn vị (
d(y, μ)) là một phần quan trọng trong chương này. Chương 5 thảo luận về Dạng mô hình phân tán và Độ lệch đơn vị, đề cập đến giá trị kỳ vọng của độ lệch đơn vị.Bảng Tóm tắt Phân phối: Chương 5 tóm tắt các mô hình phân tán hàm mũ phổ biến, hiển thị hàm phương sai (V(μ)), hàm tích lũy (κ(θ)), tham số chính tắc (θ), tham số phân tán (φ), độ lệch đơn vị (d(y, μ)), phạm vi hỗ trợ (S), miền giá trị của μ (Ω) và miền giá trị của θ (Θ). Bảng này cũng liệt kê các chương liên quan cho từng phân phối (Chương 2&3 cho Normal, Chương 9 cho Binomial, Chương 10 cho Negative Binomial và Poisson, Chương 11 cho Gamma và Inverse Gaussian, Chương 12 cho Tweedie), lưu ý rằng Chương 5 không được liệt kê là chương chính cho bất kỳ phân phối phổ biến cụ thể nào trong bảng này.
Bảng 5.2 (Table 5.2): Một bảng khác, Bảng 5.2, cũng được nhắc đến trong ngữ cảnh thảo luận về biến đổi ổn định phương sai, đặc biệt là liên quan đến việc xấp xỉ Tweedie GLMs (được thảo luận trong Chương 12).
Các Ví dụ và Dữ liệu:
- Dữ liệu “noisy miner”: Chương 5 sử dụng dữ liệu này làm ví dụ, bao gồm các biểu đồ dữ liệu.
- Dữ liệu “blocks”: Một vấn đề hoặc ví dụ được đánh số 5.25 trong chương này liên quan đến dữ liệu “blocks”, sử dụng số khối và tuổi của trẻ.
Biểu đồ Chẩn đoán (Diagnostic Plots): Các biểu đồ chẩn đoán cũng được thảo luận, với tham chiếu trở lại.
Tóm lại, Chương 5 dường như đặt nền móng lý thuyết cho GLMs bằng cách giới thiệu về EDMs, Dispersion Model Form và Unit Deviance, đồng thời cung cấp các bảng tóm tắt các phân phối phổ biến và các tính chất của chúng. Nó cũng sử dụng các bộ dữ liệu cụ thể để minh họa các khái niệm hoặc vấn đề được thảo luận.
Chương 6: Generalized Linear Models: Estimation
Chương này trình bày cách ước lượng các tham số chưa biết trong GLMs, bao gồm các hệ số hồi quy (β) và tham số phân tán (φ). Việc ước lượng chủ yếu dựa trên phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (MLE).
Các nội dung chính
Phát biểu và phân tích đạo hàm xác suất: Tính đạo hàm của hàm log-likelihood theo β và φ bằng dạng xác suất hàm mũ EDM, từ đó xây dựng phương trình điểm (score equations) và ma trận thông tin Fisher.
Thuật toán Fisher Scoring / IRLS: Dùng để tìm nghiệm của các phương trình điểm và ước lượng các βj. Biến đổi thành dạng Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) — mỗi vòng lặp gồm tính giá trị phản hồi làm việc
z, trọng số làm việcW, và cập nhật hệ số bằng hồi quy tuyến tính có trọng số. Giá trị khởi tạo thường làμ̂ = y + 0.1để tránh chia cho 0 hoặc log(0).Phần dư độ lệch (Residual Deviance): Tổng độ lệch là thước đo biến thiên còn lại sau khi mô hình được ước lượng. Có thể chuẩn hóa bằng φ để thành scaled residual deviance. Trong R, dùng
deviance(fit)để trả về giá trị này.Sai số chuẩn của các hệ số (Standard errors): Tính từ ma trận thông tin Fisher ngược, có thể viết:
se(β̂j) = sqrt(φ * vj)vớivjlà phần tử chéo của(XᵗWX)⁻¹.Dạng ma trận: Score vector:
U = XᵗWM(y − μ) / φFisher information:I = XᵗWX / φ
Phương trình ước lượng:β̂^(r+1) = (XᵗWX)⁻¹ XᵗWzGLM cục bộ giống hồi quy tuyến tính: Ở mỗi bước lặp, fitting GLM giống như hồi quy thường, với
zlà biến phản hồi vàWlà trọng số. Có thể tính leverage, Cook’s distance, dffits, dfbetas như trong hồi quy thường.Ước lượng tham số phân tán φ: Không cần biết φ để ước lượng β, nhưng cần φ cho kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy. Có 3 phương pháp chính:
- Modified profile likelihood (
φ̂₀): lý thuyết tốt nhất, nhưng tính toán phức tạp. - Mean deviance estimator (
φ̃ = D(y, μ̂)/(n - p')) - Pearson estimator (
φ̄ = X² / (n - p')), vớiX² = ∑ wi(yi - μ̂i)² / V(μ̂i)
Với GLM chuẩn (normal), cả ba phương pháp trùng nhau.
