Diagramas Causales, Estructura y Comportamiento de Sistemas Dinámicos

Instrucciones y recomendaciones

  1. Cada estudiante debe entregar de manera individual su trabajo y es responsable de manera individual por la calidad de los productos entregados.
  2. La colaboración grupal es deseable durante la resolución de esta tarea, pero cada estudiante debe demostrar capacidad crítica individual en la resolución de los ejercicios descritos en este documento.
  3. La presentación de tu trabajo es muy importante. Da ideas concisas y claras en tu exposición, describe adecuadamente tus gráficos y empléalos para hacer más claros y contundentes tus argumentos. No escribas argumentos o ideas incompletas, concluye tus pensamientos de manera adecuada.
  4. Si empleas tablas y/o gráficos, asegúrate de incluir notas para cada uno de ellos. Cada elemento gráfico en tu exposición debe explicarse por sí mismo. Toma como referencia las anotaciones que Sterman hace en figuras y tablas en el libro de texto.
  5. Revisa cuidadosamente cada inciso, responde a la totalidad de las preguntas.
  6. No te limites a la información presentada en cada caso. Si consideras que los casos son incompletos busca de manera individual más información y referencia adecuadamente tus fuentes.
  7. Es altamente recomendable consultar el libro de texto para resolver los ejercicios descritos en esta tarea.

Problema 1: Creación de COLs (Collaborative Online Learning) y MOOCs (Massive Online Open Courses) (20 puntos)

Descripción del caso:

The board of directors of a university would like to know whether it is a good idea to start a “traditional” online distance learning programme in addition to the regular on-site programme. The members of the board would like to gain an understanding of the likely dynamics of the number of online students and on-site students over time. Similar programmes elsewhere show that:

Students enroll when entering the programme, and unenroll when finishing the programme or when quitting. The annual number of students that passes the programme is equal to a percentage of the total number of online students, which is lower than the percentage of on-site students passing. Students unenroll due to dissatisfaction with the programme. Dissatisfaction is mainly caused by the perceived quality of the teaching. Enrollment is directly proportional to the tuition fee, the perceived quality of the programme, and is highly dependent on word of mouth advertisement by current and former students. The more students there are in the online programme, the lower the costs per student.

The quality of the teaching/professors depends on experience, expertise, and motivation. Motivation is inversely proportional to their workload and the number of complaints. Complaints are the direct result of the deterioration of the quality. Improving the educational quality raises the cost per online student. And long term teaching overload results in loss of expertise.

A traditional online programme may attract students that would otherwise enroll in the onsite programme, and hence, cannibalize the on-site programme. The work related to the online programme would have to be done by the professors that teach the on-site programme, in addition to their high workload for the on-site programme.

But what if (i) new online courses would not cost professors any additional time after the materials have been developed, (ii) there would be no limit to the number of students that could follow the online course, (iii) there would almost be no costs per student, (iv) these cases would generate a lot of attention, and they would result in attracting brighter students in more advanced and fun courses to teach? Those are the promises of Massive Online Learning Courses or MOOCs.

Preguntas del caso:

1.1. Desarrolla el diagrama causal del caso (10 punto, producto: diagrama causal)

1.2. Formula la hipótesis dinámica del comportamiento del sistema. Enfócate en el comportamiento de las variables que consideres son más relevantes. Describe gráficamente tu hipótesis dinámica (7 puntos, productos: hipótesis dinámica y gráfico que la respalde)

Hipotesis Dinámica - ¿Ya no habrá mas estudiantes presenciales?

Revisando nuestro diagrama causal, podemos observar un ciclo de reforzamiento con los alumnos que se encuentran inscritos en el modo online, ya que al haber más estudiantes los costos de tuition por estudiante disminuyen. Esto podría implicar una tendencia a la alza dejando atrás la modalidad presencial sin embargo, esto aumenta la carga de trabajo de los profesores y al sentirse sobrepasados puede afectar su motiviacion generando descontento entre los estudiantes y que el número de quejas aumente. Una de las variables más importantes para este diagrama es el número de estudiantes que se inscriben, por lo que el número de quejas y la falta de motivación de los profesores puede afectar como se percibe la calidad de la enseñanza y por ende que el número de estudiantes inscritos (tanto presencial como onlie) disminuya.

