En este documento se presentará una explicación detallada del Movimiento Browniano Geométrico y del VaR utilizados en la aplicación https://4xscb0-diana0catalina-hernandez0rojas.shinyapps.io/colcap-app/

Movimiento Browniano Geométrico

Proceso de Wiener

El proceso de Wiener, también conocido como movimiento browniano estándar, es una base esencial en la modelación estocástica. Si una variable aleatoria \(Z\) sigue un proceso de Wiener, cumple con las siguientes propiedades:

  1. Propiedad de Markov: Es un proceso de Markov, lo que significa que la distribución de probabilidad de los valores futuros de \(Z\) depende únicamente del valor actual, sin considerar la trayectoria pasada.

  2. Incrementos independientes: Los incrementos \(\Delta Z\) son independientes entre sí.

  3. Distribución normal de los incrementos: Para cada intervalo de tiempo \(\Delta t\), los incrementos \(\Delta Z\) están normalmente distribuidos. Esto conlleva varias implicaciones:

  • La varianza del proceso crece linealmente con el tiempo, de manera que:

    \[\triangle{Z}=\varepsilon * \sqrt{\triangle{t}}\space\text{, donde}\space\varepsilon\sim{N(0,1)}\]

  • Los términos \(\varepsilon_t\) no presentan autocorrelación.

  • El proceso no es estacionario, ya que su varianza tiende al infinito a medida que transcurre el tiempo.

Considerando un intervalo de tiempo que va desde \(0\) hasta \(T\), podemos dividir dicho intervalo en \(n\) subintervalos de longitud \(\Delta t\), de modo que:

\[ n = \frac{T}{\Delta t} \]

La variación del proceso \(Z\), que sigue una trayectoria de Wiener durante el intervalo de tiempo \([s, s+T]\), se puede aproximar como:

\[ Z(s+T) - Z(s) = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i \sqrt{\Delta t} \]

donde cada \(\varepsilon_i \sim{N}(0,1)\). Por lo tanto:

\[ Z(s+T) - Z(s) \sim {N}(0, T) \]

Esto se debe a que una de las propiedades fundamentales del proceso de Wiener es que su varianza crece linealmente con el tiempo. Es decir:

\[ \text{Varianza} = T = n \cdot \Delta t \]

Así, si tomamos el límite cuando \(\Delta t \to 0\), el proceso se vuelve continuo, y el incremento infinitesimal del proceso de Wiener, denotado por \(dZ\), se expresa como:

\[ dZ = \varepsilon_t \sqrt{dt} \]

donde \(\varepsilon_t \sim {N}(0,1)\), representando un ruido gaussiano en tiempo continuo.

Proceso de Wiener Generalizado

Si al proceso de Wiener le añadimos una tendencia, obtenemos un Proceso de Wiener Generalizado, también conocido como Movimiento Browniano con tendencia o drift. Este se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica:

\[ dx = a \, dt + b \, dZ \quad \text{donde } a \text{ y } b \text{ son constantes} \]

Aquí podemos identificar claramente dos componentes:

  • El término \(a \, dt\) representa la tendencia determinista del proceso.
  • El término \(b \, dZ\) representa el ruido aleatorio, es decir, una perturbación estocástica proporcional a un proceso de Wiener.

Recordemos que \(dZ\) es un incremento de un proceso de Wiener, por lo que \(b \, dZ\) equivale a una perturbación gaussiana escalada por \(b\).

Para un pequeño intervalo de tiempo \(\Delta t\), la variación del proceso \(x\) se aproxima como:

\[ \Delta x = a \, \Delta t + b \, \varepsilon \sqrt{\Delta t} \quad \text{con } \varepsilon \sim {N}(0,1) \]

Esto implica que:

\[ \Delta x \sim {N}(a \, \Delta t, \, b^2 \, \Delta t) \]

Es decir, los incrementos del proceso son normales, con media y varianza dependientes del tiempo y de los parámetros \(a\) y \(b\).

A continuación, se presenta una comparación gráfica entre un proceso de Wiener estándar y un proceso de Wiener con tendencia (drift):

Modelado de acciones

Como lo que nos interesa modelar son acciones, debemos hacer una aclaración y un supuesto:

Aclaración:Los precios de las acciones no siguen una distribución Normal, porque el precio nunca podrá ser inferior a cero.

