library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.4     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.4     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

library(ggplot2)   
library(dplyr)

Βήμα 1: Κατανόηση Προβλήματος & Διερεύνηση Δεδομένων

Παρουσίαση του Dataset

Το dataset αφορά το κόστος ιατρικής ασφάλισης και περιλαμβάνει πληροφορίες για 1.338 άτομα στις Ηνωμένες Πολιτείες. Κάθε εγγραφή αντιστοιχεί σε ένα άτομο και περιλαμβάνει δημογραφικά και ιατρικά χαρακτηριστικά, καθώς και το ποσό που χρεώθηκε από την ασφαλιστική εταιρεία.

Μεταβλητές του Dataset

age: Ηλικία του ασφαλισμένου (σε έτη)
sex: Φύλο (male ή female)
bmi: Δείκτης Μάζας Σώματος (Body Mass Index)
children: Αριθμός παιδιών που καλύπτονται από το ασφαλιστικό πλάνο
smoker: Αν είναι καπνιστής (yes ή no)
region: Περιοχή κατοικίας (northeast, northwest, southeast, southwest)
charges: Ποσό σε δολάρια που χρεώθηκε (εξαρτημένη μεταβλητή)

Το dataset είναι ιδανικό για την εφαρμογή μοντέλων γραμμικής παλινδρόμησης, καθώς περιλαμβάνει τόσο αριθμητικές όσο και κατηγορικές μεταβλητές, χωρίς ελλιπή δεδομένα (NA).

# Εισαγωγή των δεδομένων
insurance <- read.csv("insurance.csv")

# Πρώτες γραμμές
head(insurance)

##   age    sex    bmi children smoker    region   charges
## 1  19 female 27.900        0    yes southwest 16884.924
## 2  18   male 33.770        1     no southeast  1725.552
## 3  28   male 33.000        3     no southeast  4449.462
## 4  33   male 22.705        0     no northwest 21984.471
## 5  32   male 28.880        0     no northwest  3866.855
## 6  31 female 25.740        0     no southeast  3756.622

# Δομή dataset
str(insurance)

## 'data.frame':    1338 obs. of  7 variables:
##  $ age     : int  19 18 28 33 32 31 46 37 37 60 ...
##  $ sex     : chr  "female" "male" "male" "male" ...
##  $ bmi     : num  27.9 33.8 33 22.7 28.9 ...
##  $ children: int  0 1 3 0 0 0 1 3 2 0 ...
##  $ smoker  : chr  "yes" "no" "no" "no" ...
##  $ region  : chr  "southwest" "southeast" "southeast" "northwest" ...
##  $ charges : num  16885 1726 4449 21984 3867 ...

# Ελέγχουμε για ελλιπείς τιμές
colSums(is.na(insurance))

##      age      sex      bmi children   smoker   region  charges 
##        0        0        0        0        0        0        0

Κατανομή Χρεώσεων Ασφάλισης (Histogram)

ggplot(insurance, aes(x = charges)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", color = "white", bins = 30) +
  labs(title = "Κατανομή Χρεώσεων Ασφάλισης", x = "Χρέωση ($)", y = "Αριθμός Παρατηρήσεων") +
  theme_minimal()

Η κατανομή των χρεώσεων ασφάλισης είναι ιδιαίτερα ασύμμετρη προς τα δεξιά (right-skewed). Η πλειοψηφία των παρατηρήσεων συγκεντρώνεται μεταξύ 2.000 και 15.000 δολαρίων, ενώ υπάρχουν λίγες εγγραφές με πολύ υψηλές τιμές, που λειτουργούν ως outliers. Αυτό υποδεικνύει ότι η μεταβλητή charges έχει μεγάλες διακυμάνσεις, πιθανώς λόγω διαφορών σε παράγοντες όπως καπνιστική συνήθεια, ηλικία ή BMI.

