Funciones de distribucion de probablidad

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Asesorias Convergencias

Funciones

Definición Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto —denominado dominio— un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función. (Véase la figura 1).

Representacion de funciones

Diagrama Sagital

Son representaciones de relaciones por medio de conjuntos.

Ejemplo 1: ¿La siguiente relacion es funcion?

\[ f= \left\{(2,1),(2,2),(4,2),(4,1),(4,2)\right\} \]

Tenemos:

Vemos que los elementos del dominio cumplen la definicion, por tanto decimos que g es funcion

Ejemplo 2: Para $\phi(u)=\frac{u+u^2}{\sqrt{u}}$ encuentre cada valor.

a- $\phi(1)$

respuesta:

\[\phi(1)=\frac{1+1^2}{\sqrt{1}}\]

\[\phi(1)=2\]

b-$\phi(-t)$

respuesta:

\[\phi(-t)=\frac{-t+(-t)^2}{\sqrt{-t}}\]

\[\phi(-t)=\frac{-t+t^2}{\sqrt{-t}}\]

el parametro dado no pertenece al dominio de la funcion.

c-$\phi(u+1)$

respuesta:

\[\phi(u+1)=\frac{u+1+(u+1)^2}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{u+1+u^2+2u+1}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)\sqrt{u+1}}{u+1}\]

d-$\phi(x^2+x)$

respuesta:

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+(x^2+x)^2}{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+x^4+2x^2x+x^2 }{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^4+2x^3+2x^2+x }{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x(x+1)}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{x^\frac{1}{2}\sqrt{x+1}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^\frac{1}{2}(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x+1}}\]

e-$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x-\sqrt{3}}$

\[f(\sqrt{3})\]

respuesta:

\[f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2+9}}{\sqrt{3}-\sqrt{3}}\]

\[f(\sqrt{3})=\infty\]

decimos que $\sqrt{3}$ no pertenece al dominio de la funcion.

Ejemplo 3:

Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 hasta 100 computadoras por día. Los gastos generales diarios de la planta ascienden a $5000 y el costo directo (mano de obra y materiales) para producir una computadora es de $805. Escriba una fórmula para T(x), el costo total de producir x computadoras en un día.

Rta:

\[T(x)=5000+805x\]

para la funcion $T(x)$ el dominio son todos los reales, desde 0 hasta 100(si consideramos el numero de computadoras como entero, seran entonces numeros enteros los del dominio)

El recorrido del costo total para el numero de computadoras son todos los numeros reales desde 5000, hasta 85500, que es el costo maximo al que se llega con el maximo de produccion de computadoras.

gastos_gen<-5000
gastos_unidad<-805
T_x <- function(x) {
  T__x <- gastos_gen+gastos_unidad*x
  return(T__x)
}

#Ejemplo:
  
minimo_T<-0
maximo_T<-100
T_x(minimo_T)

[1] 5000

T_x(maximo_T)

[1] 85500

Ejemplo 4:

Escriba una fórmula también, para el costo unitario u(x) (costo promedio por computadora). ¿Cuáles son los dominios de estas funciones?

El promedio sera el costo diario, entre el numero de computadoras

$$u(x)=T(x)/x$$

\[u(x)=(5000+805x)/x\] \[u(x)=\frac{5000}{x}+805\]

\[D_f=\left\{ x\in R / 1\le x\le 100 \right\}\]

¿Cuales son los valores maximos y minimos de la funcion u(x)?

Hallamos u(1) ya que 1 es el minimo valor de computadores que nos puede dar $T(x)$

\[ u(1)=\frac{5000}{1}+805 \]

\[ u(1)=5805 \]

Ahora hallamos $u(100)$

$$u(100)=+805$$

\[ u(100)=855 \]

u_x <- function(x) {
  u__x <- (gastos_gen+gastos_unidad*x)/x
  return(u__x)
}
minimo_T<-minimo_T+1


u_x_max<-u_x(minimo_T)

u_x_max

[1] 5805

u_x_min<-u_x(maximo_T)
u_x_min

[1] 855

Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/khf7b2mn

Hallamos el recorrido

Para hallar el recorrido, despejamos x y hallamos el dominio del despeje

\[y=(5000+805x)/x\]
\[y=5000/x+805\]

\[y-805=5000/x\]

\[x(y-805)=5000\]

\[x=\frac{5000}{y-805}\]

se podria pensar entonces que el dominio son todos los numeros reales $y\neq805$, pero sabemos de antemano que el valor minimo de la funcion decimos que \[R_f= \left\{ y\in R/5000\le y<=850000\right\}\]

Tipos de datos

¿Discretas o continuas? II Identifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:

Aumento en tiempo de vida alcanzado por un paciente de cáncer como resultado de una cirugía.

La variable es continua

b. Resistencia a la ruptura (en libras por pulgada cuadrada) de un cable de acero de una pulgada de diámetro.

La variable es continua

Número de venados muertos por año en una reservación estatal de fauna silvestre.

La variable es discreta

d. Número de cuentas vencidas en una tienda de departamentos en un tiempo particular.

La variable es discreta

e. Su presión sanguínea.

Continua

Factorial de un numero natural

\[ n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 \]

ejemplo:

\[ 7!=7*6*5*4*3*2*1 \]

\[ 7!=5040 \]

Conteo

\[\mathrm{C}_{x}^{n}= \frac{n!}{x!(n-x)!}\] Satena tiene 15 vuelos diarios de Cali a Pasto. Deseo escoger 5 opciones de vuelos para determinar mi eleccion final ¿Cuantas opciones tendria en total?

Rta:

Tengo $n=15$ vuelos y debo elegir $x=5$

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15!}{5!(15-5)!}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15!}{5!(10)!}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15*14*13*12*11*10!}{5!(10)!}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15*14*13*12*11}{5*4*3*2}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{14*13*12*11}{4*2}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{14*13*3*11}{2}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{7*13*3*11}{1}\]

\[\mathrm{C}_{5}^{15}= 3003\]

# Función de combinatoria 
combinatoria <- function(x , n ) {
  # Validaciones
  if (!is.numeric(x) || !is.numeric(n)) {
    stop("Error: x y n deben ser números")
  }
  if (x < 0 || n < 0 || !all.equal(x %% 1, 0) || !all.equal(n %% 1, 0)) {
    stop("Error: x y n deben ser enteros no negativos")
  }
  if (x > n) {
    stop("Error: x no puede ser mayor que n")
  }
  
  # Calcular la combinatoria
  resultado <- choose(n, x)
  return(resultado)
}


combinatoria(5,15)

[1] 3003

Funciones discretas de probabilidad

Una función discreta $f(x)=p_x$ es una función, cuyo dominio es un conjunto numerable y cumple que.

$0\le p_i \le1$
$\sum_{i=1}^{n}p_i=1$

Ejemplo1

Sea x igual al número observado en el tiro de un solo dado balanceado.

a. Encuentre y grafique la distribución de probabilidad para x.

¿Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado el valor sea 3 ?

el espacio muestral sera

\[ card(S)= 6 \]

\[ S= \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \]

El total de exitos de sacar 3, seria 1

\[ x={ 3}\]

\[card(x)=1 \]

Es decir que la probabilidad sera:

\[ p(3)=\frac{card(x)}{card(S)}= 1/6 \]

# Total de posibilidades al lanzar un dado
total_posibilidades <- 6

# Función para calcular la probabilidad
# Función corregida para aceptar vectores

x<-seq(1:6)
i <- 1

prob_dado <- function(x) {
  # Validar que todos los elementos de x estén entre 1 y 6
  if (!all(x %in% 1:6)) {
    stop("Error: Todos los valores de x deben estar entre 1 y 6")
  }
  
  # Calcular la probabilidad (vectorizada, siempre 1/6 para valores válidos)
  P_x <- rep(1 / total_posibilidades, length(x))
  return(P_x)
}

prob_dado(x)

[1] 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667

probabilidades <- list()
for (i in 1:length(x)) {
  exitos <- length(x[i])
  espacio <- length(x)
  p_x <- exitos/espacio
 probabilidades[[i]] <- p_x
}

  puntaje probabilidad
1       1    0.1666667
2       2    0.1666667
3       3    0.1666667
4       4    0.1666667
5       5    0.1666667
6       6    0.1666667

Ejemplo 2

Se lanzan dos dados, de forma que se suman los valores,¿Cual es la funcion de probabilidad para este experimento?

