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Funciones

permutacion<- function(n,m){
  y = factorial(n)/factorial(n-m)
  return(y)
}

Ejercicio 2.21

Enunciado:
A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para que vaya a uno de los recorridos planeados por la convención?

\[ 6 \times 3 = 18 \ maneras \]

# se usa la regla de la multiplicacion, 6 recorridos * 3 dias
planes <- 6*3;planes
## [1] 18

Ejercicio 2.23

Enunciado:
Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral?

\[ 6 \times 26 = 156 \]

# El alfabeto ingles tiene 26 letras
# se usa la regla de la multiplicacion, lanzar dado (6) * elegir letra (26)
espacio_muestral <- 6*26;espacio_muestral
## [1] 156

Ejercicio 2.25

Enunciado:
Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponible en 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que incluya todos los diversos estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes tendría que mostrar?

\[ 5 \times 4 = 20 \ pares \ diferentes \]

# se usa la regla de la multiplicacion, 5 estilos * 4 colores
zapatos <- 5*4;zapatos
## [1] 20

Ejercicio 2.27

Enunciado: Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o cobertizo, y un patio o un porche cubierto. ¿De cuántos planos diferentes dispone el comprador?

\[ 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48 \ planos \]

# se usa la regla de la multiplicacion, 4 diseños * 3 sistemas * 2 garajes * 2 patios
planos <- 4*3*2*2;planos
## [1] 48

Ejercicio 2.29

Enunciado:
En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carreras se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y las pruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesita realizar?

\[ 3 \times 5 \times 7 \times 2 = 210 \ pruebas \]

# se usa la regla de la multiplicacion, 3 autos * 5 gasolinas * 7 lugares * 2 pilotos
pruebas <- 3*5*7*2; pruebas
## [1] 210

Ejercicio 2.31

Enunciado:
Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable, que huyó, contenía las letras RLH seguidas por 3 dígitos, de los cuales el primero era un 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro de que los 3 eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóviles que la policía tendría que revisar.

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = \frac{9!}{7!} = 72 \]

# se usa permutacion, se eligen 2 digitos distintos entre 9 (el 5 ya es fijo)
posibles_registros <- permutacion(9,2);posibles_registros
## [1] 72

Ejercicio 2.33

Enunciado:
Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo 1 es correcta,

  1. ¿de cuántas formas diferentes puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta?
# 4 opciones por cada una de las 5 preguntas
total_de_formas <- 4^5; total_de_formas
## [1] 1024
  1. ¿de cuántas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta y obtener todas las respuestas incorrectas?
todas_incorrectas <- 3^5; todas_incorrectas
## [1] 243

Ejercicio 2.35

Enunciado:
Un contratista desea construir 9 casas, cada una con diferente diseño. ¿De cuántas formas puede ubicar las en la calle en la que las va a construir si en un lado de ésta hay 6 lotes y en el lado opuesto hay 3?

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = \frac{9!}{0!} = 362880 \]

# se usa permutacion
posibles_ubicacion <- permutacion(9,9);posibles_ubicacion
## [1] 362880

Ejercicio 2.37

Enunciado:
¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños y 5 niñas en una fila, si se deben alternar unos y otras?

Niña – Niño – Niña – Niño – Niña – Niño – Niña – Niño – Niña Primero se permutan las 5 niñas y luego los 4 niños. Así que la solución es:

Hallamos los factoriales: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

multiplicamos factoriales: \[ 5! * 4! = 120 * 24 = 2880 \]

# Número de formas de sentar 5 niñas y 4 niños alternando
factorial(5) * factorial(4)
## [1] 2880

Ejercicio 2.39

Enunciado:
En un concurso regional de ortografía, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral \(S\) para el número de ordenamientos posibles al final del concurso para

  1. los 8 finalistas

En este caso, nos interesa conocer cuántas formas distintas hay de ordenar a los 8 finalistas. Dado que el orden es importante, esto corresponde a:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \]

# Número total de formas de ordenar 8 finalistas
factorial(8)
## [1] 40320
  1. los 3 primeros lugares

Aquí se desea saber cuántas maneras diferentes se pueden asignar los tres primeros puestos entre los 8 finalistas. Se usa la fórmula de permutaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\):

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = \frac{8!}{5!} = 336 \]

# Número de formas de ordenar los tres primeros lugares entre 8 finalistas
factorial(8) / factorial(8 - 3)
## [1] 336

Ejercicio 2.41

Enunciado:
Encuentre el número de formas en que se puede asignar 6 profesores a 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna a más de una sección.

La fórmula general es:

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]

Sustituyendo con \(n = 6\) y \(r = 4\):

\[ P(6, 4) = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!} \]

Calculamos los factoriales:

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

\[ \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \]

# Número de formas de asignar 6 profesores a 4 secciones
factorial(6) / factorial(6 - 4)
## [1] 360

Ejercicio 2.43

Enunciado:
¿De cuántas maneras se pueden plantar 5 árboles diferentes en un círculo?

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

# Numero de formas de plantar 5 arboles en un ciruclo 
factorial(4) 
## [1] 24

Ejercicio 2.45

Enunciado:
¿De cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra INFINITO?

La fórmula general es:

\[ P = \frac{n!}{k!*k_1!} \]

Se plantea de esta forma por que existe 3I y 2N, sustituyendo con \(n = 8\) y \(k = 3\) y \(K_1=2\):

\[ P = \frac{8!}{(3)!\times(2)!} \]

Calculamos los factoriales:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3! = 6720 * 3! \]

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

\[ \frac{8!}{3! * 2!} = \frac{6720*3!}{2} = 3360 \]

# Numero de permutaciones para la palabra INFINITO, siguiendo el teorema 2.4 pg 71
factorial(8) / (factorial(3)*factorial(2))
## [1] 3360

Ejercicio 2.47

Enunciado:
¿De cuántas formas se puede seleccionar a 3 de 8 candidatos recién graduados, igualmente calificados, para ocupar las vacantes de un despacho de contabilidad? La fórmula general es:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Si sabemos que n es en numero total de lementos que son 8.

Si sabemos que k es en numero total de eleme tos a seleccionar que son 3.

Sustituyendo con \(n = 8\) y \(k = 3\):

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{8!}{3!*5!} \]

Calculamos los factoriales:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! = 336*5! \]

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Así que obtenemos: \[ \frac{8!}{5! * 2!} =\frac{336 * 5!}{5! * 3!} = \frac{336}{6} = 56 \]

# Número de formas de asignar 6 profesores a 4 secciones
factorial(8) /(factorial(3)*factorial(8 - 3)) 
## [1] 56