Χρεώσεις ανά Καπνιστική Συνήθεια (Boxplot)

ggplot(insurance, aes(x = smoker, y = charges, fill = smoker)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title = "Χρεώσεις ανά Καπνιστική Συνήθεια", x = "Καπνιστής", y = "Χρέωση ($)") +
  theme_minimal()

Το γράφημα αποκαλύπτει έντονη διαφορά στις χρεώσεις μεταξύ καπνιστών και μη καπνιστών. Οι καπνιστές (yes) έχουν σημαντικά υψηλότερες μέσες και μέγιστες χρεώσεις, με το διάμεσο να ξεπερνά τα $35.000. Αντίθετα, οι μη καπνιστές (no) έχουν σαφώς χαμηλότερες τιμές, με τη διάμεσο να βρίσκεται περίπου στα $7.000–$8.000.

BMI vs Χρέωση Ασφάλισης (Scatterplot)

ggplot(insurance, aes(x = bmi, y = charges)) +
  geom_point(alpha = 0.5, color = "darkgreen") +
  labs(title = "BMI vs Χρέωση Ασφάλισης", x = "BMI", y = "Χρέωση ($)") +
  theme_minimal()

Το γράφημα παρουσιάζει τη σχέση μεταξύ του δείκτη μάζας σώματος (BMI) και των χρεώσεων ασφάλισης. Παρατηρούμε ότι:

Για BMI έως περίπου 30, οι χρεώσεις παραμένουν σχετικά χαμηλές και συμπυκνωμένες.

Από BMI > 30, αρχίζουν να εμφανίζονται υψηλότερες χρεώσεις, με αυξημένη διασπορά.

Ορισμένες από τις πιο υψηλές χρεώσεις παρατηρούνται σε άτομα με υψηλό BMI, αλλά δεν υπάρχει σαφής γραμμική τάση για όλο το δείγμα.

Μέση Χρέωση ανά Περιοχή (Bar Chart)

ggplot(insurance, aes(x = region, y = charges, fill = region)) +
  stat_summary(fun = mean, geom = "bar") +
  labs(title = "Μέση Χρέωση ανά Περιοχή", x = "Περιοχή", y = "Μέση Χρέωση ($)") +
  theme_minimal()

Το γράφημα δείχνει τη μέση χρέωση ασφάλισης για κάθε περιοχή κατοικίας. Παρατηρούμε ότι:

Οι υψηλότερες μέσες χρεώσεις εμφανίζονται στην περιοχή southeast, ακολουθούμενη από την northeast. Οι περιοχές northwest και southwest έχουν τις χαμηλότερες μέσες τιμές. Οι διαφορές υπάρχουν, αλλά δεν είναι τόσο έντονες όσο σε άλλες μεταβλητές (π.χ. smoker).

Συμπέρασμα: Η μεταβλητή region ενδέχεται να έχει ήπια επίδραση στο κόστος.

Βήμα 2: Δημιουργία Γραμμικών Μοντέλων

2.1 Απλά Μοντέλα (Μονομεταβλητά)

Μοντέλο 1: `charges ~ age`

model_age <- lm(charges ~ age, data = insurance)
summary(model_age)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -8059  -6671  -5939   5440  47829 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   3165.9      937.1   3.378 0.000751 ***
## age            257.7       22.5  11.453  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11560 on 1336 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.08941,    Adjusted R-squared:  0.08872 
## F-statistic: 131.2 on 1 and 1336 DF,  p-value: < 2.2e-16

Η ηλικία παρουσιάζει θετική γραμμική συσχέτιση με τις χρεώσεις ασφάλισης. Το R² είναι σχετικά χαμηλό (~0.089), άρα δεν εξηγεί μεγάλο ποσοστό της μεταβλητότητας.

Μοντέλο 2: `charges ~ bmi`

model_bmi <- lm(charges ~ bmi, data = insurance)
summary(model_bmi)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ bmi, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -20956  -8118  -3757   4722  49442 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1192.94    1664.80   0.717    0.474    
## bmi           393.87      53.25   7.397 2.46e-13 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11870 on 1336 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.03934,    Adjusted R-squared:  0.03862 
## F-statistic: 54.71 on 1 and 1336 DF,  p-value: 2.459e-13

Ο BMI δείχνει μικρή γραμμική συσχέτιση με τις χρεώσεις. Το R² είναι χαμηλό (~0.039), άρα δεν είναι από μόνος του καλός προβλεπτικός δείκτης.