Rta: para el lanzamiento de dos dados, tenemos en total 36 opciones, tenemos la siguiente distribucion.

   Dado1 Dado2 Suma
1      1     1    2
2      2     1    3
3      3     1    4
4      4     1    5
5      5     1    6
6      6     1    7
7      1     2    3
8      2     2    4
9      3     2    5
10     4     2    6
11     5     2    7
12     6     2    8
13     1     3    4
14     2     3    5
15     3     3    6
16     4     3    7
17     5     3    8
18     6     3    9
19     1     4    5
20     2     4    6
21     3     4    7
22     4     4    8
23     5     4    9
24     6     4   10
25     1     5    6
26     2     5    7
27     3     5    8
28     4     5    9
29     5     5   10
30     6     5   11
31     1     6    7
32     2     6    8
33     3     6    9
34     4     6   10
35     5     6   11
36     6     6   12


 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 
 1  2  3  4  5  6  5  4  3  2  1

La distribucion de probabilidad sera:

   Var1 Freq probabilidad
1     2    1   0.02777778
2     3    2   0.05555556
3     4    3   0.08333333
4     5    4   0.11111111
5     6    5   0.13888889
6     7    6   0.16666667
7     8    5   0.13888889
8     9    4   0.11111111
9    10    3   0.08333333
10   11    2   0.05555556
11   12    1   0.02777778

Funcion de distribucion de probabilidad acumulada

\[ F(x)=P[X\le x] \]

\[ F(x)=\sum_{i=1}^{x}f(x_i) \]

\[ F(x)=f(1)+f(2)+...+f(x) \]

\[ F(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1/6*5 \]

\[ F(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.883 \]

# Función de distribución acumulada
fda_dado <- function(x) {
  # Validar que x sea numérico
  if (!is.numeric(x)) {
    stop("Error: x debe ser un valor numérico")
  }
  
  # Inicializar vector de resultados
  F_x <- numeric(length(x))
  
  # Calcular FDA para cada elemento
  for (i in seq_along(x)) {
    if (x[i] < 1) {
      F_x[i] <- 0
    } else if (x[i] >= 6) {
      F_x[i] <- 1
    } else {
      F_x[i] <- floor(x[i]) / 6
    }
  }
  
  return(F_x)
}
fda_dado(x)

[1] 0.1666667 0.3333333 0.5000000 0.6666667 0.8333333 1.0000000

Ejemplo 4

Halle la funcion de distribucion acumulada para la funcion $f(x)=1/6$ donde $x= { 1,2,3,4,5,6}$

Valor esperado de una funcion de distribucion de probabilidad

\[ E(x)=\sum_{i=1}^{n}x_if(x_i) \]

Ejemplo 3

¿Cual es la probabilidad esperada de la funcion $f(x)=1/6$ donde $x= { 1,2,3,4,5,6}$

tenemos entonces:

\[ E(x)=\sum_{i=1}^{7}x_if(x_i) \]

\[ E(x)=1*(\frac{1}{6})+2*(\frac{1}{6})+3*(\frac{1}{6})+4*(\frac{1}{6})+5*(\frac{1}{6}) +6*(\frac{1}{6})\]

\[ E(x)=3.5 \]

$$$$ El promedio o valor esperado de x es de 3 a 4

Desviacion estandar de la funcion de distribucion de probabilidad

\[\sigma[x]=\sqrt{E[(x-\mu)^2]}\]

Ejemplo

\[\sigma[x]=\sqrt{\sum_{i=1}^{7}x_if((x_i-\mu)^2)}\]

\[\sigma[x]=\sqrt{x_1*f((x_1-3.5)^2+x_2*f((x_2-3.5)^2+...+x_7*f((x_7-3.5)^2} \]

\[\sigma[x]=\sqrt{1*f((1-3.5)^2+2*f((2-3.5)^2+...+6*f((6-3.5)^2} \]

\[\sigma[x]=\sqrt{\frac{1}{6}(1+2+...+6)} \]

\[\sigma[x]=\sqrt{\frac{21}{6}} \]

\[\sigma[x]\simeq 1.87 \]

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ℹ Please use `linewidth` instead.

Ejercicio

Halle la funcion acumulada, la esperanza, la varianza, la desviacion de la funcion generada en el ejemplo 2

Distribucion Binomial

\[ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{n}p^x(1-p)^{n-x} \]

Dónde:

X = variable aleatoria definida como el número de éxitos.

x = cantidad de éxitos.

p = Probabilidad de éxito de cada ensayo.

n = número de ensayos.

\[\mathrm{C}_{x}^{n}\]= es el número combinatorio de 𝑥 éxitos en 𝑛 ensayos

# Función de distribución binomial
binom_prob <- function(n, x, p) {
  # Validaciones
  if (!is.numeric(n) || !is.numeric(x) || !is.numeric(p)) {
    stop("Error: n, x y p deben ser números")
  }
  if (n < 0 || x < 0 || !all.equal(n %% 1, 0) || !all.equal(x %% 1, 0)) {
    stop("Error: n y x deben ser enteros no negativos")
  }
  if (x > n) {
    stop("Error: x no puede ser mayor que n")
  }
  if (p < 0 || p > 1) {
    stop("Error: p debe estar entre 0 y 1")
  }
  
  # Calcular la probabilidad
  combinacion <- choose(n, x)
  probabilidad <- combinacion * (p^x) * ((1 - p)^(n - x))
  return(probabilidad)
}

binom_prob(5,0,0.2)

[1] 0.32768

Ejemplo 1

Suponga que una distribucion binomial en la que n=3 y p=0.6, contruya la tabla de probabilidades y determine la media y la desviacion estandar

entonces:

\[ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{3}(0.6)^x(1-0.6)^{3-x} \]

\[ f(x)=P(X=0)=1*(1)(0.4)^{3} \]

\[f(x)=P(X=0)=\mathrm{C}_{0}^{3}(0.6)^0(1-0.6)^{3-0}\]

\[ f(x)=P(X=0)=0.064 \]

\[ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{3}(0.6)^x(1-0.6)^{3-x} \]

\[ f(x)=P(X=0)=1*(1)(0.4)^{3} \]

Las probabilidades, seran

p_0<-binom_prob(3,0,0.6)
p_1<-binom_prob(3,1,0.6)
p_2<-binom_prob(3,2,0.6)
p_3<-binom_prob(3,3,0.6)
c(p_0,p_1,p_2,p_3)

[1] 0.064 0.288 0.432 0.216

la media sera

\[\mu =n*p\]

\[\mu =3*0.6\]

\[\mu =1.8\]

Varianza

\[\sigma^2 =n*p*q\]

\[\sigma^2 =3*0.6*0.4\]

\[\sigma^2 =0.72\]

desviacion estandar

\[\sigma=\sqrt{0.72}\]

\[\sigma=0.848\]

Ejemplo 2

Un estudio de una agencia de inversionistas descubrio que el 30% habian usado intermediarios, se tomo una muestra de 9 inversionistas

a- ¿Cual es la porbabilidad de encontrar 2 personas que hallan usado un intermediario?