Supuesto:Los cambios logarítmicos (rendimientos continuos) de los precios de las acciones siguen una distribución Normal.

Esto implica modelar el logaritmo del precio como un proceso de Wiener. Teniendo la ecuación del proceso de Wiener generalizado, se sabe que para un intervalo de tiempo \(\Delta t\) y una acción que no paga dividendos, la ecuación de movimiento browniano con tendencia queda expresada por:

\[ \frac{\triangle{S}}{S}=\mu\triangle{t}+\sigma\varepsilon\sqrt{\triangle{t}} \]

\[ \triangle{S}=\mu S\triangle{t}+\sigma S\varepsilon\sqrt{\triangle{t}} \]

Donde:

  • \(S\): Precio de la acción.
  • \(\Delta S\): Cambio en el precio de la acción.
  • \(\mu\): Rendimiento esperado de la acción (drift).
  • \(\sigma\): Volatilidad de la acción.

\[ \frac{\triangle{S}}{S} \sim N(\mu \Delta{t},\sigma^2\Delta{t}) \]

Lema de Ito

Puesto que la ecuación del proceso de Wiener con tendencia no se puede derivar, pues es una ecuación estocástica de tiempo continuo que depende de una o dos variables utilizando la regla de la cadena, porque en cualquier punto la función a derivar el comportamiento puede ser creciente o decreciente.

Por esta razón, se debe utilizar otro método: El lema de Ito, que es la versión estocástica de la regla de la cadena.

Entonces si una variable \(x\) sigue un proceso de Wiener, \(dx=adt+bdZ\), y \(G\) es una función de \(x\) y \(t\), entonces:

\[ dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2\right) dt +\frac{\partial G}{\partial x} bdZ \] La función \(G\) es continua y diferenciable en cualquiera de sus puntos, Pero como estamos trabajando con el precio de las acciones, la ecuación de Wiener generalizado va a cambiar para la ecuación de las acciones, es decir se utiliza la ecuación \(ds=\mu sdt+\sigma sdt\), donde \(a=\mu s\) y \(b=\sigma s\), sustituyendo:

\[ dG=\left(\frac{\partial G}{\partial s}\mu s+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial s^2}\sigma^2 s^2\right) dt +\frac{\partial G}{\partial s} \sigma s dZ \]

Si \(G=ln(s(t))\), derivando parcialmente a \(G\) con respecto a \(s\), \(t\) y \(s^2\), tendremos:

\[ \frac{\partial G}{\partial s}=\frac{1}{s} \] \[ \frac{\partial G}{\partial t}=0 \]

\[ \frac{\partial^2 G}{\partial s^2}=-\frac{1}{s^2} \] \[ dG=\left(\frac{1}{s}\mu s+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{s^2}\right)\sigma^2 s^2\right)dt+\frac{1}{s}\sigma s dZ \]

\[ dG=\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dZ \]

Como \(G=\text{ln}[s(t)]\)

\[ d\text{ln}[s(t)]=\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dZ \]

\[ \int_{t=0}^{T} \! d\text{ln}[s(t)] = \int_{t=0}^{T} \! \left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\int_{t=0}^{T} \! \sigma dZ \]

\[ \text{ln} [s(T)]-\text{ln}[s(0)]=\left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma dZ \]

\[ \text{ln}\left[\frac{s(T)}{s(0)}\right]=\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma dZ \]

\[ s(T)=s(0)e^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma dZ} \]

Movimiento Browniano Geométrico

\[ s(T)=s(0)e^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma dZ} \]

Para un intervalo de tiempo pequeño, \(\Delta{t}\):

\[ S_{t+\Delta{t}}=S_te^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta{t}+\sigma \Delta{Z}} \]

Como \(\Delta{Z}=\varepsilon \sqrt{\Delta{t}}\) porque es un proceso de Wiener, entonces:

\[ S_{t+\Delta{t}}=S_te^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta{t}+\sigma \varepsilon \sqrt{\Delta {t}}} \]

La fórmula también es conocida como Movimiento Browniano Geométrico (MBG). Con este modelo el precio nunca será negativo.

