A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para que vaya a uno de los recorridos planeados por la convención?
Debido a que no hay una correlación entre la cantidad de días y el número de reccorridos directamente solo hay 6 opciones de acomodarse para ir a uno de los recorridos.
cat("Para que una persona se pueda acomodar para ir a uno de los recorridos lo puede realizar de ",6*1," maneras")## Para que una persona se pueda acomodar para ir a uno de los recorridos lo puede realizar de 6 manerasSi un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral?
Solución analítica:
• 6 posibles caras del dado
• 26 letras del alfabeto inglés
⇒ \(6 × 26 = 156\) puntos
muestrales.
dado <- 1:6
letras <- LETTERS[1:26]
espacio_muestral <- expand.grid(dado = dado, letra = letras)
cat("\nNúmero total de puntos en el espacio muestral:", nrow(espacio_muestral))##
## Número total de puntos en el espacio muestral: 156Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponible en 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que incluya todos los diversos estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes tendría que mostrar?
Son 5 estilos, y cada estilo tiene 4 posibles colores.
\(5 * 4 = 20\) pares diferentes de
zapatos.
estilos <- 5
colores <- 4
pares_diferentes <- estilos * colores
cat("La cantidad de pares de zapatos diferentes que tiene que mostrar:",pares_diferentes)## La cantidad de pares de zapatos diferentes que tiene que mostrar: 20Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefaccion, un garaje o cobertizo, y un patio o un porche cubierto. ¿De cuantos planos diferentes dispone el comprador?
Son 4 diseños, 3 sistemas de calefaccion, 1 entre garaje o cobertizo
y 1 entre patio o porche cubierto
\(4 * 3 * 2 * 2 = 48\) diferentes
planos
diseños <- 3
calefaccion <- 4
garaje_cobertizo <- 2
patio_porche <- 2
planos_diferentes <- diseños * calefaccion * garaje_cobertizo * patio_porche
cat("La cantidad de planos diferentes que dispone el comprador es:",planos_diferentes)## La cantidad de planos diferentes que dispone el comprador es: 48En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carreras se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y las pruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesita realizar?
Total de pruebas = nº de autos × nº de gasolinas × nº de lugares × nº
de pilotos
Total de pruebas = \(3 × 5 × 7 ×
2\)
autos <- 3
gasolinas <- 5
lugares <- 7
pilotos <- 2
pruebas <- autos * gasolinas * lugares * pilotos
cat("La cantidad de pruebas que se necesitan realizar es: ",pruebas)## La cantidad de pruebas que se necesitan realizar es: 210Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable, que huyó, contenía las letras RLH seguidas por 3 dígitos, de los cuales el primero era un 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro de que los 3 eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóviles que la policía tendría que revisar.
• Segundo dígito: 9 opciones (0–9 sin 5)
• Tercer dígito: 8 opciones (0-9, exclutendo el 5 y el segundo
digito)
⇒ \(9 × 8 = 72\) matrículas
posibles.
digitos_disponibles <- setdiff(0:9, 5)
combinaciones <- expand.grid(
segundo = digitos_disponibles,
tercero = digitos_disponibles
)
combinaciones_validas <- combinaciones[combinaciones$segundo != combinaciones$tercero, ]
total_registros <- nrow(combinaciones_validas)
cat("Cantidad máxima de registros a revisar:", total_registros)## Cantidad máxima de registros a revisar: 72Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo 1 es correcta,a) ¿de cuántas formas diferentes puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta?b) ¿de cuántas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta y obtener todas las respuestas incorrectas?
a) numero de preguntas = 5
respuestas posibles por pregunta = 4
total opciones = \(4^5\) o \(4*4*4*4*4\)
b) numero de preguntas = 5
respuestas incorrectas por pregunta = 3
total de opciones = \(3^5\) o \(3*3*3*3*3\)
total_preguntas <- 5
respuestas_por_pregunta <- 4
respuestas_incorrectas <- 3
total_opciones <- respuestas_por_pregunta ** total_preguntas
todas_incorrectas <- respuestas_incorrectas ** total_preguntas
cat("Un estudiante puede responder la prueba de",total_opciones,"maneras.")## Un estudiante puede responder la prueba de 1024 maneras.cat("Un estudiante puede tener todas las respuestas incorrectas de",todas_incorrectas,"maneras.")## Un estudiante puede tener todas las respuestas incorrectas de 243 maneras.Un contratista desea construir 9 casas, cada una de diferente diseño ¿De cuantas formas puede ubicarlas en la calle en la que las va a construir si en un lado de esta hay 6 lotes y en el lado opuesto hay 3?
