Introducción

La distribución Erlang es una distribución continua de probabilidad, que modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson cuando el número de eventos es un entero positivo. Es un caso especial de la distribución gamma.

Origen de la Distribución Erlang

Fue desarrollada por el ingeniero danés Agner Krarup Erlang al estudiar tiempos de espera en redes telefónicas. Es útil para modelar procesos que requieren múltiples etapas exponenciales independientes.

Características Principales

Función de Densidad: \[ f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!}, \quad x \ge 0 \]

Esperanza y Varianza: \[ E[X] = \frac{k}{\lambda}, \quad V[X] = \frac{k}{\lambda^2} \]

Gráfica de la Distribución Erlang en R:

x <- seq(0, 10, length=100)
k <- 3
lambda <- 1
y <- dgamma(x, shape=k, rate=lambda)
plot(x, y, type="l", col="darkgreen", lwd=2, main="Distribución Erlang (k=3, λ=1)")

Ejemplo en R

Enunciado: Supongamos que el tiempo hasta que ocurran 3 eventos en un sistema sigue una distribución Erlang con tasa λ = 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que esos eventos ocurran en menos de 8 unidades de tiempo?

Solución en R:

pgamma(8, shape=3, rate=0.5)

## [1] 0.7618967

Aplicaciones

• Ingeniería: Modelado de tiempos de espera en redes y sistemas.
• Ciencias: Análisis de procesos estocásticos.
• Economía: Modelado de duración de contratos o servicios.
• Salud: Tiempo entre eventos como recaídas o contagios.

Relaciones con otras distribuciones

• Es un caso especial de la distribución gamma donde el parámetro de forma \(k\) es entero.
• Relacionada con la distribución exponencial, que es un caso Erlang con \(k = 1\).
• Se aplica en modelos de colas y procesos de Poisson.

Referencias

• Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables and Stochastic Processes.
• Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models.