$n=9,p=0.3, q=0.7, x=2$

\[ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{9}(0.3)^x(1-0.3)^{9-x} \]

\[ f(x)=P(X=2)=\mathrm{C}_{2}^{9}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} \]

\[ f(x)=P(X=2)= \frac{9!}{2!(9-2)!}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} \]

\[ f(x)=P(X=2)= 36(0.09)(0.7)^{7} \]

\[ f(x)=P(X=2)= 0.266 \]

\[ f(x)=P(X=2)= \frac{9*8*7!}{2*7!}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} \]

Ejemplo 3

En una situacion binomial $n=8$ y $p=0.3$ determine la propabilidad de los siguientes eventos:

a- $x\le 2$

\[ P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]

\[ P(X\le2)=\mathrm{C}_{0}^{8}(0.3)^0(1-0.3)^{8-0}+\mathrm{C}_{1}^{8}(0.3)^1(1-0.3)^{8-1}+\mathrm{C}_{2}^{8}(0.3)^2(1-0.3)^{8-2} \]

\[ P(X\le2)=0.5517 \]

b- $x\ge 3$

\[ P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=n) \]

usamos el complemento en los calculos

\[ P(X\ge3)=1-P(X<3) \]

\[ P(X\ge3)=1-0.551 =0.4482\]

\[ P(X\ge3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] \]

c- $x> 4$

\[ P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)+...+P(X=n) \]

usamos el complemento en los calculos

\[ P(X>4)=1-P(X\le 4) \]

\[ P(X>4)=1-P(X\le 4)=0.057 \]

Ejemplo 4

tenemos una distribucion normal con $n=15$ y $p=0.75$

cual es la probabilidad de que x este entre 11 y 14

\[ P(11\le X \le 14) \]

\[ P(11\le X \le 14)=P(X=14)-P(X=11) \]

\[ \mathrm{C}_{14}^{15}(0.7)^{14} (1-0.7)^{15-14}-\mathrm{C}_{11}^{15}(0.7)^{11}(1-0.7)^{15-11} \]

\[ P(11\le X \le 14)=P(X=14)-P(X=11) \]

Distribucion Poisson

La probabilidad de observar exactamente 5 eventos con lambda = 2 es: 0.03608941

se llega con tasa media de 2, cada 5 min

\[ \mu=2 \]

\[ P(X\ge 2) \]

\[ P(X> 2)=P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=n) \]

\[ P(X> 2)=1-P(X\le2) \]

\[ P(X> 2)=1-[P(X=0)+(X=1)+(X=2)] \]

$$ P(X> 2)=1-[++] $$

\[ P(X> 2)=1-[e^{-2}+2*e^{-2}+2e^{-2}] \]

\[ P(X> 2)=1-5e^{-2}=0.35 \]

La probabilidad de que lleguen mas de dos clientes en 5 minutos es de 0.35.

Ejemplo 2

cierta enfermedad tiene una probabilidad de $p=\frac{1}{100000}$ clacular la probabilidad de que en una ciudad con 500000 haya mas de 3 personas con dicha enfermedad, clacular el numero esperado de habitantes que la padecen

1- hallamos el valor esperado

\[ \mu =p*n \]

\[ \mu =5\]

\[ \mu =\frac{1}{100000}*500000 \]

hallamos la probabilidad

\[ P(X>3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)] \]

\[ P(X>3)=1-[\frac{5^0*e^{-5} }{0!}+\frac{5^1*e^{-5} }{1!}+\frac{5^2*e^{-5}+\frac{5^3*e^{-5} }{3!}] \]

Distribucion Normal

Ejemplo 1

Una población normal tiene una media de $\mu =20$ y una desviación estándar de $\sigma=4$.

a. Calcule el valor de z asociado con 25.0.

Rta:

tenemos

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

\[ Z=\frac{25-20}{4} \]

\[ Z=\frac{1}{8} \]

\[ Z=\frac{5}{4} \]

\[ Z_1=1.25 \]

¿Qué proporción de la población se encuentra entre 20.0 y 25.0?

Ya sabemos el Z para 25, entonces hallamos el Z para 20

\[ Z_0=\frac{20-20}{4}=0 \]

\[ P(20\le x \le25)=P(X\le 1.25)-P(X \le 0) \]

\[ P(20\le x \le25)=0.8944-0.5 \]

\[ P(20\le x \le25)=0.3944(39.44%) \]

c. ¿Qué proporción de la población es menor que 18.0?

\[Z=\frac{18-20}{4}=-0.5\]

\[P(x\le 18)=P(X\le-0.5)=0.3085=30.85%\]

Ejemplo 2

Una población normal tiene una media de 12.2 y una desviación estándar de 2.5.

a. Calcule el valor de z asociado con 14.3.

\[ Z=\frac{14.3-12.2}{2.5} \]

\[ Z=0.84 \]

b. ¿Qué proporción de la población se encuentra entre 12.2 y 14.3?

\[ P(12.2 \le x \le 14.3)=P(X \le 0.84)-P(X \le 0) \]

\[ P(12.2 \le x \le 14.3)=0.7995-0.5=0.2995\]

c. ¿Qué proporción de la población es menor que 10.0?

0.1894

Ejemplo 3

La distribución de ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio en California, Estados Unidos, tienen una distribución de probabilidad normal, con una media de $1 000 dólares y una desviación estándar de $100 dólares.

a. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana entre $840 y $1 200?

b. ¿ Qué porcentaje de trabajadores gana entre $1 150 y $1 250?

c. ¿Cuánto ganan los trabajadores que se encuentran sobre el 80% de la distribución?

$$P(X\le Z)=0.8$

para la distribucion normal el Z que cumple es 0.85(fuente, tabla de la distribucion normla)

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
\[0.85=\frac{X-1000}{100}\]

\[85+1000=X\]

\[1085=X\]

Rta: los trabajadores que se encuentran sobre el 80% de la distribución ganan $1085

Ejmeplo 4

La media de los pesos de cajas de galletas de cierta marca, es de 400 libras. La desviación estándar es de 10 libras.

a. ¿Cuál es el porcentaje de pesos entre 415 libras y la media de 400 libras?

b. ¿Cuál es el porcentaje de pesos entre la media y 395 libras?

\[ P(395\le x \le 400)=P(X\le 0)-P( X \le -0.5)=0.5-0.3085=0.1915 \]

Rta: el porcentaje de pesos entre la media y 395 libras es del 19.15%

c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras?

\[ P(x<395)=P(X < -0.5)=0.3085 \]

Rta: la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras es 30.85%

d. ¿Cuál es el peso a para del cual se ubican el 40% de las mediciones?

\[P(X\le Z)=0.4\]

para la distribucion normal el Z que cumple es -0.26(fuente, tabla de la distribucion normla)

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
\[-0.26=\frac{X-400}{10}\]

\[-2.6+400=X\]

\[397.4=X\]

Rta: el peso a para del cual se ubican el 40% de las mediciones es de 397.4

Ejemplo 5

Muchos supermercados ofrecen sus propias tarjetas de crédito. El tiempo que se requiere para la aprobación de la solicitud de tarjeta crédito sigue una distribución normal con una variación entre los tiempos de entre 4 y 10 horas.

a. ¿Cuál es el tiempo medio para el proceso de la solicitud?

b. ¿Cuál es la desviación estándar del 2empo de proceso?

\[ 4=\mu-3*\sigma// 10=\mu+3*\sigma \]