Với GLM gamma, estimator theo Pearson thường ổn định hơn vì deviance nhạy cảm với giá trị y nhỏ.- Modified profile likelihood (
Fitting GLMs trong R: Sử dụng hàm
glm(), tương tự nhưlm()nhưng thêm đối sốfamily.
Một số family thường dùng:gaussian(),binomial(),poisson(),Gamma(),inverse.gaussian()
Một số hàm hỗ trợ:coef(),deviance(),summary(),df.residual(),fitted()Thay đổi thông số fitting: Dùng
glm.control()để điều chỉnh độ chính xác (epsilon), số vòng lặp (maxit), và in chi tiết (trace=TRUE)
Chương 7: Generalized Linear Models: Inference
Chương 7 của cuốn sách tập trung vào suy luận thống kê (Inference) cho Mô hình Tuyến tính Tổng quát (Generalized Linear Models - GLMs). Chương này giới thiệu và minh họa các phương pháp chính để đánh giá sự phù hợp của mô hình và kiểm định các giả thuyết về các tham số của mô hình.
Các nội dung chính về Chương 7 được đề cập trong các nguồn bao gồm:
Các phương pháp suy luận chính:
Kiểm định Tỷ số Khả năng (Likelihood Ratio Tests - LRT): Phương pháp này được sử dụng để so sánh các mô hình lồng nhau (nested models). Các giá trị kiểm định LRT được tính toán và so sánh với phân phối Chi-bình phương (
pchisqtrong R) để thu được giá trị P (P-values).Kiểm định Wald (Wald Tests): Phương pháp này được sử dụng để kiểm định ý nghĩa thống kê của từng tham số riêng lẻ trong mô hình. Thống kê Wald được tính bằng tỷ lệ giữa ước lượng tham số (
β̂j) và sai số chuẩn của nó (se(β̂j)) (z = β̂/se). Giá trị P-value được tính từ phân phối chuẩn tắc (pnorm).Khoảng tin cậy (Confidence Intervals): Khoảng tin cậy cho các tham số có thể được tính toán dựa trên ước lượng tham số và sai số chuẩn của chúng, thường sử dụng giá trị phân vị từ phân phối chuẩn tắc (ví dụ:
qnorm(0.975)cho khoảng tin cậy 95%).Phân tích Độ Lệch (Analysis of Deviance): Đây là một phương pháp tương tự như phân tích phương sai (ANOVA) cho GLMs, được sử dụng để đánh giá sự đóng góp của các biến giải thích vào mô hình. Bảng phân tích độ lệch hiển thị độ lệch (Deviance), bậc tự do (df), độ lệch trung bình (Mean deviance), thống kê F (khi φ không xác định) và giá trị P. Trong R, hàm
anova()với đối sốtest="Chisq"được sử dụng để tạo bảng này và thu được P-values dựa trên phân phối Chi-bình phương.
Các chủ đề khác liên quan đến suy luận:
Suy luận khi tham số phân tán (dispersion parameter) φ được biết.
Suy luận khi tham số phân tán (dispersion parameter) φ không xác định.
So sánh các GLMs không lồng nhau sử dụng Tiêu chí Thông tin Akaike (AIC) và Tiêu chí Thông tin Bayesian (BIC) .
Các quy trình lựa chọn mô hình tự động như hồi quy tiến (forward regression), loại bỏ lùi (backward elimination), và hồi quy theo bước (step-wise regression).
Các bộ dữ liệu và ví dụ được sử dụng trong Chương 7:
Dữ liệu sự sống sót của chim cút (quail broods survival): Sử dụng Binomial GLM.
Dữ liệu số ngày ở khu vực bầu cử của các nhà lập pháp (legislators constituency days): Sử dụng Poisson GLM.
Dữ liệu về sự phong phú loài vẹm nước ngọt (freshwater mussels species abundance): Phân tích độ lệch và ước lượng tham số.
Dữ liệu noisy miner (nminer): Phân tích độ lệch .
Dữ liệu cây anh đào (trees): Phân tích độ lệch khi φ không xác định.
Tóm lại, Chương 7 cung cấp các công cụ thống kê cần thiết để đưa ra kết luận về các mô hình GLM đã lắp, tập trung vào việc kiểm định giả thuyết về các tham số và so sánh các mô hình khác nhau thông qua các phương pháp như kiểm định Tỷ số Khả năng, kiểm định Wald và phân tích Độ lệch.
