出典

• 以下の解説は特に指示がない限り Wickens (1989) または 太郎丸 (2005) からのもの

統計的独立 independent

• 離散変数間の関連について考える場合、まず関連がまったくない状態について知っておいたほうが良い
• ふつう二変数が独立な状態にある場合、「関連がない」というと思う。
• 以下のようなクロス表では、行と列の二つの変数は独立である。

二変数が独立なクロス表の特徴

• 行パーセントの分布がすべての行で同じ。上の例では A 行も B 行も、x 20%、y 30%、z 20%
• 列　　　　　　〃　　　　　　列で同じ。上の例では、x, y, z すべて A 1/3、B 2/3。

2変数が独立の場合の期待度数

• クロス表の \(i\) 行 \(j\) 列目のセル度数を \(n_{ij}\) 、\(i\) 行目の周辺度数を \(n_{i\cdot}\)、\(j\) 列目の周辺度数を \(n_{\cdot j}\)、サンプルサイズ（すべてのセル度数の総和）を \(N\) とすると、以下の式のような関係がすべてのセルで成り立つ \[ n_{ij} = \frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{N} \tag{1} \]
• 上の例では \(N=300\)、\(1\) 行目の周辺度数は \(\; n_{1 \cdot}= 100\)、 \(2\) 列目の周辺度数は \(n_{\cdot 2} = 90\) なので、以下のように、\(1\) 行 \(2\) 列目のセル度数に関して式 (1) が成り立つ

\[ \begin{align} n_{12} &= \frac{n_{1\cdot} n_{\cdot 2}}{N} \\ 30 &= \frac{100 \times 90}{300} \\ \end{align} \]

• ほかのセルに関してもすべて式 (1) が成り立つことを確認せよ
• \(\frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{N}\) は 2変数が独立な場合に期待される度数であり、単に期待度数 expected frequency, expected count と呼ばれることも多い

独立と関連

• 2つの離散変数が独立状態から乖離しているほど、強く関連していると考えられる（と思う）

相関係数

• 二値変数や順序のある離散変数ならば適当に数値を割り振って相関係数を計算することはしばしばある
• 2変数が独立ならば相関係数はゼロになる
• \(2\times 2\) 表の場合、以下の公式でも相関係数は計算できる \[ \frac{n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21}}{\sqrt{n_{1\cdot}n_{2\cdot}n_{\cdot1}n_{\cdot2}}} \]
• 以下のクロス表の相関係数を上の公式で計算すると

\[ 相関係数 = \frac{10 \times 30 - 50 \times 20}{\sqrt{60 \times 50 \times 30 \times 80}} = -0.26 \]

\(2\times 2\) 表の関連の強さ

• 2行2列のクロス表はもっとも単純なクロス表で計算も簡単、特別な利用法もあるので、特にとりあげる。
• 以下の \(2\times 2\) 表を例に考えてみよう

オッズ比

オッズ比を \(\alpha\) と表記すると \[ \alpha = \frac{n_{11} n_{22}}{n_{12} n_{21}} \] 上の \(2\times 2\) 表の例では、オッズ比は \[ \alpha=\frac{60 \times 8}{40 \times 2}= 6 \]

オッズ比の性質

• オッズ比は2変数が独立のとき \(1\)、
• 主対角セル（左上から右下への対角線上のセル）に度数が集まっているほど大きな値を、
• 主対角セル以外のセルに度数が集まっているほどゼロに近い値をとる
• \(n_{12}, \; n_{21}\) のどちらかが 0 だと計算できないので、便宜的に \(0.5\; や\; 1\) を代入して計算する場合も
• 対数線形モデルやロジスティック回帰分析などもっと複雑な分析法の基礎となる概念

オッズ比の解釈上の注意

• 表2の列（または行）の順番を入れ替えたときのオッズ比 (\(\beta\)と表記する）は、もともと 6 だったのが以下のように 1/6 となり、元のオッズ比の逆数となる \[ \beta =\frac{40 \times 2}{60 \times 8}= 1/6 = 1/\alpha = 0.167 \]
• 相関係数の場合、まったく相関がない場合 0 で、0 からどれだけ離れているかで、相関の強さを測ることができた
  • 例えば、\(0.5\) でも、\(-0.5\) でも右肩上がりか、右肩下がりかの違いだけで相関の強さ magnitude は同じと解釈できる
• しかし、オッズ比の場合、1.5 と 0.5 は 1 との差は同じだが、関連の強さ magnitude は 0.5 のほうが強い。以下の対応表を参照

