Ejemplo 6.10 - Ecuación de Bernoulli

6.3.5 Tuberías y tubos de plástico

Las tuberías plásticas se utilizan por:

• Peso ligero
  
• Fácil instalación
  
• Alta resistencia química y a la corrosión

Aplicaciones:

• Agua y gas
  
• Alcantarillado
  
• Riego agrícola
  
• Industria minera y de petróleo

Materiales comunes:

• Polietileno (PE)
  
• Polietileno reticulado (PEX)
  
• Polipropileno (PP)
  
• Policloruro de vinilo (PVC)
  
• CPVC, PVDF

Normas y designaciones en tuberías plásticas

• Normas similares a metales (NPS, CTS, ID)
• Clasificaciones por:
  • Diámetro exterior (OD)
  • Diámetro interior (ID)
  • Espesor de pared
    
  • Área de flujo

En el apéndice G.3 se listan diámetros equivalentes y clasificaciones por presión.

Ejemplo: tubos PVC pueden fabricarse según OD o ID dependiendo del estándar.

Sistemas SDR (Standard Dimension Ratio)

El sistema SDR relaciona:

• Diámetro exterior nominal \(D_o\)
  
• Espesor de pared \(e\)

\[ SDR = \frac{D_o}{e} \]

A mayor SDR, menor presión nominal.
Los SDR típicos y sus presiones nominales son:

Valores válidos para agua a 73°F (23 °C)

Objetivos del Capítulo (1 de 2)

• Definir la rapidez del flujo de volumen, de peso y de masa, con sus unidades.
  
• Comprender los conceptos de flujo estable y principio de continuidad.
  
• Aplicar la ecuación de continuidad para relacionar rapidez, área y velocidad del flujo.
  
• Identificar y describir distintos tipos de tuberías: acero, hierro dúctil, cobre, plástico, entre otros.
  
• Determinar el tamaño adecuado de tuberías para transportar un caudal específico.

Objetivos del Capítulo (2 de 2)

• Establecer velocidades de flujo y rapidez típica en diversos sistemas.
  
• Comprender energía potencial, cinética y de flujo, y su relación con sistemas hidráulicos.
  
• Aplicar el principio de conservación de la energía y desarrollar la ecuación de Bernoulli.
  
• Definir carga de presión, elevación, velocidad y total.
  
• Usar la ecuación de Bernoulli en sistemas reales.
  
• Aplicar el teorema de Torricelli para estimar caudales y tiempos de vaciado de tanques.

6.2 Rapidez del Flujo de Fluido y la Ecuación de Continuidad

• La cantidad de fluido que fluye por unidad de tiempo puede expresarse en tres formas:
  • Rapidez del flujo de volumen \(Q\)
    
  • Rapidez del flujo de peso \(W\)
    
  • Rapidez del flujo de masa \(M\)
    
• La más fundamental es la rapidez del flujo de volumen:
  \[ Q = A \cdot v \]
  donde \(A\) es el área de la sección transversal y \(v\) es la velocidad del fluido.

Rapidez del flujo de peso

• Rapidez del flujo de peso:
  \[ W = \gamma \cdot Q \]
  donde \(\gamma\) es el peso específico.

Rapidez del flujo de masa

• Rapidez del flujo de masa:
  \[ M = \rho \cdot Q \]
  donde \(\rho\) es la densidad del fluido.

Factores de conversión típicos

Tabla 6.1 – Definiciones y Unidades

Tabla 6.2 – Valores típicos por tipo de sistema

Problema de Ejemplo 6.1

Enunciado:
Convierte una rapidez del flujo de 30 gal/min a ft³/s.

Solución:
La rapidez del flujo se convierte usando el factor:

\[ Q = 30~\text{gal/min} \times \left( \frac{1.0~\text{ft}^3/\text{s}}{449~\text{gal/min}} \right) = 6.68 \times 10^{-2}~\text{ft}^3/\text{s} = 0.0668~\text{ft}^3/\text{s} \]

Problema de Ejemplo 6.2

Enunciado:
Convierte una rapidez del flujo de 600 L/min a m³/s.