Chương 8: Generalized Linear Models: Diagnostics
Chương 8 tập trung vào chẩn đoán (diagnostics) và xác định các quan sát có ảnh hưởng (influential observations) trong Mô hình Tuyến tính Tổng quát (GLMs).
Các điểm chính về Chương bao gồm:
Sự cần thiết của các phương pháp chẩn đoán mới: Nguồn thảo luận về dữ liệu cây anh đào (cherry tree data) được mô hình hóa bằng gamma GLM. Nó chỉ ra rằng việc chỉ xem xét phần dư đơn giản (
yi - μ̂i) là không đủ khi phương sai thay đổi theo giá trị trung bình. Nguồn này kết luận rằng cần có “một định nghĩa mới về phần dư”. Điều này nhấn mạnh lý do tại sao các kỹ thuật chẩn đoán chuyên biệt cho GLMs (được đề cập trong Chương 8) lại quan trọng.Các loại phần dư: Chương này sử dụng và thảo luận về nhiều loại phần dư khác nhau để đánh giá sự phù hợp của mô hình. Các loại phần dư được nhắc đến bao gồm phần dư deviance (deviance residuals), phần dư quantile (quantile residuals), phần dư làm việc (working residuals), và phần dư chuẩn hóa (standardized residuals). Nguồn lưu ý rằng việc giải thích phần dư deviance có thể khó khăn.
Biểu đồ chẩn đoán (Diagnostic plots): Biểu đồ phần dư là công cụ chính để kiểm tra các giả định của mô hình và xác định các vấn đề. Ví dụ, một biểu đồ phần dư quantile chống lại một biến giải thích có thể cho thấy một xu hướng cong, cho thấy mô hình hiện tại là không đủ. Các biểu đồ khác bao gồm phần dư chuẩn hóa chống lại giá trị phù hợp hoặc các biến giải thích, và các biểu đồ phần dư làm việc chống lại bộ dự báo tuyến tính (linear predictor).
Xác định các quan sát có ảnh hưởng (Identifying influential observations): Chương 8 đề cập đến việc tìm kiếm các điểm dữ liệu có ảnh hưởng lớn đến các ước lượng tham số của mô hình. Các thước đo ảnh hưởng được sử dụng bao gồm Khoảng cách Cook (Cook’s distance) và dffits. Các quan sát có thể được xác định là có “đòn bẩy cao” (high leverage), “phần dư lớn” (large residual), hoặc “có ảnh hưởng” (influential). Ví dụ 8.12 và Hình 8.7 minh họa việc sử dụng Khoảng cách Cook và dffits để xác định các quan sát có ảnh hưởng trong dữ liệu cây anh đào.
Biện pháp khắc phục (Remedies): Chương này cũng đề cập đến cách xử lý các quan sát có ảnh hưởng đã được xác định. Một biện pháp là lắp lại mô hình mà không bao gồm các quan sát có ảnh hưởng, mặc dù nguồn ngụ ý rằng ngay cả một quan sát có Khoảng cách Cook lớn cũng có thể không được xác định là significantly influential, và cần thận trọng khi loại bỏ dữ liệu.
Các bộ dữ liệu và ví dụ: Các khái niệm và kỹ thuật trong Chương 8 được minh họa bằng các bộ dữ liệu như dữ liệu cây anh đào (cherry tree data) và dữ liệu noisy miner. Một ví dụ về Binomial GLM cũng được sử dụng để minh họa các biểu đồ phần dư khác nhau.
Tóm lại, Chương 8 trang bị cho người đọc các công cụ cần thiết để đánh giá một cách có hệ thống sự phù hợp của mô hình GLM đã lắp và xác định những điểm dữ liệu có thể làm sai lệch kết quả, cung cấp cơ sở cho việc cải thiện mô hình.
Chương 9: Models for Proportions: Binomial GLMs
Chương 9 tập trung vào Các Mô hình cho Tỷ lệ: GLMs Nhị thức (Binomial GLMs).
Các nội dung chính được đề cập bao gồm:
Loại dữ liệu được mô hình hóa: Chương này xử lý dữ liệu dưới dạng số lượng thành công trên tổng số lần thử cố định. Đây là dữ liệu về tỷ lệ hoặc xác suất.
Mô hình chính: Mô hình được sử dụng là Mô hình Tuyến tính Tổng quát (GLM) với phân phối Nhị thức (Binomial distribution).
