TIPOS DE INDETERMINANCIONES

Autor/a

Gerson Rivera

PARTE I. Pruebas de Casos de Indeterminaciones

1. Indeterminación del tipo \dfrac{0}{0}

Esta es una de las indeterminaciones más frecuentes. Para resolverla, se suelen aplicar las siguientes técnicas:

Factorización: Si tanto el numerador como el denominador son polinomios, intenta factorizarlos para encontrar un factor común que se anule en el punto donde se produce la indeterminación. Al simplificar la expresión, la indeterminación desaparece.
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} Factorizamos el numerador: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) La expresión se convierte en: \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} Simplificamos el factor común (x - 2): \displaystyle\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4
Racionalización: Si aparecen raíces cuadradas en el numerador o denominador, multiplica y divide por el conjugado de la expresión que contiene la raíz. Esto ayuda a eliminar las raíces y simplificar la expresión.
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador (\sqrt{x + 9} + 3): \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + 9} - 3)(\sqrt{x + 9} + 3)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + 9) - 9}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} Simplificamos la x: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + 9} + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{0 + 9} + 3} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}
Regla de L’Hôpital: Si la función es de la forma \dfrac{f(x)}{g(x)} y tanto f(x) como g(x) tienden a 0 cuando x tiende a un cierto valor, y si las derivadas f'(x) y g'(x) existen y g'(x) \neq 0, entonces: \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} (forma \dfrac{0}{0}) Aplicando la regla de L’Hôpital: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1

2. Indeterminación del tipo \dfrac{\infty}{\infty}

Similar a la anterior, pero aquí tanto el numerador como el denominador tienden a infinito. Las técnicas principales son:

División por la mayor potencia: Si son funciones racionales (cociente de polinomios), divide tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de x que aparezca en el denominador. Esto hará que los términos con potencias menores de x tiendan a 0 cuando x tiende a infinito.
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - 5x + 3} Dividimos por x^2: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{3x^2}{x^2} + \dfrac{2x}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{2x^2}{x^2} - \dfrac{5x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2}} = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{3}{x^2}} = \dfrac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \dfrac{3}{2}
Regla de L’Hôpital: También se puede aplicar la regla de L’Hôpital en este caso, bajo las mismas condiciones que para la indeterminación \dfrac{0}{0}. Puede que necesites aplicarla varias veces.
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x^2} (forma \dfrac{\infty}{\infty}) Aplicando L’Hôpital una vez: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{2x} (sigue siendo \dfrac{\infty}{\infty}) Aplicando L’Hôpital otra vez: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{2} = \infty

3. Indeterminación del tipo 0 \cdot \infty

En este caso, una función tiende a 0 y la otra a infinito. Para resolverla, se transforma la expresión en una de las formas anteriores (\dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty}) manipulando algebraicamente la función.

Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x) (forma 0 \cdot (-\infty)) Podemos reescribir la expresión como: \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(x)}{\dfrac{1}{x}} (forma \dfrac{-\infty}{\infty}) Ahora podemos aplicar la regla de L’Hôpital: \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

4. Indeterminaciones del tipo \infty - \infty

Esta indeterminación surge cuando se resta dos funciones que tienden a infinito. La estrategia es transformar la expresión en una de las formas \dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty} mediante:

Encontrar un común denominador: Si son fracciones.
Factorizar la expresión: Para identificar el comportamiento dominante.
Racionalizar: Si aparecen raíces.
- Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) (forma \infty - \infty) Multiplicamos y dividimos por el conjugado: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} Dividimos numerador y denominador por x: \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2} + \dfrac{x}{x^2}} + \dfrac{x}{x}} = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}

5. Indeterminaciones del tipo 1^\infty, 0^0, \infty^0

Estas son indeterminaciones exponenciales. La estrategia general es utilizar la propiedad f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln(f(x))}. Al aplicar el límite, el problema se reduce a encontrar el límite del exponente, que suele ser una indeterminación de la forma 0 \cdot \infty.

Ejemplo: \displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} (forma 1^\infty) Sea L = \displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}. Entonces \ln(L) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln((1 + x)^{1/x}) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \ln(1 + x) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} (forma \dfrac{0}{0}) Aplicando L’Hôpital: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{1 + x}}{1} = \dfrac{1}{1 + 0} = 1 Como \ln(L) = 1, entonces L = e^1 = e.

En resumen, para trabajar con indeterminaciones es fundamental:

Identificar el tipo de indeterminación.
Aplicar técnicas algebraicas adecuadas (factorización, racionalización, encontrar común denominador, etc.) para transformar la expresión.
Utilizar la regla de L’Hôpital cuando sea aplicable (formas \dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty}).
En el caso de indeterminaciones exponenciales, usar la transformación a la forma exponencial y trabajar con el límite del exponente.

PARTE II. Pruebas de Casos de Indeterminaciones

🧮 Indeterminaciones en el Cálculo de Límites

Una indeterminación ocurre cuando, al aplicar las propiedades algebraicas básicas de los límites, se obtiene una expresión que no permite determinar directamente el valor del límite. No significa que el límite no exista, sino que es necesario aplicar técnicas específicas para resolverlo.