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que $\mu=7, \sigma=1$

--- title: "Funciones de distribucion de probablidad" author: "Asesorias Convergencias" format: html: self-contained: true code-tools: true css: | /* Estilos para el diseño con panel lateral */ body { margin: 0; font-family: Arial, sans-serif; } .container { display: flex; min-height: 100vh; } .sidebar { width: 250px; background-color: #2c3e50; color: white; padding: 20px; position: fixed; height: 100%; overflow-y: auto; } .sidebar h2 { font-size: 1.5em; margin-bottom: 20px; } .sidebar a { color: #3498db; text-decoration: none; display: block; margin: 10px 0; } .sidebar a:hover { color: #2980b9; } .main-content { margin-left: 270px; /* Espacio para el sidebar */ padding: 20px; flex-grow: 1; } .header { background-color: #ecf0f1; padding: 10px; margin-bottom: 20px; } rpubs-id: "Funciones" #server: shiny --- # Funciones ```{r, echo=FALSE, include=FALSE} library(DiagrammeR) library(rsvg) library(DiagrammeR) library(webshot2) library(ggplot2) library(dplyr) library(knitr) ``` Definición Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto —denominado dominio— **un solo valor f(x)** de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función. (Véase la figura 1). ```{r, echo=FALSE,message=FALSE} # Generar el gráfico y guardarlo temporalmente como HTML graph <- grViz(" digraph sagittal_diagram { graph [layout = dot, rankdir = LR, nodesep = 1, ranksep = 1] subgraph cluster_domain { label = 'Dominio' style = rounded color = blue node [shape = circle, style = filled, fillcolor = lightblue] a [label = 'x1'] b [label = 'x2'] c [label = 'x3'] } subgraph cluster_range { label = 'Rango' style = rounded color = black node [shape = circle, style = filled, fillcolor = lightgray] r1 [label = 'y1=f(x1)'] r2 [label = 'y2=f(x2)'] r3 [label = 'y3=f(x3)'] } a -> r1 b -> r2 c -> r3 } ") # Guardar el gráfico como HTML temporalmente html_file <- tempfile(fileext = ".html") htmlwidgets::saveWidget(graph, html_file) # Capturar el gráfico como PNG webshot2::webshot(html_file, "figura1.png", vwidth = 800, vheight = 400) ``` ## Representacion de funciones 1. **Diagrama Sagital** Son representaciones de relaciones por medio de conjuntos. ### **Ejemplo 1:** ¿La siguiente relacion es funcion? $$ f= \left\{(2,1),(2,2),(4,2),(4,1),(4,2)\right\} $$ Tenemos: ```{r, echo=FALSE, message=FALSE} graph1 <-grViz(" digraph sagittal_diagram { graph [layout = dot, rankdir = LR, nodesep = 1, ranksep = 1] subgraph cluster_domain { label = 'Dominio' style = rounded color = blue node [shape = circle, style = filled, fillcolor = lightblue] a [label = '2'] b [label = '4'] } subgraph cluster_range { label = 'Recorrido' style = rounded color = black node [shape = circle, style = filled, fillcolor = lightgray] r1 [label = '1'] r2 [label = '2'] r3 [label = '4'] } a -> r1 a -> r2 b -> r2 b -> r1 b -> r3 } ") # Guardar el gráfico como HTML temporalmente html_file1 <- tempfile(fileext = ".html") htmlwidgets::saveWidget(graph1, html_file1) # Capturar el gráfico como PNG webshot2::webshot(html_file1, "figura1.png", vwidth = 800, vheight = 400) ``` Vemos que los elementos del dominio cumplen la definicion, por tanto decimos que g es funcion ### **Ejemplo 2:** Para $\phi(u)=\frac{u+u^2}{\sqrt{u}}$ encuentre cada valor. a- $\phi(1)$ respuesta: $$\phi(1)=\frac{1+1^2}{\sqrt{1}}$$ $$\phi(1)=\frac{1+1^2}{\sqrt{1}}$$ $$\phi(1)=2$$ b-$\phi(-t)$ respuesta: $$\phi(-t)=\frac{-t+(-t)^2}{\sqrt{-t}}$$ $$\phi(-t)=\frac{-t+t^2}{\sqrt{-t}}$$ el parametro dado no pertenece al dominio de la funcion. c-$\phi(u+1)$ respuesta: $$\phi(u+1)=\frac{u+1+(u+1)^2}{\sqrt{u+1}}$$ $$\phi(u+1)=\frac{u+1+u^2+2u+1}{\sqrt{u+1}}$$ $$\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)}{\sqrt{u+1}}$$ $$\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)\sqrt{u+1}}{u+1}$$ d-$\phi(x^2+x)$ respuesta: $$\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+(x^2+x)^2}{\sqrt{x^2+x}}$$ $$\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+x^4+2x^2x+x^2 }{\sqrt{x^2+x}}$$ $$\phi(x^2 +x)=\frac{x^4+2x^3+2x^2+x }{\sqrt{x^2+x}}$$ $$\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x(x+1)}}$$ $$\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{x^\frac{1}{2}\sqrt{x+1}}$$ $$\phi(x^2 +x)=\frac{x^\frac{1}{2}(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x+1}}$$ e-$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x-\sqrt{3}}$ $$f(\sqrt{3})$$ respuesta: $$f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2+9}}{\sqrt{3}-\sqrt{3}}$$ $$f(\sqrt{3})=\infty$$ decimos que $\sqrt{3}$ no pertenece al dominio de la funcion. ### **Ejemplo 3:** Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 hasta 100 computadoras por día. Los gastos generales diarios de la planta ascienden a \$5000 y el costo directo (mano de obra y materiales) para producir una computadora es de \$805. Escriba una fórmula para T(x), el costo total de producir x computadoras en un día. Rta: $$T(x)=5000+805x$$ para la funcion $T(x)$ el dominio son todos los reales, desde 0 hasta 100(si consideramos el numero de computadoras como entero, seran entonces numeros enteros los del dominio) El recorrido del costo total para el numero de computadoras son todos los numeros reales desde 5000, hasta 85500, que es el costo maximo al que se llega con el maximo de produccion de computadoras. ```{r} gastos_gen<-5000 gastos_unidad<-805 T_x <- function(x) { T__x <- gastos_gen+gastos_unidad*x return(T__x) } #Ejemplo: minimo_T<-0 maximo_T<-100 T_x(minimo_T) T_x(maximo_T) ``` ```{r, echo=FALSE, warning=FALSE, message=FALSE} x<-seq(minimo_T,maximo_T) y<-T_x(x) tabulacion<-cbind.data.frame(computadores=x,costo_total=y) grafica_T<-ggplot(data = tabulacion, aes(x = computadores, y = costo_total)) + geom_point( size = 3, # Tamaño de los puntos alpha = 0.7, # Transparencia (0 = transparente, 1 = sólido) color = "#2C3E50", # Color hexadecimal (azul oscuro) fill = "#3498DB", # Color de relleno (si usas formas con relleno) shape = 21 # Forma del punto (21 = círculo con borde) ) + geom_smooth( method = "lm", # Línea de tendencia lineal color = "#E74C3C", # Color rojo para la línea se = FALSE, # Eliminar banda de confianza linewidth = 1.2 # Grosor de la línea ) + labs( title = "Relación entre cantidad de computadores y costo total", subtitle = "Análisis de costos tecnológicos", x = "Número de computadores", y = "Costo total (USD)", caption = "Fuente: Datos de la empresa (2023)" ) + theme_minimal(base_size = 12) + # Tema minimalista con tamaño base de texto theme( plot.title = element_text( face = "bold", size = 16, hjust = 0.5, color = "#2C3E50" ), plot.subtitle = element_text( hjust = 0.5, color = "#7F8C8D" ), axis.title = element_text(face = "bold"), panel.grid.major = element_line(color = "#ECF0F1"), panel.grid.minor = element_blank(), plot.caption = element_text(color = "#95A5A6", hjust = 0) ) + scale_y_continuous(labels = scales::dollar) + # Formato de moneda para el eje Y scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 10)) # Mejores breaks en eje X grafica_T ``` ### **Ejemplo 4:** Escriba una fórmula también, para el costo unitario u(x) (costo promedio por computadora). ¿Cuáles son los dominios de estas funciones? El promedio sera el costo diario, entre el numero de computadoras \$$u(x)=T(x)/x$\$ $$u(x)=(5000+805x)/x$$ $$u(x)=\frac{5000}{x}+805$$ $$D_f=\left\{ x\in R / 1\le x\le 100 \right\}$$ **¿Cuales son los valores maximos y minimos de la funcion u(x)?