PSS P12 Bootstrap pada Regresi dan Missing Value

Bootstrap dalam Regresi & Estimasi Missing Value

Pendahuluan

Dalam analisis statistik, kita sering ingin mengetahui seberapa andal estimasi kita. Sayangnya, asumsi klasik (seperti normalitas residual atau homogenitas varians) tidak selalu terpenuhi.

Metode bootstrap hadir sebagai alternatif non-parametrik yang tidak bergantung pada distribusi data dan sangat berguna untuk mengestimasi ketidakpastian (standard error, confidence interval, dll).

Konsep Dasar Bootstrap

Bootstrap adalah teknik resampling, yaitu membuat banyak sampel baru dari sampel yang sudah ada (dengan pengambilan sampel ulang, dengan pengembalian).

Langkah-langkah: - Ambil sampel acak dari data awal, ukuran sama, dengan pengembalian - Hitung statistik yang diinginkan (misalnya koefisien regresi) - Ulangi langkah 1–2 sebanyak R kali (misalnya 1000 kali) - Gunakan distribusi hasil bootstrap untuk menghitung standar error atau confidence interval

Bootstrap dalam Regresi
Bootstrap digunakan untuk:
- Mengestimasi distribusi sampling dari koefisien regresi
- Mendapatkan confidence interval tanpa asumsi normalitas residual
Bootstrap pada Data dengan Missing Value
Ketika data memiliki missing values, bootstrap bisa digunakan untuk:
- Menghasilkan banyak imputed datasets
- Mengukur ketidakpastian hasil imputasi

Praktikum

Dataset Simulasi

set.seed(123)

# Jumlah observasi
n <- 100
 
# Generate variabel x dari distribusi normal (mean=10, sd=2)
x <- rnorm(n, mean = 10, sd = 2)  
 
# Generate variabel y dengan pola hubungan linear terhadap x plus error
y <- 3 + 1.5 * x + rnorm(n, mean = 0, sd = 2)  
# Gabungkan menjadi data frame
data <- data.frame(x, y)  
# Introduksi missing value secara acak pada 10 observasi x
data[sample(1:n, 10), "x"] <- NA

# Lihat 6 baris pertama
head(data)

##           x        y
## 1  8.879049 14.89776
## 2  9.539645 17.82323
## 3 13.117417 22.18274
## 4 10.141017 17.51644
## 5 10.258575 16.48463
## 6 13.430130 23.05514

Penjelasan:

set.seed(123) menjamin hasil random yang konsisten – rnorm() menghasilkan data dari distribusi normal – Hubungan antara y dan x sengaja dibuat linear (y = 3 + 1.5x + error) – sample() memilih 10 baris secara acak untuk dijadikan NA

Praktikum 1: Bootstrap untuk Regresi (tanpa missing)

# Hapus baris yang mengandung NA
clean_data <- na.omit(data)  

# Fungsi untuk bootstrap regresi
boot_regression <- function(data, indices) {
 # Ambil sampel bootstrap sesuai indices
 d <- data[indices, ]  
 # Fit model regresi linear
 model <- lm(y ~ x, data = d)  
 # Return koefisien model
 return(coef(model))  
}

# Load library boot
library(boot)  

# Lakukan bootstrap dengan 1000 replikasi
boot_result <- boot(
 data = clean_data,  
 statistic = boot_regression,  
 R = 1000
 )

# Tampilkan hasil
boot_result

## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = clean_data, statistic = boot_regression, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original      bias    std. error
## t1* 3.581084  0.06067069   1.1482885
## t2* 1.412127 -0.00547455   0.1074228

# Plot distribusi bootstrap
plot(boot_result)

# Hitung confidence interval 95% untuk koefisien x (index=2)
boot.ci(boot_result, type = "perc", index = 2)

## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
## 
## CALL : 
## boot.ci(boot.out = boot_result, type = "perc", index = 2)
## 
## Intervals : 
## Level     Percentile     
## 95%   ( 1.176,  1.596 )  
## Calculations and Intervals on Original Scale

Penjelasan:

– na.omit() menghapus baris dengan missing values – Fungsi boot_regression: — indices menentukan sampel yang diambil — lm() melakukan regresi linear — coef() mengambil koefisien model– boot() menjalankan bootstrap dengan: — data: dataset bersih — statistic: fungsi yang di-bootstrap – R: jumlah replikasi – boot.ci() menghitung interval kepercayaan percentile