対数オッズ比

• 上のようなオッズ比の性質は数値の解釈を難しくする場合もあるので、そのような場合、オッズ比の対数を計算して解釈する人もいる
• 対数オッズ比は、二変数が独立のとき 0 で、上限や下限はないが、\(\log \alpha = - \log\beta\) となるので（前ページの対応表を参照）、相関係数と同じように解釈できる

ユールの Q

\[ Q = \frac{n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21}}{n_{11} n_{22} + n_{12} n_{21}} \] 上の \(2\times 2\) 表の例では、 \[ Q = \frac{60\times 8 - 40 \times 2}{60\times 8 + 40 \times 2} = 400/560 = 0.71 \]

ユールの Q の性質

• 2変数が独立のとき \(0\)
• 左上、または右下のセルがゼロのとき \(-1\)
• 右上または左下のセルがゼロのとき \(1\)

完全関連

• 左上と右下のセルが両方ともゼロ、または逆に右上と左下のセルが両方ともゼロの状態。
• 完全関連のとき相関係数は \(1\) または \(-1\) になる。以下は相関係数が \(1\) になる \(2\times 2\) 表の例

以下は相関係数が \(-1\) になる \(2\times 2\) 表の例

• 完全関連のとき相関係数もユールの Q も \(1\) または \(-1\)

最大関連

• 周辺度数が固定されている場合、相関係数は最大値 \(1\) を絶対にとれない場合が多い
• 例えば親世代ではノンマニュアル職が20%しかいなかったが、子世代では産業構造が変化して 50% がノンマニュアル職に就くようになったとする

最大関連とユールの Q

• 職種の比率（周辺分布）は労働力需要側によって親世代でも子世代でもあらかじめ決定されていると仮定する
• 左下のセルが 0 になれば相関係数は 1 になるが、母がマニュアルの子のうち、最低 30 人はノンマニュアルにならないと、子世代のノンマニュアルが 50 人にはならない
• 上の表では相関係数は 0.5 であるが、周辺度数が固定されている場合、これ以上の相関係数はとりえない。
• このように \(2\times2\) 表のセルのうち、どれか 1つ以上がゼロの状態を最大関連という。
• ユールの Q は最大関連のとき \(1\) または \(-1\) になる。
• それゆえ、周辺度数が固定されている場合、ユールの Q は最大関連への近さを示す指標として使える

組織や単語の重なり

• 単語の同時出現率や組織間の成員の重なりもクロス表から計算できる
• 学問分野の関連性を調べるために、ある分野の研究者が A という学会に参加しているかどうかと B という学会に参加しているかどうかを調べたら以下のようになったとする

ジャッカードの類似性指数 Jaccard’s Similarity Index

• A 学会 または B 学会のどちらかに参加している人のうち、両方の学会に所属している人の比率 (Jaccard 1902)

• 前のページの例では、\(20 / (20 + 30 + 40) = 0.22\)

• 1行目と1列目に有徴（参加している、単語が出現している、など注目しているほうのカテゴリ）のカテゴリを配置した場合、ジャッカードの類似性指数は一般に \[ \frac{n_{11}}{n_{11} + n_{12} + n_{21}} \] と定義される。

• この指数は \(n_{22}\) （上の例では、どちらの学会にも所属していない人）の数を無視している。無視したほうがいい場合に推奨される。無視しないほうがいいなら相関係数やユールのQ を使うべき

比率の差、比率の比、オッズ比

以下の場合、甲県と乙県のどちらが、マジョリティとマイノリティの格差が大きいだろうか？

• 高所得比率の差は、甲が 3ポイント、乙が 10ポイント
• オッズ比は、甲が 4.1 乙が1.5
• この問題に正解はないが、自分が知りたいことをよく考えて、一貫した基準で格差はみるべき

\(k \times l\) 表

• 実際には 3行以上、または 3列以上のクロス表を分析することはよくある
• グッドマンとクラスカルの\(\gamma\) のような、最大関連のときに \(1\) または \(-1\)をとる順位相関係数もあるが、省略
• 順序の無い変数どうしの関連の大きさを数値化したい場合、誤差減少率 (Proportional Reduction of Error: PRE) を推奨
• Cramer の V を使う人がときどきいるが、意味が分からんのでダメ、という批判も多い
• 経験則では、順序の無い \(k \times l\) 表の関連の大きさを数値化したいというニーズはほとんどないので、省略