** Hallamos u(1) ya que 1 es el minimo valor de computadores que nos puede dar \$T(x)\$ $$ u(1)=\frac{5000}{1}+805 $$ $$ u(1)=5805 $$ Ahora hallamos $u(100)$ \$\$u(100)=\frac{5000}{100}+805\$\$ $$ u(100)=855 $$ ```{r, message=FALSE} u_x <- function(x) { u__x <- (gastos_gen+gastos_unidad*x)/x return(u__x) } minimo_T<-minimo_T+1 u_x_max<-u_x(minimo_T) u_x_max u_x_min<-u_x(maximo_T) u_x_min ``` ```{r, echo=FALSE, message=FALSE} y_u<-u_x(x) tabulacion_u<-cbind.data.frame(computadores=x,costo_promedio=y_u) grafica_u<-ggplot(data = tabulacion_u, aes(x = computadores, y = costo_promedio)) + geom_point( size = 3, # Tamaño de los puntos alpha = 0.7, # Transparencia (0 = transparente, 1 = sólido) color = "#2C3E50", # Color hexadecimal (azul oscuro) fill = "#3498DB", # Color de relleno (si usas formas con relleno) shape = 21 # Forma del punto (21 = círculo con borde) ) + labs( title = "Relación entre cantidad de computadores y costo promedio", subtitle = "Análisis de costos tecnológicos", x = "Número de computadores", y = "Costo promedio (USD)", caption = "Fuente: Datos de la empresa (2023)" ) + theme_minimal(base_size = 12) + # Tema minimalista con tamaño base de texto theme( plot.title = element_text( face = "bold", size = 16, hjust = 0.5, color = "#2C3E50" ), plot.subtitle = element_text( hjust = 0.5, color = "#7F8C8D" ), axis.title = element_text(face = "bold"), panel.grid.major = element_line(color = "#ECF0F1"), panel.grid.minor = element_blank(), plot.caption = element_text(color = "#95A5A6", hjust = 0) ) + scale_y_continuous(labels = scales::dollar) + # Formato de moneda para el eje Y scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 10)) # Mejores breaks en eje X grafica_u library(ggplot2) # Combinar ambos dataframes en uno solo datos_combinados <- merge(tabulacion_u, tabulacion, by = "computadores") # Crear gráfico combinado grafica_combinada <- ggplot(data = datos_combinados, aes(x = computadores)) + # Gráfico de costo promedio (serie azul) geom_point( aes(y = costo_promedio), size = 3, alpha = 0.7, color = "#3498DB", shape = 21 ) + # Gráfico de costo total (serie roja) geom_point( aes(y = costo_total), size = 3, alpha = 0.7, color = "#E74C3C", shape = 24 ) + # Línea de tendencia para costo total geom_smooth( aes(y = costo_total), method = "lm", color = "#E74C3C", se = FALSE, linewidth = 1.2 ) + # Configuración de ejes y leyenda labs( title = "Relación entre computadores y costos", subtitle = "Costo promedio vs costo total", x = "Número de computadores", y = "Costo (USD)", caption = "Fuente: Datos de la empresa (2023)" ) + # Diferenciación de series scale_color_manual( name = "Tipo de costo", values = c("#3498DB", "#E74C3C"), labels = c("Promedio", "Total") ) + scale_shape_manual( name = "Tipo de costo", values = c(21, 24), labels = c("Promedio", "Total") ) + theme_minimal(base_size = 12) + theme( plot.title = element_text(face = "bold", size = 16, hjust = 0.5), legend.position = "top", panel.grid.major = element_line(color = "#ECF0F1") ) + scale_y_continuous(labels = scales::dollar) + scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 10)) # Mostrar gráfico grafica_combinada ``` Geogebra: <https://www.geogebra.org/classic/khf7b2mn> **Hallamos el recorrido** Para hallar el recorrido, despejamos x y hallamos el dominio del despeje $$y=(5000+805x)/x$$\ $$y=5000/x+805$$ $$y-805=5000/x$$ $$x(y-805)=5000$$ $$x=\frac{5000}{y-805}$$ se podria pensar entonces que el dominio son todos los numeros reales $y\neq805$, pero sabemos de antemano que el valor minimo de la funcion decimos que $$R_f= \left\{ y\in R/5000\le y<=850000\right\}$$ ## Tipos de datos ¿Discretas o continuas? II Identifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: a. Aumento en tiempo de vida alcanzado por un paciente de cáncer como resultado de una cirugía. La variable es continua b\. Resistencia a la ruptura (en libras por pulgada cuadrada) de un cable de acero de una pulgada de diámetro. La variable es continua c. Número de venados muertos por año en una reservación estatal de fauna silvestre. La variable es discreta d\. Número de cuentas vencidas en una tienda de departamentos en un tiempo particular. La variable es discreta e\. Su presión sanguínea. Continua # Factorial de un numero natural $$ n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 $$ ejemplo: # $$ 7!=7*6*5*4*3*2*1 $$ $$ 7!=5040 $$ # Conteo $$\mathrm{C}_{x}^{n}= \frac{n!}{x!(n-x)!}$$ Satena tiene 15 vuelos diarios de Cali a Pasto. Deseo escoger 5 opciones de vuelos para determinar mi eleccion final ¿Cuantas opciones tendria en total? Rta: Tengo $n=15$ vuelos y debo elegir $x=5$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15!}{5!(15-5)!}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15!}{5!(10)!}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15*14*13*12*11*10!}{5!(10)!