Solución:
Usamos el factor de conversión:

\[ Q = 600~\text{L/min} \times \left( \frac{1.0~\text{m}^3/\text{s}}{60\,000~\text{L/min}} \right) = 0.010~\text{m}^3/\text{s} \]

Problema de Ejemplo 6.3

Enunciado:
Convierte una rapidez del flujo de 30 gal/min a L/min.

Solución:
Se utiliza el factor de conversión:

\[ Q = 30~\text{gal/min} \times \left( \frac{3.785~\text{L/min}}{1.0~\text{gal/min}} \right) = 113.6~\text{L/min} \]

6.2.2 La ecuación de continuidad

Ecuación de continuidad para cualquier fluido

La ecuación:

\[ \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 \tag{6-4} \]

Es una forma general de la ecuación de continuidad, válida para líquidos y gases.

• Relaciona la densidad del fluido, el área de flujo y la velocidad en dos secciones del sistema.
• Si el fluido puede considerarse incompresible, la ecuación se simplifica.

Ecuación de continuidad para líquidos

Para líquidos incompresibles, la ecuación se simplifica a:

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \tag{6-5} \]

O, usando caudal volumétrico \(Q = A v\):

\[ Q_1 = Q_2 \]

Esta forma es válida para:

• Líquidos incompresibles.
• Gases que fluyen a baja velocidad (menor a 100 m/s), con pequeño error.

Problema de Ejemplo 6.4 – Enunciado

En la figura, los diámetros interiores de la tubería en las secciones 1 y 2 son de 50 mm y 100 mm respectivamente.
El agua a 70 °C fluye con una velocidad promedio de 8.0 m/s en la sección 1. Calcule:

1. Velocidad en la sección 2
   
2. Rapidez del flujo de volumen
   
3. Rapidez del flujo de peso
   
4. Rapidez del flujo de masa

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte a

a. Velocidad en la sección 2

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte a

a. Velocidad en la sección 2

Aplicando la ecuación de continuidad:

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte a

a. Velocidad en la sección 2

Aplicando la ecuación de continuidad:

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte a

a. Velocidad en la sección 2

Aplicando la ecuación de continuidad:

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 \]

Cálculo de áreas:

\[ A_1 = \frac{\pi}{4}(0.050~\text{m})^2 = 1963~\text{mm}^2 \\ A_2 = \frac{\pi}{4}(0.100~\text{m})^2 = 7854~\text{mm}^2 \]

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte a

a. Velocidad en la sección 2

Aplicando la ecuación de continuidad:

\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 \]

Cálculo de áreas:

\[ A_1 = \frac{\pi}{4}(0.050~\text{m})^2 = 1963~\text{mm}^2 \\ A_2 = \frac{\pi}{4}(0.100~\text{m})^2 = 7854~\text{mm}^2 \]

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte b

b. Rapidez del flujo de volumen

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte c

c. Rapidez del flujo de peso

Problema de Ejemplo 6.4 – Parte d

d. Rapidez del flujo de masa

Problema de Ejemplo 6.5 – Enunciado

En un sistema de distribución de aire:

• El aire a 14.7 psia y 100 °F tiene una velocidad de 1200 ft/min en una tubería cuadrada de 12 in por lado.
• En una segunda sección, la tubería es circular de 18 in de diámetro, y la velocidad medida es de 900 ft/min.

Se pide calcular:

1. La densidad del aire en la sección redonda
   
2. La rapidez del flujo de peso

Datos:

• \(\rho_1 = 2.20 \times 10^{-3}~\text{slugs/ft}^3\)
  
• \(\gamma_1 = 7.09 \times 10^2~\text{lb/ft}^3\)

Problema de Ejemplo 6.5 – Parte b

b. Rapidez del flujo de peso en la sección 1

Usamos:

\[ W = \gamma_1 A_1 v_1 \]

6.3 Tubos y Tuberías Disponibles en el Mercado

En esta sección se describen varios tipos de tubos y tuberías estándar utilizados en forma amplia.