Por lo que si el crecimiento del programa online continua, sin tener algun cambio en el workload de los profesores, y se mantiene sostenible la cantidad de estudiantes presenciales continuará siendo reducida, y eventualmente podría estabilizarse en un número mucho más bajo que el de los estudiantes online.

## Loading required package: shape
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

1.3. ¿Qué aconsejarías hacer a la junta directiva?, ¿deben invertir en estos cursos?, justifica tu respuesta (3 puntos, producto: justificación de la recomendación solicitada)

El tener una modalidad online para estudiantes puede abrir las puertas para un mercado desatendido al ser flexible y más economico para los estudiantes, lo crucial será el cómo para que no implique una “canibalización” a los estudiantes presenciales. Uno de los puntos que nos da una pista de las decisiones que se tienen que explorar es: But what if (i) new online courses would not cost professors any additional time after the materials have been developed,

Con inversión en infraestructura en la escula, se pueden adaptar las aulas para que las clases se puedan llevar tanto de manera presencial como de manera virtual. Esto para los profesores supondría no tener que preparar material para dos clases e incluiria a los alumnos que se encuentran de manera virtual a interactuar también con los alumnos que se encuentran de forma presencial.

Las quejas de los estudiantes por baja calidad pueden ser un factor limitante, por lo que es fundamental asegurar que los recursos docentes sean adecuados y esten calificados y familiarizados con recursos tecnologicos para poder garantizar la calidad y experiencia educativa en ambos formatos. Adicional, la universidad debe asegurarse de mantener un equilibrio en la oferta y establecer un número limite de estudiantes por materia / profesor.

Recomendación final: La inversión es programa online es una decisicion estrategica de crecimiento, esta debe ser implementada de manera gradual y controlada asegurando que se invierten recursos para que pueda tener exito.

Problema 2: Combate contra los delitos de alto impacto (20 puntos)

Descripción del caso:

Suppose that burglaries are mainly committed by members of the organized crime (OC) and by occasional thieves. Burglaries by members of the OC and burglaries by occasional burglars then largely determine the total number of burglaries.

The Netherlands is such a small country and organized crime so well organized that the amount of burglaries by members of the OC depends largely on the effective chance of being caught for burglary in the Netherlands versus the chance of being caught for burglary in neighboring countries. The effective chance of being caught for burglary is proportional to the well-spent police man-hours available for burglaries and inversely proportional to the total police man-hours required for burglaries. Assume the police system is flexible but also rather inert: if total police man-hours required for burglaries increases/decreases, then so do the police man-hours available for burglaries, but with a delay.

Burglaries by occasional thieves mainly depend on the percentage of houses with opportunities for burglaries, which is seasonal (more in winter less in summer) and influenced by the relative media attention with regard to burglaries. The latter is proportional to the total number of burglaries divided by the acceptable number of burglaries.

Preguntas del caso:

2.1. Desarrolla el diagrama causal del caso (10 punto, producto: diagrama causal)

2.2. Formula la hipótesis dinámica del comportamiento del sistema. Enfócate en el comportamiento de las variables que consideres son más relevantes. Describe gráficamente tu hipótesis dinámica (7 puntos, productos: hipótesis dinámica y gráfico que la respalde)

Hipotesis Dinámica

En este diagrama podemos observar que el número de burglaries by OC members depende de las horas disponibles por policia dedicadas a robos y de la efectividad / probabilidad de ser atrapado, esto sugiere que si hay más robos se necesitarán más recursos policiales lo que eventualmente disminuira la probabilidad de ser atrapado ya que los recursos policiales disponibles tendrán más casos. Más recursos pueden ser asignados, sin embargo se tiene un delay en el proceso. Esto podría llevarnos a un aumento de robos si la probabilidad de sere atrapado se percibe como baja.

Por otro lado, tenemos un ciclo de balanceo con los burglaries by burglars ya que entre más robos, llamará la atención de los medios de comunicación y amplificará la percepción de inseguridad llevando a que la gente sea más consiente de ello.