}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{15*14*13*12*11}{5*4*3*2}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{14*13*12*11}{4*2}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{14*13*3*11}{2}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{7*13*3*11}{1}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= \frac{7*13*3*11}{1}$$ $$\mathrm{C}_{5}^{15}= 3003$$ ```{r} # Función de combinatoria combinatoria <- function(x , n ) { # Validaciones if (!is.numeric(x) || !is.numeric(n)) { stop("Error: x y n deben ser números") } if (x < 0 || n < 0 || !all.equal(x %% 1, 0) || !all.equal(n %% 1, 0)) { stop("Error: x y n deben ser enteros no negativos") } if (x > n) { stop("Error: x no puede ser mayor que n") } # Calcular la combinatoria resultado <- choose(n, x) return(resultado) } combinatoria(5,15) ``` \ ## Funciones discretas de probabilidad Una **función discreta** $f(x)=p_x$ es una función, cuyo dominio es un conjunto numerable y cumple que. - $0\le p_i \le1$ - $\sum_{i=1}^{n}p_i=1$ ### Ejemplo1 Sea x igual al número observado en el tiro de un solo dado balanceado. a\. Encuentre y grafique la distribución de probabilidad para x. ¿Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado el valor sea 3 ? el espacio muestral sera $$ card(S)= 6 $$ $$ S= \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} $$ El total de exitos de sacar 3, seria 1 $$ x={ 3}$$ $$card(x)=1 $$ Es decir que la probabilidad sera: $$ p(3)=\frac{card(x)}{card(S)}= 1/6 $$ ```{r} # Total de posibilidades al lanzar un dado total_posibilidades <- 6 # Función para calcular la probabilidad # Función corregida para aceptar vectores x<-seq(1:6) i <- 1 prob_dado <- function(x) { # Validar que todos los elementos de x estén entre 1 y 6 if (!all(x %in% 1:6)) { stop("Error: Todos los valores de x deben estar entre 1 y 6") } # Calcular la probabilidad (vectorizada, siempre 1/6 para valores válidos) P_x <- rep(1 / total_posibilidades, length(x)) return(P_x) } prob_dado(x) ``` ```{r} probabilidades <- list() for (i in 1:length(x)) { exitos <- length(x[i]) espacio <- length(x) p_x <- exitos/espacio probabilidades[[i]] <- p_x } ``` ```{r, include=FALSE} probabilidades_x <- probabilidades probabilidades_x <- do.call(rbind, probabilidades) tabulacion_p_x<-cbind.data.frame(puntaje=x,probabilidad=probabilidades_x) grafica_px<-ggplot(data = tabulacion_p_x, aes(x = puntaje, y = probabilidad)) + geom_point( size = 3, # Tamaño de los puntos alpha = 0.7, # Transparencia (0 = transparente, 1 = sólido) color = "#2C3E50", # Color hexadecimal (azul oscuro) fill = "#3498DB", # Color de relleno (si usas formas con relleno) shape = 21 # Forma del punto (21 = círculo con borde) ) + labs( title = "Probabilidad de hallar un numero al lanzar un dado", subtitle = "Funciones de distribución de probabilidad", x = "Puntaje", y = "Probabilidad", caption = "" ) + theme_minimal(base_size = 12) + # Tema minimalista con tamaño base de texto theme( plot.title = element_text( face = "bold", size = 16, hjust = 0.5, color = "#2C3E50" ), plot.subtitle = element_text( hjust = 0.5, color = "#7F8C8D" ), axis.title = element_text(face = "bold"), panel.grid.major = element_line(color = "#ECF0F1"), panel.grid.minor = element_blank(), plot.caption = element_text(color = "#95A5A6", hjust = 0) ) + scale_y_continuous(labels = scales::dollar) + # Formato de moneda para el eje Y scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 10)) # Mejores breaks en eje X puntajes<-as.factor(tabulacion_p_x$puntaje) geomBar_px<-ggplot(tabulacion_p_x, aes(x = puntajes, y = probabilidad)) + geom_bar(stat = "identity", aes(fill = puntajes), width = 0.7) + labs(title = "Probabilidades por Puntaje", subtitle = "Distribución de Probabilidades según Puntaje", x = "Puntaje", y = "Probabilidad") + theme_minimal() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 12), axis.title = element_text(size = 12), axis.text.x = element_text(angle = 0, hjust = 0.5), legend.position = "top") ``` ```{r, echo=FALSE} tabulacion_p_x grafica_px geomBar_px ``` ### Ejemplo 2 Se lanzan dos dados, de forma que se suman los valores,¿Cual es la funcion de probabilidad para este experimento? Rta: para el lanzamiento de dos dados, tenemos en total 36 opciones, tenemos la siguiente distribucion. ```{r, echo=FALSE} # Definir los valores posibles de cada dado (1 al 6) dados <- 1:6 # Crear todas las combinaciones posibles con expand.grid combinaciones_dados <- expand.grid(Dado1 = dados, Dado2 = dados) # Agregar una columna con la suma de los valores combinaciones_dados <- combinaciones_dados %>% mutate(Suma = Dado1 + Dado2) tabla_frecuencias <-as.data.frame(table(combinaciones_dados$Suma)) colores <- c("#CE97B0", "#85C0D9", "#CE97A0", "#A1ACA5", "#A217A0", "#F217A0", "#2217A0", "#F4C2C2", "#6A9BD4", "#D3A4D7", "#90D4A3") geomBar_distribucion<-ggplot(tabla_frecuencias, aes(x = Var1, y = Freq)) + geom_bar(stat = "identity",fill=colores, width = 0.7) + labs(title = "Distribucion por Puntaje", subtitle = "Total exitos", x = "Puntaje", y = "Total") + theme_minimal() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 12), axis.title = element_text(size = 12), axis.text.x = element_text(angle = 0, hjust = 0.5), legend.position = "top") combinaciones_dados table(combinaciones_dados$Suma) geomBar_distribucion ``` La distribucion de probabilidad sera: ```{r, echo=FALSE} tabla_frecuencias$probabilidad<-tabla_frecuencias$Freq/length(combinaciones_dados$Suma) tabla_frecuencias geomBar_px2<-ggplot(tabla_frecuencias, aes(x = Var1, y = probabilidad)) + geom_bar(stat = "identity",fill=colores, width = 0.7) + labs(title = "Distribucion de probabilidad por Puntaje", subtitle = "", x = "Puntaje", y = "Probabilidad") + theme_minimal() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 12), axis.title = element_text(size = 12), axis.text.x = element_text(angle = 0, hjust = 0.5), legend.position = "top") geomBar_px2 ``` ## Funcion de distribucion de probabilidad acumulada $$ F(x)=P[X\le x] $$ $$ F(x)=\sum_{i=1}^{x}f(x_i) $$ $$ F(x)=f(1)+f(2)+...+f(x) $$ $$ F(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1/6*5 $$ $$ F(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.883 $$ ```{r} # Función de distribución acumulada fda_dado <- function(x) { # Validar que x sea numérico if (!is.numeric(x)) { stop("Error: x debe ser un valor numérico") } # Inicializar vector de resultados F_x <- numeric(length(x)) # Calcular FDA para cada elemento for (i in seq_along(x)) { if (x[i] < 1) { F_x[i] <- 0 } else if (x[i] >= 6) { F_x[i] <- 1 } else { F_x[i] <- floor(x[i]) / 6 } } return(F_x) } fda_dado(x) ``` ### Ejemplo 4 Halle la funcion de distribucion acumulada para la funcion $f(x)=1/6$ donde $x= { 1,2,3,4,5,6}$ ### ## Valor esperado de una funcion de distribucion de probabilidad $$ E(x)=\sum_{i=1}^{n}x_if(x_i) $$ ### Ejemplo 3 ¿Cual es la probabilidad esperada de la funcion $f(x)=1/6$ donde $x= { 1,2,3,4,5,6}$ tenemos entonces: $$ E(x)=\sum_{i=1}^{7}x_if(x_i) $$ $$ E(x)=1*(\frac{1}{6})+2*(\frac{1}{6})+3*(\frac{1}{6})+4*(\frac{1}{6})+5*(\frac{1}{6}) +6*(\frac{1}{6})$$ $$ E(x)=3.5 $$ \$\$\$\$ El promedio o valor esperado de x es de 3 a 4 ## Desviacion estandar de la funcion de distribucion de probabilidad $$\sigma[x]=\sqrt{E[(x-\mu)^2]}$$ ### Ejemplo $$\sigma[x]=\sqrt{\sum_{i=1}^{7}x_if((x_i-\mu)^2)}$$ ### $$\sigma[x]=\sqrt{x_1*f((x_1-3.5)^2+x_2*f((x_2-3.5)^2+...