Se incluyen:

• Tipos de materiales
• Dimensiones (en pulgadas y milímetros)
• Espesor de pared
• Área de flujo para diferentes tamaños

Los datos suelen estar en:

• Pulgadas cuadradas (\(\text{in}^2\)) y pies cúbicos (\(\text{ft}^3\)) en el sistema inglés
• Milímetros y metros cuadrados (\(\text{m}^2\)) en el sistema internacional

Para diseño, deben consultarse normas técnicas de referencia según el país o región.

Normas y Organizaciones Relevantes

Organizaciones que definen estándares en EE. UU.:

• American Water Works Association (AWWA)
  
• American Fire Sprinkler Association (AFSA)
  
• National Fire Protection Association (NFPA)
  
• ASTM International
  
• NSF International (National Sanitation Foundation)
  
• IAPMO (International Association of Plumbing and Mechanical Officials)

Espacios internacionales:

• ISO (International Organization for Standardization)
  
• BS (Normas británicas)
  
• EN (Normas europeas)
  
• DIN (Normas alemanas)
  
• JIS (Normas japonesas)

6.3.1 Tubería de acero

Con frecuencia, las tuberías de propósito general se construyen con tubería de acero.

• Los tamaños estándar se designan por NPS (Nominal Pipe Size) y número de cédula.
• La cédula se relaciona con el espesor de pared y, por tanto, con la presión permisible de operación.
• Las cédulas más comunes son de 10 a 160; cuanto mayor el número, mayor el espesor de la pared.

Para cálculos se utilizan:

• ANSI/ASME Standard B31.1
  
• Tablas de apéndice F con dimensiones y valores mínimos admisibles de espesor según la presión.

Equivalencia métrica – Tubería de acero

En el sistema métrico se usa el DN (diámetro nominal) en milímetros:

• La ISO ha establecido tablas de equivalencia entre DN y NPS.
• Por ejemplo:

Una tubería de acero DN 50 mm cédula 40 tiene las mismas dimensiones que una tubería de 2 pulgadas NPS, cédula 40.

Esta equivalencia facilita el uso internacional de estándares de tubería.

6.3.2 Tubos de acero

Los tubos de acero se utilizan en:

• Sistemas de fluidos
• Condensadores e intercambiadores de calor
• Combustibles para motores
• Procesamiento de fluidos industriales

Los tamaños se especifican en pulgadas usando:

• Diámetro exterior
• Espesor de pared

Los datos se tabulan desde 1/8 in hasta 2 in, con múltiples combinaciones disponibles.

En sistemas métricos, es común expresar el tubo con dimensiones internas o externas, según el estándar.

Consulta el apéndice G para equivalencias y tablas de espesores y diámetros exteriores.

6.3.3 Tubos de cobre

La Copper Development Association (CDA) define los tamaños y tipos de tubos de cobre.

Los tubos se seleccionan según la aplicación, considerando:

• Medio ambiente
• Presión
• Normas locales

Tipos comunes de tubos de cobre:

• Tipo K: Agua, aceite de motor, gas natural y aire comprimido.
  
• Tipo L: Igual al tipo K, pero con menor espesor.
  
• Tipo M: Similar al L, pero para presión moderada.
  
• Tipo DWV: Drenaje, residuos y ventilación.
  
• Tipo ACR: Refrigeración, gas natural, aire comprimido.
  
• Tipo OXY/MED: Gases médicos y oxígeno.

Tubos de cobre – Normas y equivalencias

Los tubos de cobre pueden venir en condición suave (flexibles) o dura (rígidos).

• El sistema CTS usa el diámetro exterior como tamaño nominal (como el tipo ACR).
• Las normas del apéndice H incluyen medidas en unidades US y SI.

También existen versiones métricas (ISO).

Una tubería DN 50 mm tipo K es equivalente a 2 pulgadas tipo K.