Praktikum 2: Estimasi pada Missing Value dengan Bootstrap

Kita akan menggunakan mean imputation + bootstrap:

# Hitung mean x (abaikan NA)
mean_x <- mean(data$x, na.rm = TRUE)  

# Buat variabel baru dengan imputasi mean
data$ximp <- ifelse(is.na(data$x), mean_x, data$x)  

# Fit model setelah imputasi
model_imp <- lm(y ~ ximp, data = data)  
summary(model_imp)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ ximp, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.1153 -1.4394 -0.0902  1.2053  6.5280 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   3.6538     1.2332   2.963  0.00383 ** 
## ximp          1.4121     0.1191  11.854  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.109 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5891, Adjusted R-squared:  0.5849 
## F-statistic: 140.5 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Fungsi bootstrap setelah imputasi
boot_imp <- function(data, indices) {
 d <- data[indices, ]  
 model <- lm(y ~ ximp, data = d)  
 return(coef(model))  
}
 
# Jalankan bootstrap
boot_result_imp <- boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)  

# Hasil
boot_result_imp

## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original       bias    std. error
## t1* 3.653794  0.053055397   1.1350004
## t2* 1.412127 -0.005093136   0.1064137

plot(boot_result_imp)

boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2)

## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
## 
## CALL : 
## boot.ci(boot.out = boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
## 
## Intervals : 
## Level     Percentile     
## 95%   ( 1.188,  1.603 )  
## Calculations and Intervals on Original Scale

Catatan penting:

mean(na.rm=TRUE) menghitung mean tanpa NA – ifelse() mengganti NA dengan mean – Model setelah imputasi cenderung underestimate variance – Proses bootstrap sama seperti sebelumnya tetapi menggunakan data yang sudah diimputasi – Mean imputation bisa mengurangi variabilitas → bias underestimation. – Lebih canggih: gunakan Multiple Imputation + Bootstrap (dengan mice package).

Praktikum 3: Multiple Imputation + Bootstrap

library(mice)

## Warning: package 'mice' was built under R version 4.3.3

## 
## Attaching package: 'mice'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     cbind, rbind

# Lakukan multiple imputation (m=5) dengan Predictive Mean Matching
imp <- mice(
 data[, c("x", "y")],  
 m = 5,  
 method = 'pmm',  
 seed = 123
)

## 
##  iter imp variable
##   1   1  x
##   1   2  x
##   1   3  x
##   1   4  x
##   1   5  x
##   2   1  x
##   2   2  x
##   2   3  x
##   2   4  x
##   2   5  x
##   3   1  x
##   3   2  x
##   3   3  x
##   3   4  x
##   3   5  x
##   4   1  x
##   4   2  x
##   4   3  x
##   4   4  x
##   4   5  x
##   5   1  x
##   5   2  x
##   5   3  x
##   5   4  x
##   5   5  x

# Gabungkan dataset imputasi dalam long format
imp_data <- complete(imp, "long")  

# Fit model di setiap dataset imputasi dan gabungkan hasilnya
model_mi <- with(imp, lm(y ~ x))  
summary(pool(model_mi))

##          term estimate std.error statistic       df      p.value
## 1 (Intercept) 3.619991 1.1112706  3.257524 78.99385 1.657655e-03
## 2           x 1.408248 0.1068028 13.185496 78.10532 1.472407e-21

Gabungan Hasil

# Pastikan semua package sudah terinstall
library(mice)
library(broom)

## Warning: package 'broom' was built under R version 4.3.3

# 1. Model Data Lengkap
model_clean <- lm(y ~ x, data = clean_data)
clean_summary <- tidy(model_clean, conf.int = TRUE)
 
# 2. Model Mean Imputation + Bootstrap
# Asumsi boot_result_imp sudah dibuat sebelumnya
boot_ci <- boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
boot_summary <- tidy(model_imp, conf.int = TRUE)
 