Value at Risk (VaR)

El Value at Risk (VaR) es una medida estadística que cuantifica el riesgo de pérdida de una inversión. Representa la pérdida máxima esperada sobre un horizonte temporal específico con un nivel de confianza dado.

VaR Paramétrico (Delta-Normal)

Supuestos fundamentales

1.Los retornos \(R_t\) siguen un proceso Gaussiano:

\[ R_t\sim{}N(\mu , \sigma^2) \]

2.La función de valor \(V\) es diferenciable respecto a los factores de riesgo (aproximación de primer orden).

Desarrollo Matemático

Definición probabilística del VaR

\[ P\left(R_t \leq -\text{VaR}_\alpha \right)=1-\alpha \] Estandarización de los retornos

\[ P\left(\frac{R_t-\mu T}{\sigma \sqrt{T}} \leq \frac{-\text{VaR}_\alpha - \mu T}{\sigma \sqrt{T}} \right) = 1- \alpha \]

Relación con la distribución normal estándar

\[ \Phi \left(\frac{-\text{VaR}_\alpha - \mu T}{\sigma \sqrt{T}}\right)=1-\alpha \]

Inversión de la CDF normal

\[ \frac{-\text{VaR}_\alpha - \mu T}{\sigma \sqrt{T}}=\Phi^{-1}(1-\alpha)=-z_\alpha \]

Solución para el VaR

\[ \text{VaR}_\alpha=-\mu T+z_\alpha\sigma\sqrt{T} \]

Expresión en términos monetarios (para valor inicial \(S_0\))

\[ \text{VaR}^{\text{monetario}}_{\alpha}=S_0 * (-\mu T+z_\alpha\sigma\sqrt{T}) \]

VaR No Paramétrico (por Simulación)

Fundamentos Estadísticos

1.Sea \(F_n\) la función de distribución empírica de los retornos simulados:

\[ F_n(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}I_{R_i \leq x} \] 2.El cuantil empírico se define como:

\[ \hat{q}_\alpha=F_{n}^{-1}(\alpha)=\text{inf}(x:F_n(x) \geq \alpha) \]

Desarrollo Matemático

Simulamos \(m\) trayectorias de precios \(S_{t}^{-1}, \dotsc, S_{t}^m\) usando el modelo elegido (ej. GBM)

Cálculo de retornos

\[ R^{(i)}=\frac{S^{(i)}_T-S_0}{S_0}, \text{donde} \space i=1, \dotsc , m \]

Ordenación de retornos

\[ R_{(1)} \leq R_{(2)} \leq \dotsb \leq R_{(m)} \]

Estimación del cuantil empírico. Para nivel de confianza \(\alpha\):

\[ \hat{\text{VaR}}_\alpha=-R_{(\lfloor{(1-\alpha)m\rfloor})} * S_0 \]

Propiedades asintóticas (según la teoría de valores extremos)

\[ \sqrt{m}(\hat{\text{VaR}}_\alpha-\text{VaR}_\alpha)\xrightarrow{d} N\left(0,\frac{\alpha(1-\alpha)}{f^2\left(\text{VaR}_\alpha\right)}\right) \]

donde \(f\) es la densidad de los retornos.

Notas Técnicas Relevantes

1.Ajuste por horizonte temporal: La escala \(\sqrt{T}\) surge del propiedad de incrementos independientes en procesos brownianos:

\[ \text{VaR}(R_T)=\text{VaR}\left(\sum_{t=1}^{T} r_t\right)=T\sigma^2 \] 2.Error de estimación: Para el VaR no paramétrico, el error estándar decrece como \(O\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)\).

Referencias

  • Jorion, P. (2007). Value at risk: The new benchmark for managing financial risk (3rd ed.). McGraw-Hill.

  • Benninga, S., & Wiener, Z. (s.f.). Value-at-Risk (VaR): The authors describe how to implement VaR, the risk measurement technique widely used in financial risk management [PDF]. Simon Benninga.

  • Radware Bot Manager Captcha. (s.f.). IOPscience | Scientific, Technical & Medical Journals.

  • Sigman, K. (2006). 4700-07-Notes-GBM.pdf. Columbia University.

  • Reddy, K., & Clinton, V. (2016). Simulating stock prices using geometric Brownian motion: Evidence from Australian companies. AABFJ, 10(3), 23-47.