6.3.4 Tubería de hierro dúctil

Utilizadas en sistemas de:

• Agua potable
  
• Alcantarillado
  
• Gas

Características:

• Alta resistencia y ductilidad
  
• Sustituyen al hierro fundido

Diámetros:

• Nominales de 4 a 48 pulgadas
• Rangos de presión: hasta 150 psi (1.03 MPa)

Consulta:

• Apéndice I: Dimensiones
• Apéndice T: Revestimientos, uniones y accesorios
• Datos se expresan en pulgadas pero también hay equivalentes en mm

6.3.6 Mangueras hidráulicas

Las mangueras flexibles se usan cuando las líneas de fluido deben flexionarse durante el servicio.

Materiales comunes:

• Caucho de butilo
• Caucho sintético
• Caucho de silicona
• Elastómeros termoplásticos
• Nylon reforzado con alambre de acero

Aplicaciones industriales:

• Transporte de aceite, vapor, aire comprimido
• Transferencia de combustibles y lubricantes
• Prensas, grúas, ascensores hidráulicos
• Equipos hidráulicos móviles

Estándares y características

Norma internacional: SAE J517

• Define tipos, tamaños y rangos de presión.
  
• Diámetros interiores:
  • 3/16, 1/4, 5/16, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 3, 4 in

Presiones de trabajo:

• Hasta 10,000 psi (69 MPa)

Aplicaciones de alta presión en áreas con espacio limitado
Baja presión en sistemas de transferencia de fluido

Tipos de Tuberías y Mangueras

Las presiones son valores típicos y pueden variar según norma y aplicación.

6.4 Velocidad de flujo recomendada en tuberías y tubos

• Muchos factores afectan la selección de la velocidad de flujo: tipo de fluido, longitud, presión, temperatura.
  
• Velocidades altas: reducen diámetro pero aumentan pérdidas y ruido.
  
• Velocidades bajas: reducen pérdidas pero requieren tuberías grandes y costosas.

Recomendaciones generales:

Selección del tamaño de tubería

Utiliza el gráfico para:

• Relacionar el caudal con el diámetro adecuado de tubería.
  
• Diferenciar entre líneas de succión y líneas de descarga según la zona del gráfico.

Velocidades recomendadas para sistemas especializados

Se recomienda ajustar la velocidad de flujo según la aplicación específica del sistema de tuberías.

Rangos generales para sistemas hidráulicos:

Para líquidos normales, el rango recomendado es de 3–9.8 ft/s (0.9–3.0 m/s).
Aplicaciones especiales pueden permitir velocidades mayores.

Problema de Ejemplo 6.6

Enunciado:
Determinar la rapidez del flujo de volumen máxima permisible en L/min
para un tubo de acero estándar de:

• Diámetro exterior: 32 mm
  
• Espesor de pared: 1.5 mm
  
• Velocidad máxima: 3.0 m/s

Solución:

Área transversal del flujo:
\[ A = 6.605 \times 10^{-4}~\text{m}^2 \]

Rapidez del flujo volumétrico:
\[ Q = A \cdot v = (6.605 \times 10^{-4})(3.0) = 1.982 \times 10^{-3}~\text{m}^3/\text{s} \]

Conversión a L/min:
\[ Q = 1.982 \times 10^{-3} \cdot \left( \frac{60\,000~\text{L/min}}{1.0~\text{m}^3/\text{s}} \right) = \boxed{119~\text{L/min}} \]

Problema de Ejemplo 6.7

Enunciado:
Determina el diámetro requerido de tubería de acero cédula 40 para conducir 192 m³/h de agua
con una velocidad máxima de 6.0 m/s.