Μοντέλο 3: charges ~ smoker

model_smoker <- lm(charges ~ smoker, data = insurance)
summary(model_smoker)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ smoker, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -19221  -5042   -919   3705  31720 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   8434.3      229.0   36.83   <2e-16 ***
## smokeryes    23616.0      506.1   46.66   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7470 on 1336 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6198, Adjusted R-squared:  0.6195 
## F-statistic:  2178 on 1 and 1336 DF,  p-value: < 2.2e-16

Η μεταβλητή smoker εμφανίζει πολύ υψηλή συσχέτιση με τις χρεώσεις. Το R² φτάνει περίπου 0.62, γεγονός που δείχνει ότι είναι ο ισχυρότερος μεμονωμένος παράγοντας.

2.2 Προετοιμασία Κατηγορικών Μεταβλητών

insurance$sex <- as.factor(insurance$sex)
insurance$smoker <- as.factor(insurance$smoker)
insurance$region <- as.factor(insurance$region)

Οι μεταβλητές sex, smoker και region μετατρέπονται σε κατηγορικές (factor) ώστε να μπορούν να ενσωματωθούν σωστά στα μοντέλα.

2.3 Πολυμεταβλητά Μοντέλα

Πλήρες Μοντέλο με όλες τις μεταβλητές

model_multi <- lm(charges ~ age + bmi + smoker + sex + region, data = insurance)
summary(model_multi)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age + bmi + smoker + sex + region, data = insurance)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -11852.6  -3010.9   -987.8   1515.8  29467.1 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     -11556.96     985.63 -11.725   <2e-16 ***
## age                258.54      11.94  21.658   <2e-16 ***
## bmi                340.46      28.71  11.857   <2e-16 ***
## smokeryes        23862.91     414.82  57.526   <2e-16 ***
## sexmale           -111.57     334.26  -0.334   0.7386    
## regionnorthwest   -304.10     478.01  -0.636   0.5248    
## regionsoutheast  -1039.20     480.65  -2.162   0.0308 *  
## regionsouthwest   -916.44     479.72  -1.910   0.0563 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6087 on 1330 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7487, Adjusted R-squared:  0.7474 
## F-statistic:   566 on 7 and 1330 DF,  p-value: < 2.2e-16

Το πλήρες μοντέλο ενσωματώνει όλους τους διαθέσιμους παράγοντες. Το R² φτάνει το 0.748, δείχνοντας ότι εξηγεί σχεδόν το 75% της διακύμανσης στις χρεώσεις.

Διμεταβλητά και Τριμεταβλητά Μοντέλα

model_age_smoker <- lm(charges ~ age + smoker, data = insurance)
summary(model_age_smoker)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age + smoker, data = insurance)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -16088.1  -2046.8  -1336.4   -212.7  28760.0 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2391.63     528.30  -4.527 6.52e-06 ***
## age           274.87      12.46  22.069  < 2e-16 ***
## smokeryes   23855.30     433.49  55.031  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6397 on 1335 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7214, Adjusted R-squared:  0.721 
## F-statistic:  1728 on 2 and 1335 DF,  p-value: < 2.2e-16

Ο συνδυασμός age και smoker αυξάνει το R² στο 0.721.

# Μοντέλο με BMI + Smoker
model_bmi_smoker <- lm(charges ~ bmi + smoker, data = insurance)
summary(model_bmi_smoker)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ bmi + smoker, data = insurance)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -15992.7  -4600.2   -802.4   3636.2  30677.8 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -3459.10     998.28  -3.465 0.000547 ***
## bmi           388.02      31.79  12.207  < 2e-16 ***
## smokeryes   23593.98     480.18  49.136  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7088 on 1335 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6579, Adjusted R-squared:  0.6574 
## F-statistic:  1284 on 2 and 1335 DF,  p-value: < 2.2e-16

Ο συνδυασμός bmi και smoker έχει R² ≈ 0.657, δείχνοντας βελτίωση έναντι του μονομεταβλητού μοντέλου bmi.