9 casas diferentes
6 deben ser ubicadas en un lado del lote, y 3 en el otro no importa el
orden
Combinacion: \(nCk, n = 9, k = 6\)
\(nCk = (nPk)/(k!) =
(n!)/((n-k)!*(k!))\) \(9C6 =
(9!)/((9-6)!*(6!)) = (9!)/((3!)*(6!)) = 84\)
casas <- 9
casas_lado_principal <- 6
total_opciones <- factorial(casas)/(factorial(casas-casas_lado_principal) * factorial(casas_lado_principal))
cat("Las casas pueden ser ubicadas de",total_opciones,"maneras.")## Las casas pueden ser ubicadas de 84 maneras.¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños y 5 niñas en una fila, si se deben alternar unos y otras?
Solo hay una forma válida de alternancia: empezar con una niña y
alternar con niños.
• Hay 5 niñas → se pueden ordenar en 5! formas.
• Hay 4 niños → se pueden ordenar en 4! formas.
Total de formas = \(5!×4!=120×24=2880\)
ninos <- factorial(4)
ninas <- factorial(5)
cat("4 niños y 5 niñas se pueden sentar de ", ninos*ninas," maneras")## 4 niños y 5 niñas se pueden sentar de 2880 manerasEn un concurso regional de ortografía, los 8 finalistas son 3 niños y
5 niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral
S para el número de ordenamientos posibles al final del concurso
para:
a) los 8 finalistas
b) los 3 primeros lugares.
a) Permutaciones de 8 personas → \(8! = 40
320\)
b) Permutaciones de 8 tomadas de 3 → \(P(8,3)
= 8·7·6 = 336\)
n_finalistas <- 8
permutaciones_total <- factorial(n_finalistas)
cat("a) Ordenamientos posibles para los 8 finalistas:", permutaciones_total, "\n")## a) Ordenamientos posibles para los 8 finalistas: 40320n_lugares <- 3
permutaciones_tres_lugares <- prod(n_finalistas:(n_finalistas - n_lugares + 1))
cat("b) Ordenamientos posibles para los 3 primeros lugares:", permutaciones_tres_lugares)## b) Ordenamientos posibles para los 3 primeros lugares: 336Encuentre el número de formas en que se puede asignar 6 profesores a 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna a más de una sección.
Importa el orden
Sin repeticion
profesores = 6
secciones = 4
\(6*5*4*3\) = formas de asignar o
permutacion
profesores <- 6
secciones <- 4
formas_asignacion <- factorial(profesores)/factorial(profesores - secciones)
cat("Se pueden asignar 6 profesores a 4 secciones de",formas_asignacion,"formas.")## Se pueden asignar 6 profesores a 4 secciones de 360 formas.¿De cuantas maneras se pueden plantar 5 arboles en un circulo?
Importa el orden
5 arboles
Permutacion: \(nPk = n!/(n-k)!\)
\(p = 5\)
De los 5 arboles, elegimos los 5, por ende, \(k = 5\)
\(5P5 = 5!/(5-5)! = 5!/0! = 5!/1 =
5!\)
Es uns disposicion cicular (osea que 1,2,3,4,5 = 2,3,4,5,1)
Por ende, dividimos el numero total de maneras en 5 para quitar las
repetidas
Numero total de maneras: \(5!/5 = 4! =
24\)
arboles <- 5
plantar_arboles <- (factorial(arboles)/factorial(arboles - arboles))/arboles
cat("Los 5 arboles se pueden plantar de manera dircular de",plantar_arboles,"formas.")## Los 5 arboles se pueden plantar de manera dircular de 24 formas.Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra INFINITO?
Total de letras = 8
Total de letras “I” = 3
Total de letras “N” = 2’
Como es una permutación con repetición se halla el número de
posibilidades con la cantidad de letras y se divide por las
posibilidades de los factores repetidos.
Total de permutaciones = \(\frac{8!}{2!\times
3!}=\frac{40320}{12}=3360\)
letras <- factorial(8)
i <- factorial(3)
n <- factorial(2)
cat("El numero de permutaciones que se puede realizar con la palabra INFINITO es: ",letras/(i*n))## El numero de permutaciones que se puede realizar con la palabra INFINITO es: 3360¿De cuántas formas se puede seleccionar a 3 de 8 candidatos recién graduados, igualmente calificados, para ocupar las vacantes de un despacho de contabilidad?
• Combinaciones de 8 elementos tomados de 3 → \(C(8,3) = 56\)
calcular_combinaciones <- function(n, k) {
factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k))
}
total_combinaciones <- calcular_combinaciones(8, 3)
cat("Número de formas de seleccionar 3 de 8 candidatos:", total_combinaciones)## Número de formas de seleccionar 3 de 8 candidatos: 56