Solución:

Conversión de caudal:
\[ Q = 192~\text{m}^3/\text{h} = \frac{192}{3600} = 0.0533~\text{m}^3/\text{s} \]

Área requerida:
\[ A = \frac{Q}{v} = \frac{0.0533}{6.0} = 8.88 \times 10^{-3}~\text{m}^2 \]

Se busca un DN cuya área sea mayor o igual a \(8.88 \times 10^{-3}\) m²

• DN 125 (cédula 40): \(A = 1.291 \times 10^{-2}~\text{m}^2\)
  

• Velocidad con DN 125:
  \[ v = \frac{Q}{A} = \frac{0.0533}{1.291 \times 10^{-2}} = 4.13~\text{m/s} \]

• DN 100: \(A = 8.213 \times 10^{-3}~\text{m}^2\)
  

• Velocidad con DN 100:
  \[ v = \frac{0.0533}{8.213 \times 10^{-3}} = 6.49~\text{m/s} \quad \text{(demasiado alta)} \]

Problema de Ejemplo 6.8

Enunciado:
Se diseña un sistema para bombear 400 gal/min de agua.
Se requiere determinar la velocidad del flujo media en:

• Tubería de succión, cédula 40, área \(A_s = 0.08840~\text{ft}^2\)
• Tubería de descarga, cédula 40, área \(A_d = 0.05132~\text{ft}^2\)

Solución:

Conversión de caudal:
\[ Q = 400~\text{gal/min} = \frac{400}{449}~\text{ft}^3/\text{min} = 0.891~\text{ft}^3/\text{s} \]

Velocidad media:

• Succión
  \[ v_s = \frac{Q}{A_s} = \frac{0.891}{0.08840} = 10.08~\text{ft/s} \]

• Descarga
  \[ v_d = \frac{Q}{A_d} = \frac{0.891}{0.05132} = 17.36~\text{ft/s} \]

Comentario adicional

Para velocidades más bajas, se pueden usar tuberías con áreas mayores:

• \(A_s = 0.1390~\text{ft}^2\)
  
• \(A_d = 0.06888~\text{ft}^2\)

Velocidades resultantes:

• \[ v_s = \frac{0.891}{0.1390} = 6.41~\text{ft/s} \]

• \[ v_d = \frac{0.891}{0.06888} = 12.97~\text{ft/s} \]

Estas velocidades pueden ser preferibles para reducir pérdidas y evitar cavitación en bombas.

6.5 Conservación de la Energía — Ecuación de Bernoulli

El análisis de problemas de flujo considera tres formas de energía por unidad de peso en un fluido:

1. Energía potencial
   \[ PE = wz \] Donde \(w\) es el peso del elemento y \(z\) su elevación.

2. Energía cinética
   \[ KE = \frac{w v^2}{2g} \] Donde \(v\) es la velocidad del fluido.

3. Energía de flujo o presión
   \[ FE = \frac{wp}{\gamma} \]
   Representa el trabajo necesario para mover el fluido contra una presión \(p\).

Energía de flujo y deducción del trabajo

El trabajo realizado al empujar el elemento a lo largo de una distancia \(L\) es:
\[ \text{Trabajo} = p A L = p V \]

Sabemos que:
\[ w = \gamma V \Rightarrow V = \frac{w}{\gamma} \]

Por tanto, la energía de flujo:
\[ FE = \frac{wp}{\gamma} \]

Energía total del sistema

La energía total por unidad de peso:
\[ E = FE + PE + KE = \frac{wp}{\gamma} + wz + \frac{w v^2}{2g} \]

Se puede factorizar:
\[ E = w \left( \frac{p}{\gamma} + z + \frac{v^2}{2g} \right) \]

Igualdad de energía entre dos secciones

Si no hay pérdida o adición de energía:
\[ E_1 = E_2 \]

Es decir:
\[ \frac{wp_1}{\gamma} + wz_1 + \frac{w v_1^2}{2g} = \frac{wp_2}{\gamma} + wz_2 + \frac{w v_2^2}{2g} \]

Dividiendo entre \(w\):
\[ \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \]

Figura 6.6 – Visualización de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli puede visualizarse como una suma de tres cargas que se mantienen constantes a lo largo del flujo (en condiciones ideales):

• Carga de presión (\(p/\gamma\))
  
• Carga de elevación (\(z\))
  
• Carga de velocidad (\(v^2/2g\))

Ejemplo: Aplicación de la Ecuación de Bernoulli

Este ejemplo ilustra cómo se aplica la ecuación de Bernoulli al flujo de agua desde una manguera al aire:

• En la sección 1 (antes de salir), la presión es alta y la velocidad es baja.
• En la sección 2 (chorro libre), la presión es atmosférica y la velocidad es alta.
• Se desprecia la energía cinética en la entrada y la energía de presión en la salida, lo que permite estimar la altura que alcanzará el chorro de agua.