model_sex <- lm(charges ~ sex, data = insurance)
summary(model_sex)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ sex, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -12835  -8435  -3980   3476  51201 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  12569.6      470.1  26.740   <2e-16 ***
## sexmale       1387.2      661.3   2.098   0.0361 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 12090 on 1336 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.003282,   Adjusted R-squared:  0.002536 
## F-statistic:   4.4 on 1 and 1336 DF,  p-value: 0.03613

model_smoker_sex <- lm(charges ~ smoker + sex, data = insurance)
summary(model_smoker_sex)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ smoker + sex, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -19193  -5074   -909   3739  31682 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  8466.04     303.54   27.89   <2e-16 ***
## smokeryes   23622.13     507.74   46.52   <2e-16 ***
## sexmale       -65.38     409.81   -0.16    0.873    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7473 on 1335 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6198, Adjusted R-squared:  0.6192 
## F-statistic:  1088 on 2 and 1335 DF,  p-value: < 2.2e-16

model_age_sex <- lm(charges ~ age + sex, data = insurance)
summary(model_age_sex)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age + sex, data = insurance)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -8821  -6947  -5511   5443  48203 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  2343.62     994.35   2.357   0.0186 *  
## age           258.87      22.47  11.523   <2e-16 ***
## sexmale      1538.83     631.08   2.438   0.0149 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11540 on 1335 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.09344,    Adjusted R-squared:  0.09209 
## F-statistic:  68.8 on 2 and 1335 DF,  p-value: < 2.2e-16

model_age_bmi_smoker_sex <- lm(charges ~ age + bmi + smoker + sex, data = insurance)
summary(model_age_bmi_smoker_sex)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age + bmi + smoker + sex, data = insurance)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12364.7  -2972.2   -983.2   1475.8  29018.3 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -11633.49     947.27 -12.281   <2e-16 ***
## age            259.45      11.94  21.727   <2e-16 ***
## bmi            323.05      27.53  11.735   <2e-16 ***
## smokeryes    23833.87     414.19  57.544   <2e-16 ***
## sexmale       -109.04     334.66  -0.326    0.745    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6094 on 1333 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7475, Adjusted R-squared:  0.7467 
## F-statistic: 986.5 on 4 and 1333 DF,  p-value: < 2.2e-16

Τα μοντέλα με τη μεταβλητή sex δεν βελτιώνουν ιδιαίτερα την ερμηνευτική ισχύ. Φαίνεται να έχει μικρή επίδραση στη μεταβλητότητα των χρεώσεων

model_age_bmi_smoker <- lm(charges ~ age + bmi + smoker, data = insurance)
summary(model_age_bmi_smoker)

## 
## Call:
## lm(formula = charges ~ age + bmi + smoker, data = insurance)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12415.4  -2970.9   -980.5   1480.0  28971.8 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -11676.83     937.57  -12.45   <2e-16 ***
## age            259.55      11.93   21.75   <2e-16 ***
## bmi            322.62      27.49   11.74   <2e-16 ***
## smokeryes    23823.68     412.87   57.70   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6092 on 1334 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7475, Adjusted R-squared:  0.7469 
## F-statistic:  1316 on 3 and 1334 DF,  p-value: < 2.2e-16

Το μοντέλο με age, bmi και smoker επιτυγχάνει R² ≈ 0.7475, σχεδόν όσο και το πλήρες μοντέλο. Αυτό υποδηλώνει ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές προσθέτουν μικρή επιπλέον πληροφορία.

Βήμα 3: Σύγκριση Μοντέλων

Σε αυτό το βήμα συγκρίνουμε την απόδοση των διαφόρων γραμμικών μοντέλων μέσω δύο βασικών μετρικών:
- R-squared (R²): δείχνει το ποσοστό της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής που εξηγείται από το μοντέλο. - Residual Standard Error (RSE): μετρά το μέσο σφάλμα πρόβλεψης. Όσο μικρότερη τιμή, τόσο πιο ακριβές το μοντέλο.