2.3. Diseña una política que ayude a reducir el número de burglaries, gráfica el nuevo comportamiento del sistema al incluir tu política y comparalo con tu hipótesis dinámica sin política (3 puntos, producto: gráfico contrastando el comportamiento de la hipótesis dinámica con la política propuesta)

Politica propuesta

Reducir el número de burglaries totales al disminuir el porcentaje de casas con oportunidades de ser robada a través de campañas aumentando la percepción de ser victima de run robo. Un aumento en la percepción de riesgo de ser víctima de algun robo reduce el número de robos cometidos por ladrones ocasionales, ya que genera una mayor conciencia y prevención tanto entre las víctimas como en la comunidad. Esta es una forma de retroalimentación negativa: mayor seguridad percibida genera menos robos.

Con la politica propuesta queremos que el número de robo disminuya gradualmente hasta estabilizarse en números bajos. En comparación con el grafico anterior, este no muestra picos ya se pretende tener una tendencia más plana y controlada.

Problema 3: Modelando la epidemia COVID (30 puntos)

Este problema tiene como objetivo guiarte en el desarrollo y análisis de un modelo dinámico empleando el lenguaje de programación R. El objetivo es que te familiarices con las herramientas de análisis en R y que inicies el desarrollo de tus propios modelos dinámicos. Para este efecto tomaremos como referencia el caso de la epidemia COVID-19, basándonos en el modelo básico de SARS descrito por Sterman (2013).

Descripción del caso:

Para iniciar tomaremos como referencia el diagrama “stock-flow” de Sterman (2013) mostrado en la siguiente figura.

Como primer paso haremos un listado del tipo de variables en el modelo:

Variables de Estado (Stock variables)

  • Population Susceptible to COVID
  • Population Infected with COVID

Variables de flujo (flow variables)

  • Infection Rate

Variables auxiliares endógenas (endogenous auxiliary variables)

  • Susceptible Contatcs
  • Probability of Contact with Infected Person
  • Contacts Between Infected and Uninfected People

Parámetros de simulación (variables en la frontera del sistema o exogenous auxiliary variables)

  • Contact Frequency
  • Total Population
  • Infectivity

Esta clasificación es útil para organizar el espacio de trabajo en Rstudio.

Tutorial de modelado del caso en R:

Iniciaremos por definir este modelo dinámico como una función definida por el usuario siguiendo los siguientes pasos.

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

Declara el espacio de trabajo como una función definida por el usuario. En este caso sólo tienes que cambiar el nombre de la función, manteniendo el template que hemos usado en otros modelos

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
      
    list(c())
  })
}

Ahora agregaremos las variables de estado y los flujos asociadas a ellas. Iniciaremos con la variable de estado “Population Susceptible to COVID” como se muestra en el chunk siguiente.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-
      
    list(c())
  })
}

Nota que en R las variables no pueden ser nombradas con espacios. De manera que esta variable de estado es nombrada como: “population.susceptible.to.COVID” nota también que las variables de estado son precedidas por el símbolo diferencial “d” para indicar que esta es una variable de estado, la sintaxis completa es: “dpopulation.susceptible.to.COVID”. Después de este paso habrás creado exitosamente la primera variable de estado del modelo.

Una práctica muy recomendable es documentar tus modelos. En R puedes hacer esto empleando el símbolo “#” y escribiendo delante de éste una breve descripción de la variable que estas representando. Además de describir la variable que estas creando es muy recomendable escribir también las unidades de medición de tu variable. El siguiente chunk muestra un ejemplo:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    #The population susceptible to COVID is equal to the 
    #population susceptible prior to the onset of the disease
    #less all of those that have contracted it
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, la variable “Infection.Rate” está conectada a la variable de estado como un flujo de salida (i.e. outflow variable), esta estructura se modela como se muestra en el chunk anterior. Nota que esta variable de flujo afecta con signo negativo a la variable de estado. Este signo negativo específica a esta variable de flujo como un flujo de salida.