🔁 Tipos de Indeterminaciones

Tipo	Descripción
\dfrac{0}{0}	Cociente de funciones que tienden a 0
\dfrac{\infty}{\infty}	Cociente de funciones que tienden a infinito
\infty - \infty	Resta de dos funciones que tienden a infinito
0 \cdot \infty	Producto de una función que tiende a 0 por otra que tiende a ∞
1^\infty	Potencia donde la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞
0^0	Potencia donde base y exponente tienden a 0
\infty^0	Potencia donde la base tiende a ∞ y el exponente tiende a 0

📌 CASO 1: \dfrac{0}{0}

✅ Técnica:

Factorización o simplificación de polinomios. Si hay radicales, multiplicar por el conjugado.

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}

Paso 1: Sustituir:

\dfrac{8 - 4 - 8 + 4}{4 - 2 - 2} = \dfrac{0}{0}

Paso 2: Factorizar (Ruffini):

Numerador: x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(x^2 + x - 2)
Denominador: x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Paso 3: Simplificar:

\dfrac{(x - 2)(x^2 + x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 1}

Paso 4: Evaluar:

\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 1} = \dfrac{4 + 2 - 2}{2 + 1} = \dfrac{4}{3}

📌 CASO 2: \dfrac{\infty}{\infty}

✅ Técnica:

Comparar grados de polinomios o dividir entre la variable elevada al mayor grado.

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^3 + 1}{2x^3 + x}

Paso 1: Dividir todo entre x^3:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4 + \dfrac{1}{x^3}}{2 + \dfrac{1}{x^2}}

Paso 2: Evaluar:

\dfrac{4 + 0}{2 + 0} = 2

📌 CASO 3: \infty - \infty

✅ Técnica:

Multiplicar y dividir por el conjugado si hay raíces, o reducir a común denominador si son fracciones racionales.

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( x\sqrt{x+2} - \sqrt{x^3 + 1} \right)

Paso 1: Multiplicar y dividir por el conjugado:

\dfrac{(x\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{x^3 + 1})^2}{x\sqrt{x+2} + \sqrt{x^3 + 1}} = \dfrac{x^2(x+2) - (x^3 + 1)}{x\sqrt{x+2} + \sqrt{x^3 + 1}}

Paso 2: Simplificar numerador:

x^3 + 2x^2 - x^3 - 1 = 2x^2 - 1

Paso 3: Comparar crecimiento:

El denominador crece como x\sqrt{x}, entonces: \dfrac{2x^2}{2x^{3/2}} = \dfrac{2x^{1/2}}{2} = x^{1/2} \to +\infty

📌 CASO 4: 0 \cdot \infty

✅ Técnica:

Transformar a \dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty}

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x

Paso 1: Transformar:

x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}

Paso 2: Aplicar L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} -x = 0

📌 CASO 5: 1^\infty

✅ Técnica:

Usar la fórmula: \displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\displaystyle\lim_{x \to a} (f(x)-1)\cdot g(x)}

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{3x}\right)^{2x}

Paso 1: Aplicar fórmula:

e^{\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{3x} - 1\right) \cdot 2x} = e^{\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x}{3x}} = e^{2/3}

📌 CASO 6: 0^0 o \infty^0

✅ Técnica:

Aplicar logaritmos: \displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln(f(x))}

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x

Paso 1: Tomar logaritmo:

\ln(x^x) = x \ln x \to 0 \quad \text{(ver ejemplo anterior)}

Paso 2: Exponenciar:

x^x = e^{x \ln x} \to e^0 = 1

📌 CASO 7: Uso de la Regla de L’Hôpital

✅ Técnica:

Para \dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty}, derivar numerador y denominador:

\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}

Paso 1: Aplicar L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = 1

📌 CASO 8: Criterio de Stolz-Cesàro (para sucesiones)

✅ Técnica:

Si b_n es monótona divergente: \displaystyle\lim \dfrac{a_n}{b_n} = \displaystyle\lim \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}

💡 Ejemplo:

\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n}

Paso 1: Aplicar criterio:

\displaystyle\lim \dfrac{\ln n - \ln(n-1)}{n - (n-1)} = \displaystyle\lim \ln\left(\dfrac{n}{n-1}\right) = \ln(1) = 0

📊 Resumen Visual de Técnicas por Caso

Indeterminación	Técnica principal
\dfrac{0}{0}	Factorizar, Racionalizar, L’Hôpital
\dfrac{\infty}{\infty}	Comparar grados, Dividir entre término dominante
\infty - \infty	Conjugado o común denominador
0 \cdot \infty	Transformar a \dfrac{0}{0} o \dfrac{\infty}{\infty}
1^\infty	Usar e^{\displaystyle\lim (f(x)-1)g(x)}
0^0, \infty^0	Logaritmo + exponenciación
Sucesiones	Criterio de Stolz-Cesàro