Ejemplo: Aplicación práctica de Bernoulli – Flujo y presión

Este diagrama muestra cómo la presión, la velocidad y la altura cambian a lo largo de un sistema cerrado aplicando la ecuación de Bernoulli:

• Se observa cómo el fluido acelera al pasar por una reducción de diámetro.
• La presión disminuye en zonas de mayor velocidad.
• Se aplica la conservación de la energía para obtener relaciones entre \(P\), \(v\) y \(z\).

Simulación Interactiva – Ecuación de Bernoulli

Usa los controles en pantalla para modificar la altura, presión y velocidad del fluido, y observar cómo se cumple la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de flujo.

Simulación – Bernoulli (LearnChemE)

Esta simulación permite visualizar cómo la presión, la velocidad y la altura se relacionan en un flujo de fluido según la ecuación de Bernoulli. Puedes modificar parámetros y observar el efecto en tiempo real.

6.6 Interpretación de la ecuación de Bernoulli

• Cada término de la ecuación de Bernoulli representa una forma de energía por unidad de peso del fluido.

  \[ \frac{P}{\gamma} + z + \frac{v^2}{2g} \]

• Se denominan:

  • \(P/\gamma\): Carga de presión
    
  • \(z\): Carga de elevación
    
  • \(v^2/2g\): Carga de velocidad

La suma de estas tres se conoce como carga total.

En el sistema SI, las unidades son m (N/N), y en el sistema inglés son ft (lb/ft).

Carga total y visualización geométrica

• La ecuación de Bernoulli explica cómo cambian las cargas de presión, elevación y velocidad en un sistema cerrado.

• Cuando el área aumenta (como en una expansión), la velocidad disminuye y la presión puede aumentar.

• En sistemas en flujo constante:

  \[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = v_1 \left( \frac{A_1}{A_2} \right) \]

• La suma de las cargas se mantiene constante si no hay pérdidas de energía.

6.7 Restricciones a la ecuación de Bernoulli

Aunque la ecuación de Bernoulli es útil en muchos casos, presenta limitaciones que deben considerarse:

• Es válida solo para fluidos incompresibles, donde el peso específico se mantiene constante entre secciones.

• No puede haber dispositivos mecánicos (bombas o turbinas) entre los puntos analizados.

• No debe haber transferencia de calor al fluido ni desde él.

• No debe haber pérdida de energía por fricción o viscosidad.

En la práctica, pocos sistemas cumplen completamente estas condiciones.
Sin embargo, la ecuación de Bernoulli puede usarse como una aproximación útil si las pérdidas son pequeñas.

6.8 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Para resolver problemas con la ecuación de Bernoulli, se recomienda el siguiente procedimiento:

Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli

1. Decida qué elementos del problema son conocidos y cuáles se deben encontrar.

2. Defina las dos secciones del sistema que se usarán en la ecuación.

   • Una sección debe contener los datos conocidos.
     
   • La otra sección será donde se calcula el valor deseado.

3. Escriba la ecuación de Bernoulli para las dos secciones.
   Asegúrese de que se escriba en la dirección del flujo.

4. Sea explícito al etiquetar los términos:

   • Carga de presión
     
   • Carga de elevación
     
   • Carga de velocidad

5. Simplifique la ecuación si es posible (por ejemplo, si un término es despreciable).

6. Resuelva la ecuación y despeje el término deseado.

7. Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado.
   Use siempre unidades consistentes.