Cách chỉ định biến phản hồi: Biến phản hồi cho GLM Nhị thức có thể được chỉ định dưới dạng tỷ lệ (
Fissures/Turbines) hoặc dưới dạng ma trận hai cộtcbind(thành công, thất bại)(cbind(Fissures, Turbines-Fissures)).Các hàm liên kết (Link functions): Chương đề cập đến việc sử dụng các hàm liên kết khác nhau phù hợp cho dữ liệu tỷ lệ, bao gồm hàm liên kết
cloglogvà hàm liên kếtlogit(thường được sử dụng trong hồi quy logistic).Thành phần hệ thống (Systematic component) và Offset: Các mô hình có thể bao gồm biến giải thích trong thành phần hệ thống và có thể sử dụng thuật ngữ
offset(ví dụ:offset(log(N.Cells))) trong trường hợp mô hình “single-hit”.Suy luận và So sánh mô hình: Giống như các GLM khác, suy luận và so sánh mô hình được thực hiện. Các nguồn cho thấy việc sử dụng phân tích độ lệch (
Analysis of Deviance) với kiểm định Chi-bình phương (test="Chisq") để so sánh các mô hình lồng nhau.Chẩn đoán mô hình (Model Diagnostics): Chương này bao gồm việc kiểm tra sự phù hợp của mô hình thông qua các biểu đồ chẩn đoán, bao gồm việc vẽ biểu đồ phần dư quantile (
quantile residuals) chống lại giá trị phù hợp (fitted values).Các bộ dữ liệu và ví dụ: Các khái niệm được minh họa bằng nhiều bộ dữ liệu thực tế, chẳng hạn như dữ liệu về các vết nứt trên cánh quạt turbine, dữ liệu về sự nảy mầm của hạt giống, dữ liệu về tế bào gốc tuyến vú, dữ liệu về sự hiện diện của chim noisy miner, dữ liệu về tỷ lệ côn trùng bị tiêu diệt bởi thuốc trừ sâu, dữ liệu về tăng huyết áp và ngưng thở khi ngủ, và dữ liệu về bướm đêm bị tiêu diệt bởi thuốc trừ sâu.
Tóm lại, Chương 9 giới thiệu cách sử dụng GLM Nhị thức để mô hình hóa dữ liệu tỷ lệ, bao gồm cách cấu trúc mô hình, chọn hàm liên kết phù hợp, thực hiện suy luận và kiểm tra các giả định thông qua các kỹ thuật chẩn đoán.
Chương 10: Models for Counts: Poisson and Negative Binomial GLMs
Chương 10 tập trung vào Các Mô hình cho Dữ liệu Đếm (Counts): GLMs Poisson và Nhị thức Âm (Poisson and Negative Binomial GLMs).
Các điểm chính về Chương 10 được rút ra từ các nguồn bao gồm:
Loại dữ liệu được mô hình hóa: Chương này xử lý các biến phản hồi là số lượng đếm (counts), tức là các số nguyên không âm (ví dụ: số ca bệnh, số vệ tinh, số pock mark).
Các Mô hình GLM chính:
- GLM Poisson: Đây là mô hình cơ bản cho dữ liệu đếm khi giả định
phương sai bằng giá trị trung bình. Nó thường được sử dụng với hàm liên
kết logarit (
log-link). - GLM Nhị thức Âm (Negative Binomial): Mô hình này được sử dụng khi dữ
liệu đếm có hiện tượng phương sai lớn hơn giá trị trung bình
(overdispersion). Phân phối Nhị thức Âm có một tham số bổ sung
(
khoặcsizetrong R) để mô hình hóa phương sai tăng thêm. - Mô hình Quasi-Poisson: Đây là một lựa chọn khác để xử lý overdispersion trong dữ liệu đếm. Nó sử dụng cùng cấu trúc trung bình như Poisson nhưng cho phép phương sai lớn hơn trung bình bằng một hệ số phân tán (dispersion factor).
- GLM Poisson: Đây là mô hình cơ bản cho dữ liệu đếm khi giả định
phương sai bằng giá trị trung bình. Nó thường được sử dụng với hàm liên
kết logarit (
Mô hình hóa Tỷ lệ (Rates): Khi biến phản hồi là số lượng đếm trên một “kích thước phơi nhiễm” (exposure size) khác nhau cho mỗi quan sát, GLM Poisson có thể được sử dụng để mô hình hóa tỷ lệ. Kích thước phơi nhiễm thường được đưa vào mô hình dưới dạng một thuật ngữ
offset(thường làlog(exposure size)). Ví dụ: dữ liệu ung thư phổi của Đan Mạch sử dụngoffset(log(Pop))để tính đến quy mô dân số khác nhau giữa các nhóm tuổi và thành phố.Mô hình Log-linear (Log-linear models): Chương này cũng đề cập đến việc sử dụng GLM Poisson để phân tích các bảng tần số (contingency tables), còn được gọi là mô hình log-linear. Ví dụ: phân tích bảng 2x2 về thái độ đối với thực phẩm biến đổi gen theo thu nhập. Trong các mô hình này, sự quan tâm thường tập trung vào các thuật ngữ tương tác hơn là tổng biên (marginal totals).