3.1 Πίνακας Σύγκρισης R² και RSE

model_stats <- tibble(
  Model = c("Age + Smoker", "BMI + Smoker", "Age + BMI + Smoker", "Full Model"),
  R2 = c(0.721, 0.6574, 0.7475, 0.7487),
  RSE = c(6397, 7088, 6092, 6087)
)

model_stats

## # A tibble: 4 × 3
##   Model                 R2   RSE
##   <chr>              <dbl> <dbl>
## 1 Age + Smoker       0.721  6397
## 2 BMI + Smoker       0.657  7088
## 3 Age + BMI + Smoker 0.748  6092
## 4 Full Model         0.749  6087

Όσο προστίθενται περισσότερες μεταβλητές στο μοντέλο, το R² αυξάνεται και το RSE μειώνεται. Το μοντέλο με Age + BMI + Smoker έχει σχεδόν ίδια απόδοση με το πλήρες μοντέλο, δείχνοντας ότι οι επιπλέον μεταβλητές (sex, region) δεν προσθέτουν σημαντική ερμηνευτική ισχύ.

3.2 Σύγκριση R-squared μεταξύ Μοντέλων (Γράφημα)

library(tibble)
library(ggplot2)

# Δημιουργία πίνακα με τα R-squared για όλα τα μοντέλα
data_r2_updated <- tibble(
  Model = c(
    "BMI", "Age", "Smoker",
    "BMI + Smoker", "Age + Smoker",
    "Smoker + Sex", "Age + Sex",
    "Age + BMI + Smoker",
    "Age + BMI + Smoker + Sex",
    "Full Model"
  ),
  R2 = c(
    0.039, 0.089, 0.620,
    0.657, 0.721,
    0.6198, 0.09344,
    0.748, 0.749, 0.749
  )
)

# Δημιουργία γραφήματος
ggplot(data_r2_updated, aes(x = reorder(Model, R2), y = R2, fill = Model)) +
  geom_col(width = 0.6, show.legend = FALSE) +
  geom_text(aes(label = round(R2, 3)), vjust = -0.5, size = 3.5) +
  labs(
    title = "Σύγκριση R-squared μεταξύ Γραμμικών Μοντέλων",
    x = "Μοντέλο Παλινδρόμησης",
    y = "R-squared"
  ) +
  ylim(0, 1) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1))

Σχολιασμός: Σύγκριση R-squared μεταξύ Μοντέλων

Το γράφημα απεικονίζει την ερμηνευτική ικανότητα διαφόρων γραμμικών μοντέλων ως προς το ποσοστό διακύμανσης στο κόστος ασφάλισης (charges) που εξηγείται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές:

 Τα μοντέλα με μόνο μία μεταβλητή (BMI, Age, Sex) έχουν πολύ χαμηλά R² (< 0.1), με την sex να έχει το χαμηλότερο (0.003!).

 Το μοντέλο Smoker ξεχωρίζει με R² = 0.62, δείχνοντας ότι ο καπνιστής είναι ο πιο ισχυρός ατομικός παράγοντας.

Ο συνδυασμός Age + Smoker και BMI + Smoker αυξάνει σημαντικά την ερμηνευτική δύναμη του μοντέλου (R² = 0.721 και 0.657 αντίστοιχα).

Η προσθήκη περισσότερων μεταβλητών οδηγεί σε οριακή βελτίωση του R²: από 0.748 (3 μεταβλητές) σε 0.749 (Full Model).

 Συμπέρασμα: Μετά τις 3 κύριες μεταβλητές (Age, BMI, Smoker), η βελτίωση είναι αμελητέα

3.3 Σύγκριση RSE (Residual Standard Error) μεταξύ Μοντέλων

# Βάζουμε τα Residual Standard Errors για όλα τα μοντέλα
sse_df_updated <- tibble(
  Model = c(
    "BMI", "Age", "Sex",
    "Smoker", "Smoker + Sex", "Age + Sex",
    "BMI + Smoker", "Age + Smoker",
    "Age + BMI + Smoker", "Age + BMI + Smoker + Sex", "Full Model"
  ),
  RSE = c(
    summary(model_bmi)$sigma,
    summary(model_age)$sigma,
    summary(model_sex)$sigma,
    summary(model_smoker)$sigma,
    summary(model_smoker_sex)$sigma,
    summary(model_age_sex)$sigma,
    summary(model_bmi_smoker)$sigma,
    summary(model_age_smoker)$sigma,
    summary(model_age_bmi_smoker)$sigma,
    summary(lm(charges ~ age + bmi + smoker + sex, data = insurance))$sigma,
    summary(model_multi)$sigma
  )
)