Problema de Ejemplo 6.9 – Parte 1

Enunciado:
En la figura 6.7, agua a 10 °C fluye de la sección 1 a la sección 2.
- En la sección 1, un tubo de 25 mm de diámetro, presión manométrica es de 345 kPa y la velocidad es de 3.0 m/s.
- La sección 2 es de 70 mm de diámetro y se encuentra 2.0 m por encima de la sección 1.
- Suponiendo que no hay pérdidas de energía del sistema, calcule \(p_2\).

Problema de Ejemplo 6.9 – Parte 2

Datos conocidos:

• \(d_1 = 25~\text{mm}\) → \(A_1 = \pi d_1^2/4 = 491~\text{mm}^2\)
  
• \(v_1 = 3.0~\text{m/s}\)
  
• \(p_1 = 345~\text{kPa}\)
  
• \(d_2 = 70~\text{mm}\) → \(A_2 = \pi d_2^2/4 = 3\,848~\text{mm}^2\)
  
• \(z_2 - z_1 = 2.0~\text{m}\)

Objetivo: Encontrar \(p_2\)

Problema de Ejemplo 6.9 – Parte 3

Ecuación de Bernoulli:

\[ \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \]

Usamos la ecuación de continuidad para calcular \(v_2\):

\[ v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 = \left( \frac{491}{3848} \right)(3.0) = 0.75~\text{m/s} \]

Problema de Ejemplo 6.9 – Parte 4

Sustituyendo en Bernoulli:

\[ \frac{345\,000~\text{N/m}^2}{9\,810~\text{N/m}^3} + 0 + \frac{3.0^2}{2(9.81)} = \frac{p_2}{9\,810} + 2.0 + \frac{0.75^2}{2(9.81)} \]

Resolviendo paso a paso:

\[ p_2 = 345~\text{kPa} - 19.6~\text{kPa} = 325.4~\text{kPa} \]

Problema de Ejemplo 6.9 – Parte 5

Resultado final:

\[ p_2 = 325.4~\text{kPa} \]

• Se ha usado presión manométrica (referida a presión atmosférica).
  
• Las elevaciones y velocidades están en metros y m/s.
  
• Se asume fluido incompresible, sin pérdidas de energía ni transferencia de calor.

6.8.1 Tanques, depósitos y boquillas expuestos a la atmósfera

• En sistemas abiertos al ambiente (atmósfera), la presión manométrica en la superficie del líquido o boquilla expuesta es cero.

• En estos casos, la ecuación de Bernoulli se simplifica cancelando el término de carga de presión:

Cuando un punto de referencia de fluido está expuesto a la atmósfera, \(p = 0\), por lo tanto, \(\frac{p}{\gamma} = 0\)

• Además, si el tanque es muy grande en comparación con la tubería, se asume \(v \approx 0\), por lo que también se cancela la carga de velocidad:

En la superficie libre de un tanque grande, se puede asumir \(v^2/2g = 0\)

6.8.2 – Simplificaciones comunes de la ecuación de Bernoulli

Cuando los dos puntos de referencia están en la misma tubería

• En flujo estable y con tubería de diámetro constante, la velocidad se mantiene constante.
  
• Por tanto, los términos de velocidad pueden cancelarse.

Cuando los puntos de referencia están dentro de una tubería del mismo tamaño, los términos \(v_1^2/2g\) y \(v_2^2/2g\) son iguales y pueden cancelarse.

6.8.3 – Simplificaciones comunes de la ecuación de Bernoulli

Cuando las elevaciones son iguales

• Si los puntos de referencia están a la misma altura: \(z_1 = z_2\)
  
• Por tanto, los términos de elevación también pueden eliminarse.

Cuando los puntos de referencia están al mismo nivel, los términos \(z_1\) y \(z_2\) pueden cancelarse.

Estas simplificaciones permiten usar versiones reducidas de la ecuación de Bernoulli para facilitar cálculos rápidos y precisos.

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 1

La figura 6.8 muestra un sifón que se utiliza para sacar agua de una piscina. El tubo tiene un diámetro interior de 40 mm y termina en una boquilla de 25 mm. Se pide calcular:

• La rapidez del flujo de volumen a través del sifón
• La presión en los puntos B y E

Se usan como referencia los puntos A y F.