Suy luận (Inference):
- Kiểm định Tỷ số Khả năng (LRT): Dùng để so sánh các mô hình lồng nhau, dựa trên sự thay đổi độ lệch (deviance) và phân phối Chi-bình phương.
- Kiểm định Wald: Dùng để kiểm định ý nghĩa thống kê của từng tham số riêng lẻ.
- Khoảng tin cậy: Có thể được tính toán cho các tham số.
Chẩn đoán Mô hình (Model Diagnostics):
- Phần dư (Residuals): Biểu đồ phần dư chuẩn hóa hoặc phần dư deviance chống lại giá trị phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra các giả định. Biểu đồ Q-Q của phần dư quantile giúp kiểm tra sự phân phối của phần dư.
- Overdispersion: So sánh độ lệch dư với bậc tự do dư để phát hiện overdispersion. Khi có overdispersion, sai số chuẩn từ mô hình Poisson có thể bị đánh giá thấp.
- Các thước đo ảnh hưởng: Cook’s distance và các thước đo khác có thể được sử dụng để xác định các quan sát có ảnh hưởng.
Các Bộ Dữ liệu và Ví dụ được Sử dụng:
- Ung thư phổi ở Đan Mạch (
danishlc) - Thái độ đối với thực phẩm biến đổi gen
- Pock mark từ hoạt động virus (
pock) - Số vệ tinh trên cua móng ngựa (
horseshoe crab) - Sự sống sót của chim blue tits (
blue tits) - Dị tật nứt đốt sống (
spina bifida) - Hỏng hóc thiết bị điện tử
- Số ca tử vong do ung thư ở Canada
- Dữ liệu hút thuốc và sống sót của phụ nữ Whickham
- Số khối xây dựng của trẻ em (
blocks)
- Ung thư phổi ở Đan Mạch (
Tóm lại, Chương 10 mở rộng kiến thức về GLMs sang dữ liệu đếm, giới thiệu các mô hình Poisson và Nhị thức Âm, thảo luận về cách xử lý tỷ lệ và overdispersion, đồng thời áp dụng các kỹ thuật suy luận và chẩn đoán đã học từ các chương trước vào các loại dữ liệu này.
Chương 11: Positive Continuous Data: Gamma and Inverse Gaussian GLMs
Chương 11 mở rộng ứng dụng của GLMs sang dữ liệu liên tục dương bằng cách giới thiệu các phân phối Gamma và Inverse Gaussian, nhấn mạnh vào mối quan hệ trung bình-phương sai đặc trưng của chúng, và áp dụng các kỹ thuật mô hình hóa, suy luận, và chẩn đoán phù hợp cho loại dữ liệu này.
Các điểm chính bao gồm:
Loại dữ liệu được mô hình hóa: Chương này tập trung vào các biến phản hồi là dữ liệu liên tục và dương, tức là các giá trị thực lớn hơn 0.
Các mô hình GLM chính:
- Phân phối Gamma: Thường được sử dụng cho dữ liệu liên tục dương, với
phương sai tăng theo bình phương trung bình. Hàm phương sai:
V(μ) = μ². - Phân phối Inverse Gaussian: Phù hợp cho dữ liệu liên tục dương trong
các quá trình vật lý như thời gian hoặc khoảng cách. Hàm phương sai:
V(μ) = μ³.
- Phân phối Gamma: Thường được sử dụng cho dữ liệu liên tục dương, với
phương sai tăng theo bình phương trung bình. Hàm phương sai:
Hàm liên kết (Link functions): Các hàm phổ biến bao gồm hàm logarit (
log μ) và hàm nghịch đảo (1/μ). Hàm logarit thường dùng với phân phối Gamma. Dữ liệulimeminh họa việc sử dụng cả hai loại hàm liên kết.Mối quan hệ trung bình - phương sai: Với các phân phối này, phương sai thường tăng theo trung bình. Quan hệ này có thể được kiểm tra bằng biểu đồ log-log của phương sai nhóm so với trung bình nhóm.