# Γράφημα
ggplot(sse_df_updated, aes(x = reorder(Model, RSE), y = RSE)) +
  geom_col(fill = "steelblue") +
  geom_text(aes(label = round(RSE, 1)), vjust = -0.5, size = 3.5) +
  labs(
    title = "Σύγκριση Residual Standard Error (SSE) ανά Μοντέλο",
    x = "Μοντέλο Παλινδρόμησης",
    y = "Residual Standard Error"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1))

Σχολιασμός: Σύγκριση Residual Standard Error (SSE) μεταξύ Μοντέλων

Το Residual Standard Error (RSE) εκφράζει το μέσο μέγεθος του σφάλματος πρόβλεψης – όσο μικρότερη η τιμή, τόσο πιο ακριβές θεωρείται το μοντέλο.

🔹 Παρατηρήσεις από το γράφημα:

Το "Full Model" (που περιλαμβάνει όλες τις μεταβλητές) έχει τη μικρότερη τιμή RSE (~6086), υποδεικνύοντας την καλύτερη ακρίβεια πρόβλεψης.

 Τα μοντέλα "Age + BMI + Smoker" και "Age + BMI + Smoker + Sex" έχουν σχεδόν ίδια απόδοση με το πλήρες μοντέλο, αποδεικνύοντας ότι η μεταβλητή sex προσφέρει ελάχιστη επιπλέον βελτίωση.

 Το μοντέλο "Smoker" από μόνο του έχει σημαντικά χαμηλότερο RSE (~7470) σε σχέση με Age, BMI και Sex, επιβεβαιώνοντας ότι είναι η πιο προβλεπτική μεταβλητή.

Τα μοντέλα με μόνο μία μεταβλητή (Age, BMI, Sex) έχουν τις χειρότερες επιδόσεις, με RSE > 11.500.

 Το μοντέλο "Age + Smoker" (RSE ~6397) υπερέχει ξεκάθαρα έναντι απλούστερων διμεταβλητών μοντέλων, αποδεικνύοντας ότι ο συνδυασμός ισχυρής + μέτριας μεταβλητής προσφέρει καλύτερη πρόβλεψη.

Βήμα 4: Συμπεράσματα και Επιλογή Βέλτιστου Μοντέλου

Αφού συγκρίναμε διάφορα γραμμικά μοντέλα με διαφορετικούς συνδυασμούς μεταβλητών, μπορούμε πλέον να εξάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα και να καταλήξουμε στο πιο αποδοτικό μοντέλο πρόβλεψης.

4.1 Συνοπτικά Ευρήματα

Η μεταβλητή smoker αποδείχθηκε η ισχυρότερη ανεξάρτητη μεταβλητή, εξηγώντας μόνη της πάνω από το 60% της διακύμανσης στις ιατρικές δαπάνες.
Ο συνδυασμός age + smoker ή bmi + smoker βελτιώνει σημαντικά την προβλεπτική ισχύ του μοντέλου.
Το πλήρες μοντέλο (age + bmi + smoker + sex + region) παρουσιάζει οριακή μόνο βελτίωση σε σχέση με το μοντέλο age + bmi + smoker, με R² ~0.749 και πολύ παρόμοιο RSE.

4.2 Επιλογή Τελικού Μοντέλου

Προτεινόμενο μοντέλο:
Το μοντέλο με τις μεταβλητές age + bmi + smoker προσφέρει:

Υψηλό R² (0.7475), δηλαδή εξηγεί ~75% της διακύμανσης στις χρεώσεις.
Χαμηλό RSE (~6092), δηλαδή υψηλή ακρίβεια πρόβλεψης.
Ισορροπία μεταξύ απλότητας και ερμηνευτικής ισχύος.

Το full model έχει ελάχιστα καλύτερη απόδοση αλλά με περισσότερες μεταβλητές που δεν προσθέτουν ουσιαστική πληροφορία (π.χ. sex, region). Άρα, για σκοπούς μοντελοποίησης και ερμηνείας, προτιμάται το μοντέλο age + bmi + smoker.