+x_7*f((x_7-3.5)^2} $$ $$\sigma[x]=\sqrt{x_1*f((x_1-3.5)^2+x_2*f((x_2-3.5)^2+...+x_7*f((x_7-3.5)^2} $$ $$\sigma[x]=\sqrt{1*f((1-3.5)^2+2*f((2-3.5)^2+...+6*f((6-3.5)^2} $$ $$\sigma[x]=\sqrt{\frac{1}{6}(1+2+...+6)} $$ $$\sigma[x]=\sqrt{\frac{21}{6}} $$ $$\sigma[x]\simeq 1.87 $$ ```{r, echo=FALSE} # Total de posibilidades al lanzar un dado total_posibilidades <- 6 # Función para calcular la probabilidad prob_dado <- function(x) { if (!all(x %in% 1:6)) { stop("Error: Todos los valores de x deben estar entre 1 y 6") } P_x <- rep(1 / total_posibilidades, length(x)) return(P_x) } # Vector de ejemplo numeros <- 1:6 probabilidades <- prob_dado(numeros) # Crear un data frame con los resultados resultados <- data.frame(Numero = numeros, Probabilidad = probabilidades) media <- 3.5 desviacion <- 1.87 limite_inferior <- media - desviacion # 1.63 ≈ 2 limite_superior <- media + desviacion # 5.37 ≈ 5 # Gráfica de barras con líneas verticales geom_bar_complete<-ggplot(resultados, aes(x = as.factor(Numero), y = Probabilidad)) + geom_bar(stat = "identity", fill = "lightblue", color = "black", width = 0.7) + geom_vline(xintercept = media, color = "red", linetype = "dashed", size = 1, show.legend = TRUE) + geom_vline(xintercept = limite_inferior, color = "green", linetype = "dotted", size = 1, show.legend = TRUE) + geom_vline(xintercept = limite_superior, color = "green", linetype = "dotted", size = 1, show.legend = TRUE) + labs(title = "Probabilidad de Obtener un Número al Lanzar un Dado", x = "Número", y = "Probabilidad") + theme_minimal() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), axis.title = element_text(size = 12), legend.position = "none") # Ocultamos la leyenda porque usamos etiquetas geom_bar_complete ``` ### Ejercicio Halle la funcion acumulada, la esperanza, la varianza, la desviacion de la funcion generada en el ejemplo 2 ## Distribucion Binomial $$ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{n}p^x(1-p)^{n-x} $$ Dónde: X = variable aleatoria definida como el número de éxitos. x = cantidad de éxitos. p = Probabilidad de éxito de cada ensayo. n = número de ensayos. $$\mathrm{C}_{x}^{n}$$= es el número combinatorio de 𝑥 éxitos en 𝑛 ensayos\ ```{r} # Función de distribución binomial binom_prob <- function(n, x, p) { # Validaciones if (!is.numeric(n) || !is.numeric(x) || !is.numeric(p)) { stop("Error: n, x y p deben ser números") } if (n < 0 || x < 0 || !all.equal(n %% 1, 0) || !all.equal(x %% 1, 0)) { stop("Error: n y x deben ser enteros no negativos") } if (x > n) { stop("Error: x no puede ser mayor que n") } if (p < 0 || p > 1) { stop("Error: p debe estar entre 0 y 1") } # Calcular la probabilidad combinacion <- choose(n, x) probabilidad <- combinacion * (p^x) * ((1 - p)^(n - x)) return(probabilidad) } binom_prob(5,0,0.2) ``` ### Ejemplo 1 Suponga que una distribucion binomial en la que n=3 y p=0.6, contruya la tabla de probabilidades y determine la media y la desviacion estandar entonces: $$ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{3}(0.6)^x(1-0.6)^{3-x} $$ $$ f(x)=P(X=0)=1*(1)(0.4)^{3} $$ $$f(x)=P(X=0)=\mathrm{C}_{0}^{3}(0.6)^0(1-0.6)^{3-0}$$ $$ f(x)=P(X=0)=0.064 $$ $$ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{3}(0.6)^x(1-0.6)^{3-x} $$ $$ f(x)=P(X=0)=1*(1)(0.4)^{3} $$ Las probabilidades, seran ```{r} p_0<-binom_prob(3,0,0.6) p_1<-binom_prob(3,1,0.6) p_2<-binom_prob(3,2,0.6) p_3<-binom_prob(3,3,0.6) c(p_0,p_1,p_2,p_3) ``` la media sera $$\mu =n*p$$ $$\mu =3*0.6$$ $$\mu =1.8$$ Varianza $$\sigma^2 =n*p*q$$ $$\sigma^2 =3*0.6*0.4$$ $$\sigma^2 =0.72$$ desviacion estandar $$\sigma=\sqrt{0.72}$$ $$\sigma=0.848$$ ### Ejemplo 2 Un estudio de una agencia de inversionistas descubrio que el 30% habian usado intermediarios, se tomo una muestra de 9 inversionistas a- ¿Cual es la porbabilidad de encontrar 2 personas que hallan usado un intermediario? $n=9,p=0.3, q=0.7, x=2$ $$ f(x)=P(X=x)=\mathrm{C}_{x}^{9}(0.3)^x(1-0.3)^{9-x} $$ $$ f(x)=P(X=2)=\mathrm{C}_{2}^{9}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} $$ $$ f(x)=P(X=2)= \frac{9!}{2!(9-2)!}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} $$ $$ f(x)=P(X=2)= 36(0.09)(0.7)^{7} $$ $$ f(x)=P(X=2)= 0.266 $$ $$ f(x)=P(X=2)= \frac{9*8*7!}{2*7!}(0.3)^2(1-0.3)^{9-2} $$ ### Ejemplo 3 En una situacion binomial $n=8$ y $p=0.3$ determine la propabilidad de los siguientes eventos: a- $x\le 2$ $$ P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) $$ $$ P(X\le2)=\mathrm{C}_{0}^{8}(0.3)^0(1-0.3)^{8-0}+\mathrm{C}_{1}^{8}(0.3)^1(1-0.3)^{8-1}+\mathrm{C}_{2}^{8}(0.3)^2(1-0.3)^{8-2} $$ $$ P(X\le2)=0.5517 $$ b- $x\ge 3$ $$ P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=n) $$ usamos el complemento en los calculos $$ P(X\ge3)=1-P(X<3) $$ $$ P(X\ge3)=1-0.551 =0.4482$$ $$ P(X\ge3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] $$ c- $x> 4$ $$ P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)+...+P(X=n) $$ usamos el complemento en los calculos $$ P(X>4)=1-P(X\le 4) $$ $$ P(X>4)=1-P(X\le 4)=0.057 $$ ### Ejemplo 4 tenemos una distribucion normal con $n=15$ y $p=0.75$ cual es la probabilidad de que x este entre 11 y 14 $$ P(11\le X \le 14) $$ $$ P(11\le X \le 14)=P(X=14)-P(X=11) $$ $$ \mathrm{C}_{14}^{15}(0.7)^{14} (1-0.7)^{15-14}-\mathrm{C}_{11}^{15}(0.7)^{11}(1-0.7)^{15-11} $$ $$ P(11\le X \le 14)=P(X=14)-P(X=11) $$ ## Distribucion Poisson ```{r, echo=FALSE, warning=FALSE} library(ggplot2) # Función para trabajar con la distribución de Poisson distribucion_poisson <- function(lambda, k = NULL, n_simulaciones = 1000, graficar = TRUE) { # Validar el parámetro lambda if (lambda <= 0) { stop("El parámetro lambda debe ser mayor que 0.") } # Calcular la probabilidad para un valor específico k (si se proporciona) if (!is.null(k)) { if (k < 0 || k != round(k)) { stop("k debe ser un entero no negativo.") } probabilidad <- dpois(k, lambda) cat("La probabilidad de observar exactamente", k, "eventos con lambda =", lambda, "es:", probabilidad, "\n") } # Generar valores aleatorios de la distribución de Poisson datos_poisson <- rpois(n_simulaciones, lambda) # Crear un data frame con los valores simulados df_poisson <- data.frame(eventos = datos_poisson) # Graficar la distribución (si graficar = TRUE) if (graficar) { # Calcular las probabilidades teóricas para graficar la distribución max_eventos <- max(qpois(0.999, lambda), max(datos_poisson)) # Valor máximo para el eje x x_vals <- 0:max_eventos probs_teoricas <- dpois(x_vals, lambda) df_teorico <- data.frame(eventos = x_vals, probabilidad = probs_teoricas) # Crear la gráfica grafica <- ggplot() + # Histograma de los datos simulados geom_histogram(data = df_poisson, aes(x = eventos, y = ..density..), binwidth = 1, fill = "#3498DB", alpha = 0.5, color = "#2C3E50") + # Línea teórica de la distribución de Poisson geom_line(data = df_teorico, aes(x = eventos, y = probabilidad), color = "#E74C3C", size = 1) + geom_point(data = df_teorico, aes(x = eventos, y = probabilidad), color = "#E74C3C", size = 2) + # Etiquetas y tema labs( title = paste("Distribución de Poisson (λ =", lambda, ")"), x = "Número de Eventos", y = "Densidad / Probabilidad", caption = "Histograma: Datos simulados | Línea: Distribución teórica" ) + theme_minimal(base_size = 12) + theme( plot.title = element_text(face = "bold", size = 16, hjust = 0.5, color = "#2C3E50"), axis.title = element_text(face = "bold"), panel.grid.major = element_line(color = "#ECF0F1"), panel.grid.minor = element_blank(), plot.caption = element_text(color = "#95A5A6", hjust = 0) ) # Mostrar la gráfica print(grafica) } # Retornar los datos simulados (opcional) return(invisible(datos_poisson)) } distribucion_poisson(lambda = 2, k = 5, n_simulaciones = 1000, graficar = TRUE) ``` se llega con tasa media de 2, cada 5 min $$ \mu=2 $$ $$ P(X\ge 2) $$ $$ P(X> 2)=P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=n) $$ $$ P(X> 2)=1-P(X\le2) $$ $$ P(X> 2)=1-[P(X=0)+(X=1)+(X=2)] $$ \$\$ P(X\> 2)=1-\[\frac{2^0*e^{-2} }{0!}+\frac{2^1*e^{-2} }{1!}+\frac{2^2*e^{-2} }{2!}\] \$\$ $$ P(X> 2)=1-[e^{-2}+2*e^{-2}+2e^{-2}] $$ $$ P(X> 2)=1-5e^{-2}=0.35 $$ La probabilidad de que lleguen mas de dos clientes en 5 minutos es de 0.35. Ejemplo 2 cierta enfermedad tiene una probabilidad de $p=\frac{1}{100000}$ clacular la probabilidad de que en una ciudad con 500000 haya mas de 3 personas con dicha enfermedad, clacular el numero esperado de habitantes que la padecen 1- hallamos el valor esperado $$ \mu =p*n $$ $$ \mu =5$$ $$ \mu =\frac{1}{100000}*500000 $$ hallamos la probabilidad $$ P(X>3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)] $$ $$ P(X>3)=1-[\frac{5^0*e^{-5} }{0!}+\frac{5^1*e^{-5} }{1!}+\frac{5^2*e^{-5}+\frac{5^3*e^{-5} }{3!}] $$ ## Distribucion Normal ### Ejemplo 1 1. Una población normal tiene una media de $\mu =20$ y una desviación estándar de $\sigma=4$. a\. Calcule el valor de z asociado con 25.0. Rta: tenemos $$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $$ $$ Z=\frac{25-20}{4} $$ $$ Z=\frac{1}{8} $$ $$ Z=\frac{5}{4} $$ $$ Z_1=1.25 $$ b. ¿Qué proporción de la población se encuentra entre 20.0 y 25.0? Ya sabemos el Z para 25, entonces hallamos el Z para 20 $$ Z_0=\frac{20-20}{4}=0 $$ $$ P(20\le x \le25)=P(X\le 1.25)-P(X \le 0) $$ $$ P(20\le x \le25)=0.8944-0.5 $$ $$ P(20\le x \le25)=0.3944(39.44%) $$ c\. ¿Qué proporción de la población es menor que 18.0? $$Z=\frac{18-20}{4}=-0.5$$ $$P(x\le 18)=P(X\le-0.5)=0.3085=30.85%$$ ### Ejemplo 2 2. Una población normal tiene una media de 12.2 y una desviación estándar de 2.5. a\. Calcule el valor de z asociado con 14.3. $$ Z=\frac{14.3-12.2}{2.5} $$ $$ Z=0.84 $$ b\. ¿Qué proporción de la población se encuentra entre 12.2 y 14.3? $$ P(12.2 \le x \le 14.3)=P(X \le 0.84)-P(X \le 0) $$ $$ P(12.2 \le x \le 14.3)=0.7995-0.5=0.2995$$ c\. ¿Qué proporción de la población es menor que 10.0? \ 0.1894 ### Ejemplo 3 4. La distribución de ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio en California, Estados Unidos, tienen una distribución de probabilidad normal, con una media de \$1 000 dólares y una desviación estándar de \$100 dólares. a\. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana entre \$840 y \$1 200? b\. ¿ Qué porcentaje de trabajadores gana entre \$1 150 y \$1 250? c\. ¿Cuánto ganan los trabajadores que se encuentran sobre el 80% de la distribución? $$P(X\le Z)=0.8$ para la distribucion normal el Z que cumple es 0.85(fuente, tabla de la distribucion normla) $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$\ $$0.85=\frac{X-1000}{100}$$ $$85+1000=X$$ $$1085=X$$ Rta: los trabajadores que se encuentran sobre el 80% de la distribución ganan \$1085 ### Ejmeplo 4 5. La media de los pesos de cajas de galletas de cierta marca, es de 400 libras. La desviación estándar es de 10 libras. a\. ¿Cuál es el porcentaje de pesos entre 415 libras y la media de 400 libras? b\. ¿Cuál es el porcentaje de pesos entre la media y 395 libras? $$ P(395\le x \le 400)=P(X\le 0)-P( X \le -0.5)=0.5-0.3085=0.1915 $$ Rta: el porcentaje de pesos entre la media y 395 libras es del 19.15% c\. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras? $$ P(x<395)=P(X < -0.5)=0.3085 $$ Rta: la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras es 30.85% d\. ¿Cuál es el peso a para del cual se ubican el 40% de las mediciones? \ $$P(X\le Z)=0.4$$ para la distribucion normal el Z que cumple es -0.26(fuente, tabla de la distribucion normla) $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$\ $$-0.26=\frac{X-400}{10}$$ $$-2.6+400=X$$ $$397.4=X$$ Rta: el peso a para del cual se ubican el 40% de las mediciones es de 397.4 ### Ejemplo 5 6. Muchos supermercados ofrecen sus propias tarjetas de crédito. El tiempo que se requiere para la aprobación de la solicitud de tarjeta crédito sigue una distribución normal con una variación entre los tiempos de entre 4 y 10 horas. a\. ¿Cuál es el tiempo medio para el proceso de la solicitud? b\. ¿Cuál es la desviación estándar del 2empo de proceso? \ $$ 4=\mu-3*\sigma// 10=\mu+3*\sigma $$ Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que $\mu=7, \sigma=1$

Funciones

Representacion de funciones

Ejemplo 1: ¿La siguiente relacion es funcion?

Ejemplo 2: Para \(\phi(u)=\frac{u+u^2}{\sqrt{u}}\) encuentre cada valor.

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Tipos de datos

Factorial de un numero natural

Conteo

Funciones discretas de probabilidad

Ejemplo1

Ejemplo 2

Funcion de distribucion de probabilidad acumulada

Ejemplo 4

Valor esperado de una funcion de distribucion de probabilidad

Ejemplo 3

Desviacion estandar de la funcion de distribucion de probabilidad

Ejemplo

Ejercicio

Distribucion Binomial

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Distribucion Poisson

Distribucion Normal

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejmeplo 4

Ejemplo 5