Tham số phân tán (
φ): Trong các mô hình Gamma và Inverse Gaussian, tham số phân tán được ước lượng từ dữ liệu. Điều này dẫn đến việc sử dụng kiểm định F thay vì kiểm định Chi-bình phương trong phân tích độ lệch.Suy luận và so sánh mô hình:
- Phân tích độ lệch (Analysis of Deviance) dùng kiểm định F để so sánh các mô hình lồng nhau.
- Kiểm định Wald được dùng để đánh giá ý nghĩa thống kê của từng tham số.
Chẩn đoán mô hình:
- Biểu đồ phần dư chuẩn hóa và phần dư quantile so với giá trị phù hợp hoặc bộ dự báo tuyến tính giúp kiểm tra giả định và phát hiện điểm ngoại lệ.
- Cook’s distance và các thước đo ảnh hưởng khác có thể được sử dụng để xác định các quan sát ảnh hưởng mạnh.
Các bộ dữ liệu và ví dụ:
lime: Mô hình hóa sinh khối tán lá dựa trên đường kính và nguồn gốc. Sử dụng Gamma GLM với log link, minh họa rõ mối quan hệ trung bình - phương sai.perm: Mô hình độ thấm của vật liệu xây dựng, phù hợp với phân phối Inverse Gaussian và có khả năng có ngoại lệ.rrates: Dữ liệu tốc độ phản ứng oxy hóa benzene, sử dụng nhiệt độ và nồng độ làm biến giải thích.radiation: Thời gian chiếu xạ CT fluoroscopy, được sử dụng trong một bài tập liên quan đến chương này.
Chương 12: Tweedie GLMs
Chương này tập trung vào việc áp dụng các mô hình GLM sử dụng họ phân phối Tweedie cho dữ liệu liên tục dương, bao gồm cả trường hợp có số không chính xác.
Các điểm chính bao gồm:
- Loại dữ liệu được mô hình hóa:
- Dữ liệu liên tục dương.
- Dữ liệu liên tục dương có số không chính xác, tức dữ liệu có cả giá trị 0 và các giá trị thực dương.
- Phân phối Tweedie:
- Là một họ phân phối thuộc lớp mô hình hàm mũ phân tán mở rộng (Exponential Dispersion Models - EDMs).
- Có hàm phương sai dạng
V(μ) = μ^ξ, trong đó ξ là tham số chỉ số Tweedie (Tweedie index parameter).
- Các trường hợp đặc biệt:
- ξ = 0: Phân phối Chuẩn (Normal).
- ξ = 1: Phân phối Poisson (với φ = 1).
- ξ = 2: Phân phối Gamma.
- ξ = 3: Phân phối Inverse Gaussian.
- Phạm vi ξ được thảo luận:
- Trường hợp ξ > 2: Phân phối lệch phải mạnh hơn khi ξ tăng.
- Trường hợp 1 < ξ < 2: Dữ liệu liên tục dương với số không chính xác.
- Không có phân phối Tweedie EDM hợp lệ khi 0 < ξ < 1.
- Fitting Tweedie GLMs trong R:
- Sử dụng hàm
glm()kết hợp vớifamily = tweedie()từ packagestatmod. - Cần chỉ định ξ qua đối số
var.power, ví dụ:family = tweedie(var.power = 3).
- Sử dụng hàm
- Ước lượng ξ:
- Tham số ξ thường không biết trước và được ước lượng bằng hàm
tweedie.profile().
- Tham số ξ thường không biết trước và được ước lượng bằng hàm
- Suy luận và chẩn đoán:
- Công thức độ lệch đơn vị được trình bày trong (12.2).
- Độ lệch dư
D(y, μ̂)được giả định phân phối theo χ². - AIC không tính mặc định nhưng có thể được tính qua
AICtweedie()trong packagetweedie.
- Các bộ dữ liệu và ví dụ:
poison: Thời gian sống sót của động vật dưới các phương pháp xử lý và loại độc tố. Biểu đồ log-log gợi ý ξ ≈ 3.95.gpsleep: Lượng thời gian ngủ sau liều ketamine ở chuột lang. Có số không chính xác và ξ̂ ≈ 1.1.polythene: Lượng polythene sử dụng so với doanh thu.breakdown: Độ bền điện môi theo thời gian và nhiệt độ.energy: Chi tiêu năng lượng và khối lượng.walking: Thời gian đi bộ hàng ngày.plaque: Chỉ số mảng bám răng.- Lượng mưa hàng tháng ở Úc: Mô hình fitted với ξ̂ = 1.6.