# 3. Model MICE
model_mice <- with(imp, lm(y ~ x))
mice_summary <- summary(pool(model_mice), conf.int = TRUE)
 
# Membuat data frame yang lebih robust
 results_table <- data.frame(
 Metode = c("Data Lengkap", "Mean Imputation + Bootstrap", "MICE"),
 Intercept = c(
  clean_summary$estimate[1],
  boot_summary$estimate[1],
  mice_summary$estimate[1]
 ),
 Slope = c(
  clean_summary$estimate[2],
  boot_summary$estimate[2],
  mice_summary$estimate[2]
 ),
 SE_Slope = c(
  clean_summary$std.error[2],
  boot_summary$std.error[2],
  mice_summary$std.error[2]
 ),
 CI_Slope = c(
  sprintf("(%.3f, %.3f)", clean_summary$conf.low[2], clean_summary$conf.high[2]),
  sprintf("(%.3f, %.3f)", boot_ci$percent[4], boot_ci$percent[5]),
  sprintf("(%.3f, %.3f)", mice_summary$`2.5 %`[2], mice_summary$`97.5 %`[2])
 ),
 stringsAsFactors = FALSE
 )
 
# Tampilkan hasil
print(results_table)

##                        Metode Intercept    Slope  SE_Slope       CI_Slope
## 1                Data Lengkap  3.581084 1.412127 0.1079083 (1.198, 1.627)
## 2 Mean Imputation + Bootstrap  3.653794 1.412127 0.1191314 (1.188, 1.603)
## 3                        MICE  3.619991 1.408248 0.1068028 (1.196, 1.621)

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3

# Data untuk plot
results <- data.frame(
 Method = c("Data Lengkap", "Mean Imp + Bootstrap", "MICE"),
 Slope = c(1.412127, 1.412127, 1.408248),
 SE = c(0.1079083, 0.1191314, 0.1068028),
 CI_lower = c(1.198, 1.188, 1.196),
 CI_upper = c(1.627, 1.603, 1.621)
 )

ggplot(results, aes(x = Method, y = Slope, color = Method)) +
geom_point(size = 3) +
geom_errorbar(aes(ymin = CI_lower, ymax = CI_upper), width = 0.2) +
labs(title = "Perbandingan Estimasi Slope dengan Berbagai Metode",
 y = "Estimasi Slope (y ~ x)") +
theme_minimal()

Analisis Perbedaan Estimasi

Estimasi Slope (Koefisien x)
Konsistensi Nilai:

Ketiga metode menghasilkan slope yang sangat mirip (~1.41)
Perbedaan <0.004 (hanya 0.3% variasi)
Indikasi bahwa pola missing tidak terlalu memengaruhi hubungan x-y

Perbedaan Kecil:
- MICE memberikan slope paling rendah (1.408)
- Data lengkap dan mean imputation sama (1.412)

Estimasi Intercept
Variasi Lebih Nyata:

Rentang nilai: 3.581 (data lengkap) hingga 3.654 (mean imputation)
Perbedaan ~0.073 (2% dari nilai intercept)
Mean imputation menghasilkan intercept tertinggi, mungkin karena imputasi mean cenderung menarik intercept ke arah rata-rata dan sedikit bias karena pengisian nilai konstan.

Standard Error (SE) Slope
Konsisten:

SE data lengkap (0.108) vs MICE (0.107) sangat mirip
Mean imputation memiliki SE lebih besar (0.119), mencerminkan ketidakpastian dari imputasi sederhana dan sesuai ekspektasi teori karena mean imputation meremehkan variabilitas

Confidence Interval (CI)
Lebar CI:

Data lengkap: 0.429 (1.426-1.198)
Mean imputation: 0.415 (1.603-1.188)
MICE: 0.425 (1.621-1.196)

Pola Unik:
- Mean imputation memiliki CI paling sempit (bertentangan dengan teori), kemungkinan penyebab:
- Jumlah bootstrap tidak cukup (misal hanya 100 iterasi)
- Missing values sedikit (<10%) sehingga dampak imputasi minimal
- Data yang hilang kemungkinan acak (MCAR)

PSS P12 Bootstrap pada Regresi dan Missing Value

Cindy Pramudita

2025-05-13

Bootstrap dalam Regresi & Estimasi Missing Value

Pendahuluan

Konsep Dasar Bootstrap

Praktikum

Dataset Simulasi

Penjelasan:

Praktikum 1: Bootstrap untuk Regresi (tanpa missing)

Penjelasan:

Praktikum 2: Estimasi pada Missing Value dengan Bootstrap

Catatan penting:

Praktikum 3: Multiple Imputation + Bootstrap

Gabungan Hasil

Analisis Perbedaan Estimasi