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 2

Punto A: - Superficie libre del agua, \(p_A = 0\), \(v_A \approx 0\)

Punto F: - Expuesta a la atmósfera, \(p_F = 0\)

Ecuación de Bernoulli entre A y F: \[ \frac{p_A}{\gamma} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{p_F}{\gamma} + z_F + \frac{v_F^2}{2g} \]

Como \(p_A = p_F = 0\) y \(v_A \approx 0\): \[ z_A = z_F + \frac{v_F^2}{2g} \Rightarrow v_F = \sqrt{2g(z_A - z_F)} \]

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 3

Datos: - \(z_A = 3.0~\text{m}\), \(z_F = 0~\text{m}\) - \(g = 9.81~\text{m/s}^2\)

Cálculo: \[ v_F = \sqrt{2(9.81)(3.0)} = 7.67~\text{m/s} \]

Área de boquilla: \[ A = \frac{\pi}{4}(0.025)^2 = 4.91 \times 10^{-4}~\text{m}^2 \]

Caudal: \[ Q = A \cdot v = (4.91 \times 10^{-4})(7.67) = 3.77 \times 10^{-3}~\text{m}^3/s \]

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 4

Aplicamos Bernoulli entre A y B: \[ \frac{p_A}{\gamma} + z_A = \frac{p_B}{\gamma} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} \]

Reordenando: \[ \frac{p_B}{\gamma} = z_A - z_B - \frac{v_B^2}{2g} \]

\(A_B = \frac{\pi}{4}(0.040)^2 = 1.26 \times 10^{-3}~\text{m}^2\)

\[ v_B = \frac{Q}{A_B} = \frac{3.77 \times 10^{-3}}{1.26 \times 10^{-3}} = 2.99~\text{m/s} \]

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 5

\[ \frac{p_B}{\gamma} = 3.0 - 1.8 - \frac{(2.99)^2}{2(9.81)} = 1.2 - 0.456 = 0.744~\text{m} \]

Multiplicando por \(\gamma = 9.81~\text{kN/m}^3\): \[ p_B = 0.744 \cdot 9.81 = 7.3~\text{kPa} \]

Es una presión menor que la atmosférica.

Problema de ejemplo 6.10 – Parte 6

Aplicamos Bernoulli entre A y E: \[ \frac{p_A}{\gamma} + z_A = \frac{p_E}{\gamma} + z_E + \frac{v_E^2}{2g} \]

\(z_E = 0.45~\text{m}\), \(v_E = 2.99~\text{m/s}\)

\[ \frac{p_E}{\gamma} = 3.0 - 0.45 - \frac{(2.99)^2}{2(9.81)} = 3.0 - 0.45 - 0.456 = 2.09~\text{m} \]

\[ p_E = 2.09 \cdot 9.81 = 20.5~\text{kPa} \]

Resumen del problema de ejemplo 6.10

1. La rapidez del flujo depende de la diferencia de altura entre A y F.
   
2. En B, la presión está por debajo de la atmosférica.
   
3. La velocidad es constante si el tubo es de diámetro uniforme.
   
4. La presión más baja está en C (punto más alto).
   
5. B y D tienen igual presión si están a la misma altura.
   
6. La presión más alta está en E (punto más bajo).

6.8.4 Medidores Venturi y otros sistemas cerrados con velocidades desconocidas

• El medidor Venturi permite medir la velocidad del flujo en sistemas cerrados.
• La ecuación de Bernoulli se aplica entre dos secciones del tubo, donde una tiene menor diámetro.
• Al reducirse el diámetro (en B), aumenta la velocidad y disminuye la presión.
• Se recomienda utilizar un manómetro diferencial para medir la diferencia de presión entre los puntos A y B.
• La velocidad de flujo depende de esta diferencia de presión.
• También es necesario combinar esta ecuación con la ecuación de continuidad.

Se demostrará su aplicación en el siguiente problema.

Problema de Ejemplo 6.11 – Medidor Venturi