Tóm lại, Chương 12 giới thiệu họ phân phối Tweedie như một công cụ linh hoạt để mô hình hóa dữ liệu liên tục dương, kể cả khi dữ liệu có số không, thông qua tham số ξ. Các phân phối quen thuộc như Normal, Poisson, Gamma và Inverse Gaussian là các trường hợp đặc biệt của họ Tweedie. Việc fitting và phân tích mô hình được trình bày cụ thể bằng nhiều ví dụ thực tế.
Chương 13: Extra Problems
Chương 13 bao gồm một số bài tập thực hành, mở rộng việc áp dụng các Mô hình Tuyến tính Tổng quát (GLM) và các kỹ thuật phân tích đã học trong các chương trước cho các bộ dữ liệu khác nhau.
Chương này đóng vai trò cung cấp các bài tập thực hành bổ sung, cho phép người đọc áp dụng kiến thức về GLMs đã học vào các tình huống dữ liệu đa dạng, bao gồm các loại dữ liệu có số không và các vấn đề liên quan đến lựa chọn và chẩn đoán mô hình.
Thống kê mô tả cho Supermarket Transactions.csv
1. Bảng tần số
## 'data.frame': 14059 obs. of 16 variables:
## $ X : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ PurchaseDate : chr "2007-12-18" "2007-12-20" "2007-12-21" "2007-12-21" ...
## $ CustomerID : int 7223 7841 8374 9619 1900 6696 9673 354 1293 7938 ...
## $ Gender : chr "F" "M" "F" "M" ...
## $ MaritalStatus : chr "S" "M" "M" "M" ...
## $ Homeowner : chr "Y" "Y" "N" "Y" ...
## $ Children : int 2 5 2 3 3 3 2 2 3 1 ...
## $ AnnualIncome : chr "$30K - $50K" "$70K - $90K" "$50K - $70K" "$30K - $50K" ...
## $ City : chr "Los Angeles" "Los Angeles" "Bremerton" "Portland" ...
## $ StateorProvince : chr "CA" "CA" "WA" "OR" ...
## $ Country : chr "USA" "USA" "USA" "USA" ...
## $ ProductFamily : chr "Food" "Food" "Food" "Food" ...
## $ ProductDepartment: chr "Snack Foods" "Produce" "Snack Foods" "Snacks" ...
## $ ProductCategory : chr "Snack Foods" "Vegetables" "Snack Foods" "Candy" ...
## $ UnitsSold : int 5 5 3 4 4 3 4 6 1 2 ...
## $ Revenue : num 27.38 14.9 5.52 4.44 14 ...2. Biến Gender
Tần số
##
## F M
## 7170 6889Tần suất
##
## F M
## 0.5099936 0.4900064Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
3. Biến MaritalStatus
Tần số
##
## M S
## 6866 7193Tần suất
##
## M S
## 0.4883704 0.5116296Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
4. Biến Homeowner
Tần số
##
## N Y
## 5615 8444Tần suất
##
## N Y
## 0.3993883 0.6006117Biểu đồ cột
5. Biến Children
Tần số
##
## 0 1 2 3 4 5
## 1344 2718 2839 2893 2826 1439Tần suất
##
## 0 1 2 3 4 5
## 0.09559713 0.19332812 0.20193470 0.20577566 0.20101003 0.10235436Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
6. Biến City
Tần số
##
## Acapulco Bellingham Beverly Hills Bremerton Camacho
## 383 143 811 834 452
## Guadalajara Hidalgo Los Angeles Merida Mexico City
## 75 845 926 654 194
## Orizaba Portland Salem San Andres San Diego
## 464 876 1386 621 866
## San Francisco Seattle Spokane Tacoma Vancouver
## 130 922 875 1257 633
## Victoria Walla Walla Yakima
## 176 160 376Tần suất
##
## Acapulco Bellingham Beverly Hills Bremerton Camacho
## 0.027242336 0.010171420 0.057685468 0.059321431 0.032150224
## Guadalajara Hidalgo Los Angeles Merida Mexico City
## 0.005334661 0.060103848 0.065865282 0.046518245 0.013798990
## Orizaba Portland Salem San Andres San Diego
## 0.033003770 0.062308841 0.098584537 0.044170994 0.061597553
## San Francisco Seattle Spokane Tacoma Vancouver
## 0.009246746 0.065580767 0.062237712 0.089408920 0.045024539
## Victoria Walla Walla Yakima
## 0.012518671 0.011380610 0.0267444347. Biến StateorProvince
Tần số
##
## BC CA DF Guerrero Jalisco OR Veracruz WA
## 809 2733 815 383 75 2262 464 4567
## Yucatan Zacatecas
## 654 1297Tần suất
##
## BC CA DF Guerrero Jalisco OR
## 0.057543211 0.194395049 0.057969984 0.027242336 0.005334661 0.160893378
## Veracruz WA Yucatan Zacatecas
## 0.033003770 0.324845295 0.046518245 0.092254072**Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
8. Biến ProductFamily