Συμπεράσματα

Η ανάλυση απέδειξε ότι οι σημαντικότεροι παράγοντες που επηρεάζουν τις ιατρικές χρεώσεις είναι η ηλικία, το κάπνισμα και ο Δείκτης Μάζας Σώματος. Τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά είτε δεν είναι στατιστικά σημαντικά είτε δεν προσφέρουν σημαντική προστιθέμενη αξία στο τελικό μοντέλο.

Η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση αποτελεί ένα αποτελεσματικό εργαλείο για την κατανόηση και πρόβλεψη του κόστους ασφάλισης με βάση προσωπικά και ιατρικά δεδομένα.

Insurance_erg07

Anastasios Politis

14/05/2025

Βήμα 1: Κατανόηση Προβλήματος & Διερεύνηση Δεδομένων

Παρουσίαση του Dataset

Μεταβλητές του Dataset

Κατανομή Χρεώσεων Ασφάλισης (Histogram)

Χρεώσεις ανά Καπνιστική Συνήθεια (Boxplot)

BMI vs Χρέωση Ασφάλισης (Scatterplot)

Μέση Χρέωση ανά Περιοχή (Bar Chart)

Βήμα 2: Δημιουργία Γραμμικών Μοντέλων

2.1 Απλά Μοντέλα (Μονομεταβλητά)

Μοντέλο 1: `charges ~ age`

Μοντέλο 2: `charges ~ bmi`

Μοντέλο 3: charges ~ smoker

2.2 Προετοιμασία Κατηγορικών Μεταβλητών

2.3 Πολυμεταβλητά Μοντέλα

Πλήρες Μοντέλο με όλες τις μεταβλητές

Διμεταβλητά και Τριμεταβλητά Μοντέλα

Βήμα 3: Σύγκριση Μοντέλων

3.1 Πίνακας Σύγκρισης R² και RSE

3.2 Σύγκριση R-squared μεταξύ Μοντέλων (Γράφημα)

3.3 Σύγκριση RSE (Residual Standard Error) μεταξύ Μοντέλων

Βήμα 4: Συμπεράσματα και Επιλογή Βέλτιστου Μοντέλου

4.1 Συνοπτικά Ευρήματα

4.2 Επιλογή Τελικού Μοντέλου

Συμπεράσματα

Insurance_erg07

Anastasios Politis

14/05/2025

Βήμα 1: Κατανόηση Προβλήματος & Διερεύνηση Δεδομένων

Παρουσίαση του Dataset

Μεταβλητές του Dataset

Κατανομή Χρεώσεων Ασφάλισης (Histogram)

Χρεώσεις ανά Καπνιστική Συνήθεια (Boxplot)

BMI vs Χρέωση Ασφάλισης (Scatterplot)

Μέση Χρέωση ανά Περιοχή (Bar Chart)

Βήμα 2: Δημιουργία Γραμμικών Μοντέλων

2.1 Απλά Μοντέλα (Μονομεταβλητά)

Μοντέλο 1: charges ~ age

Μοντέλο 2: charges ~ bmi

Μοντέλο 3: charges ~ smoker

2.2 Προετοιμασία Κατηγορικών Μεταβλητών

2.3 Πολυμεταβλητά Μοντέλα

Πλήρες Μοντέλο με όλες τις μεταβλητές

Διμεταβλητά και Τριμεταβλητά Μοντέλα

Βήμα 3: Σύγκριση Μοντέλων

3.1 Πίνακας Σύγκρισης R² και RSE

3.2 Σύγκριση R-squared μεταξύ Μοντέλων (Γράφημα)

3.3 Σύγκριση RSE (Residual Standard Error) μεταξύ Μοντέλων

Βήμα 4: Συμπεράσματα και Επιλογή Βέλτιστου Μοντέλου

4.1 Συνοπτικά Ευρήματα

4.2 Επιλογή Τελικού Μοντέλου

Συμπεράσματα

Μοντέλο 1: `charges ~ age`

Μοντέλο 2: `charges ~ bmi`