\[ \mathbf{z} = A \mathbf{y} + \mathbf{c} \]
Donde \(\mathbf{y}\) es un vector aleatorio de orden 2x1
Definimos:
\[ E(\mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} \]
\[ \text{Var}(\mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Matriz de transformación: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]
Vector de constantes: \[ \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]
import numpy as np# Vector de medias de y
mu_y = np.array([5, 3])
print(mu_y)## [5 3]Nota: mu_y es un array 1D , de forma (2, ), que
no distingue entre fila y columna por defecto. NumPy lo interpreta
inteligentemente y como vector columna en este contexto. Pero esto puede
llevar a confusión si no estás atento.
# Matriz de varianzas y covarianzas de y
Sigma_y = np.array([
[4, 1],
[1, 2]
])
print(Sigma_y)## [[4 1]
## [1 2]]# Matriz de transformación A
A = np.array([
[1, 0],
[0, 2]
])
print(A)## [[1 0]
## [0 2]]# Vector de constantes c
c = np.array([1, -1])
print(c)## [ 1 -1]Usamos la fórmula:
\[ E(\mathbf{z}) = A \cdot E(\mathbf{y}) + \mathbf{c} \]
Sustituyendo los valores:
\[ E(\mathbf{z}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 5 \end{bmatrix} \]
✅ Resultado final: \[ E(\mathbf{z}) = \begin{bmatrix} 6 \\ 5 \end{bmatrix} \]
# E(z) = A * E(y) + c
mu_z = A @ mu_y + c
print("Esperanza de z:")## Esperanza de z:print(mu_z)## [6 5]La fórmula es:
\[ \text{Var}(\mathbf{z}) = A \cdot \text{Var}(\mathbf{y}) \cdot A' \]
Donde \(A'\) es la transpuesta de \(A\).
Sustituimos:
\[ \text{Var}(\mathbf{z}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]
Primero calculamos:
\[ A \cdot \text{Var}(\mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \]
Luego:
\[ \text{Var}(\mathbf{z}) = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \]
✅ Resultado final: \[ \text{Var}(\mathbf{z}) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \]
# Var(z) = A * Var(y) * A'
Sigma_z = A @ Sigma_y @ A.T
print("\nMatriz de varianzas y covarianzas de z:")##
## Matriz de varianzas y covarianzas de z:print(Sigma_z)## [[4 2]
## [2 8]]Dada la matriz de varianzas y covarianzas:
\[ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \]
matriz de correlación:
\[ \boldsymbol{\Pi} = D^{-1/2} \boldsymbol{\Sigma} D^{-1/2} \]
donde: \(\mathbf{D}\) es la matriz diagonal formada por las varianzas (elementos diagonales de \(\boldsymbol{\Sigma}\))
\[ D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \]
Tomamos la raíz cuadrada de los elementos diagonales y luego invertimos:
\[ D^{1/2} = \begin{bmatrix} \sqrt{4} & 0 \\ 0 & \sqrt{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad D^{-1/2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix} \]
\[ \boldsymbol{\Pi} = D^{-1/2} \cdot \boldsymbol{\Sigma} \cdot D^{-1/2} \]
Sustituimos:
\[ \boldsymbol{\Pi} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix} \]
✅ Resultado final (matriz de correlación):
\[ \boxed{ \boldsymbol{\Pi} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2\sqrt{2}} & 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0.3536 \\ 0.3536 & 1 \end{bmatrix} } \]
También es cierto:
\[ \boldsymbol{\Sigma} = D^{1/2} \cdot \boldsymbol{\Pi} \cdot D^{1/2} \]
# Extraemos la diagonal y formamos D
D = np.diag(np.diag(Sigma_z))
print(D)## [[4 0]
## [0 8]]# Calculamos D^(-1/2)
D_inv_half = np.diag(1 / np.sqrt(np.diag(D)))
print(D_inv_half)## [[0.5 0. ]
## [0. 0.35355339]]# Aplicamos la ecuación (1.11) del apunte
Corr = D_inv_half @ Sigma_z @ D_inv_half
print("Matriz de correlación:")## Matriz de correlación:print(Corr)## [[1. 0.35355339]
## [0.35355339 1. ]]Sean \(\mathbf{x}\) y \(\mathbf{y}\) dos vectores aleatorios bivariados:
\[ E(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad E(\mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \]
Matriz de covarianzas cruzadas:
\[ \text{Cov}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ 0.5 & 2 \end{bmatrix} \]
Dado que queremos calcular:
\[ \text{Cov}(A\mathbf{x} + \mathbf{a}, B\mathbf{y} + \mathbf{b}) \]
Definimos:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \]
\[ \text{Cov}(A\mathbf{x} + \mathbf{a}, B\mathbf{y} + \mathbf{b}) = A \cdot \text{Cov}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \cdot B' \]
Los términos constantes \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) no afectan la covarianza.
\[ A \cdot \text{Cov}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \cdot B'= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ 0.5 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \]
\[ \text{Cov}(A\mathbf{x} + \mathbf{a}, B\mathbf{y} + \mathbf{b}) = \begin{bmatrix} -0.5 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \]
Este resultado indica cómo se relacionan las componentes del vector transformado \(A\mathbf{x} + \mathbf{a}\) con las del vector \(B\mathbf{y} + \mathbf{b}\). Por ejemplo, el elemento (1,2) indica cómo se mueve el primer componente de \(A\mathbf{x} + \mathbf{a}\) con respecto al segundo de \(B\mathbf{y} + \mathbf{b}\).