Tần số
##
## Drink Food Non-Consumable
## 1250 10153 2656Tần suất
##
## Drink Food Non-Consumable
## 0.08891102 0.72217085 0.18891813Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
9. Biến ProductDepartment
Tần số
##
## Alcoholic Beverages Baked Goods Baking Goods Beverages
## 356 425 1072 680
## Breakfast Foods Canned Foods Canned Products Carousel
## 188 977 109 59
## Checkout Dairy Deli Eggs
## 82 903 699 198
## Frozen Foods Health and Hygiene Household Meat
## 1382 893 1420 89
## Periodicals Produce Seafood Snack Foods
## 202 1994 102 1600
## Snacks Starchy Foods
## 352 277Tần suất
##
## Alcoholic Beverages Baked Goods Baking Goods Beverages
## 0.025321858 0.030229746 0.076250089 0.048367594
## Breakfast Foods Canned Foods Canned Products Carousel
## 0.013372217 0.069492852 0.007753041 0.004196600
## Checkout Dairy Deli Eggs
## 0.005832563 0.064229319 0.049719041 0.014083505
## Frozen Foods Health and Hygiene Household Meat
## 0.098300021 0.063518031 0.101002916 0.006330464
## Periodicals Produce Seafood Snack Foods
## 0.014368020 0.141830856 0.007255139 0.113806103
## Snacks Starchy Foods
## 0.025037343 0.01970268210. Biến ProductCategory
Tần số
##
## Baking Goods Bathroom Products Beer and Wine
## 484 365 356
## Bread Breakfast Foods Candles
## 425 417 45
## Candy Canned Anchovies Canned Clams
## 352 44 53
## Canned Oysters Canned Sardines Canned Shrimp
## 35 40 38
## Canned Soup Canned Tuna Carbonated Beverages
## 404 87 154
## Cleaning Supplies Cold Remedies Dairy
## 189 93 903
## Decongestants Drinks Eggs
## 85 135 198
## Electrical Frozen Desserts Frozen Entrees
## 355 323 118
## Fruit Hardware Hot Beverages
## 765 129 226
## Hygiene Jams and Jellies Kitchen Products
## 197 588 217
## Magazines Meat Miscellaneous
## 202 761 42
## Packaged Vegetables Pain Relievers Paper Products
## 48 192 345
## Pizza Plastic Products Pure Juice Beverages
## 194 141 165
## Seafood Side Dishes Snack Foods
## 102 153 1600
## Specialty Starchy Foods Vegetables
## 289 277 1728Tần suất
##
## Baking Goods Bathroom Products Beer and Wine
## 0.034426346 0.025962017 0.025321858
## Bread Breakfast Foods Candles
## 0.030229746 0.029660716 0.003200797
## Candy Canned Anchovies Canned Clams
## 0.025037343 0.003129668 0.003769827
## Canned Oysters Canned Sardines Canned Shrimp
## 0.002489508 0.002845153 0.002702895
## Canned Soup Canned Tuna Carbonated Beverages
## 0.028736041 0.006188207 0.010953837
## Cleaning Supplies Cold Remedies Dairy
## 0.013443346 0.006614980 0.064229319
## Decongestants Drinks Eggs
## 0.006045949 0.009602390 0.014083505
## Electrical Frozen Desserts Frozen Entrees
## 0.025250729 0.022974607 0.008393200
## Fruit Hardware Hot Beverages
## 0.054413543 0.009175617 0.016075112
## Hygiene Jams and Jellies Kitchen Products
## 0.014012376 0.041823743 0.015434953
## Magazines Meat Miscellaneous
## 0.014368020 0.054129028 0.002987410
## Packaged Vegetables Pain Relievers Paper Products
## 0.003414183 0.013656732 0.024539441
## Pizza Plastic Products Pure Juice Beverages
## 0.013798990 0.010029163 0.011736254
## Seafood Side Dishes Snack Foods
## 0.007255139 0.010882709 0.113806103
## Specialty Starchy Foods Vegetables
## 0.020556227 0.019702682 0.12291059111. Biến UnitsSold
Tần số
##
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 90 1130 3289 4379 3562 1439 168 2Tần suất
##
## 1 2 3 4 5 6
## 0.0064015933 0.0803755601 0.2339426702 0.3114730777 0.2533608365 0.1023543638
## 7 8
## 0.0119496408 0.0001422576Biểu đồ cột
Biểu đồ tròn
12. Biến Revenue
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.53 6.84 11.25 13.00 17.37 56.70