Podemos seguir un proceso similar para modelar y documentar la segunda variable de estado “population.infected.with.COVID” como se muestra en la siguiente figura. Nota que en este caso la variable de flujo “Infection.Rate” es modelada como un flujo de entrada (i.e. inflow variable) y por esta razón no se incluye un signo negativo y nota también que la variable de estado “population.infected.with.COVID” es especificada precedida del signo diferencial “d”.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, en este modelo solo existe una sola variable de flujo que está conectada a las variables de estado. Esta variable de flujo es determinada por dos variables auxiliares: “Contacts between Infected and Uninfected People” e “Infectivity”. Para este caso especificamos la variable de flujo “Infection.Rate” como la multiplicación simple de estas dos variables auxiliares tal como se muestra en la siguiente figura. Nota que al agregar esta nueva variable también hemos incluido la documentación que describe esta variable y sus unidades de medición.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir la variable de flujo “Infection.Rate” hemos agregado dos nuevas variables que debemos especificar. La variable “Contacts between Infected and Uninfected People” es una variable auxiliar endógena que es determinada por la variable “Susceptible Contacts” y la variable “Probability of Contact with Infected Person” esta interacción es especificada de la siguiente manera:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir esta nueva variable hemos agregado dos nuevas variables auxiliares endógenas que debemos definir. La primera variable “Susceptible Contacts” es determinada por la variable de estado “Population Susceptible to COVID” y por la variable “Contact Frequency” y es especificada como se muestra en la figura siguiente. Nota que en esta ocasión al emplear la variable de estado para definir otra variable endógena auxiliar no es necesario usar el símbolo diferencial antes de la variable de estado.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

La última variable endógena auxiliar por modelar es la variable “Probability of Contact with Infected Person”. De manera similar al caso anterior, esta variable es determinada por la variable de estado “population infected with COVID” dividida por la variable exógena auxiliar “Total Population”

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Esto concluye la especificación de todos los elementos endógenos del modelo. El siguiente paso es especificar los valores de los parámetros (i.e. variables auxiliares exógenas), las condiciones iniciales de las variables de estado, el horizonte temporal de análisis y el método de integración para la simulación.

En nuestro modelo hemos especificado tres parámetros: “Contact Frequency”, “Total Population” e “Infectivity”.

En R podemos especificar los parámetros del modelo empleando un vector como se muestra en la siguiente figura. Nota que el nombre de los parámetros es idéntico al nombre empleando en la especificación descrita en los pasos anteriores. También nota que cada parámetro está asociado a un valor numérico único para el cual correremos el modelo de simulación. Finalmente nota que para cada parámetro se especifican sus unidades de medición.

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

De igual manera podemos emplear un vector en R para definir las condiciones iniciales de cada variable de estado, esto se muestra en la siguiente figura. Nuevamente el nombre de las variables de estado es idéntico al empleado en la especificación de la modelo y cada variable de estado es inicializada a un valor único.

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

Ahora es necesario especificar el vector de tiempo que será usado para simular el modelo. Esta especificación se lleva a cabo como se muestra en la siguiente figura. Nota que para especificar este vector de tiempo empleamos la función seq(). Esta función crea una secuencia numérica y requiere tres parámetros: valor inicial, valor final e intervalo de crecimiento. En nuestro modelo dinámico estos tres parámetros representan el tiempo inicial de la simulación, el tiempo final de la simulación y la resolución temporal de la simulación. Nota que para cada parámetro hemos indicado la unidad de tiempo correspondiente.

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

Aún no discutimos con detalle las propiedades de los diferentes métodos de integración que podemos emplear para simular nuestro modelo. Por lo pronto, para este ejercicio, elegiremos el método Runge-Kutta de Orden 4, en clases subsecuentes estudiaremos las propiedades de otros métodos de integración. La figura siguiente muestra la forma de especificar este método de integración.

intg.method<-c("rk4")

El último paso en el proceso de especificación del modelo es elegir las variables que serán “impresas” por la simulación. Este es un paso muy importante ya que nos permite elegir las variables que deseamos analizar. La figura siguiente muestra la forma de especificar las variables a imprimir por el modelo. Nota que esto es especificado en la última línea de código de la función contiene nuestro modelo dinámico. Nota también que en este caso hemos elegido imprimir sólo las variables de estado y que ambas están precedidas por el signo diferencial “d” y son concatenadas empleando la función c().

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

Esto concluye la especificación del modelo de simulación. El siguiente paso es ejecutar este código y llevar a cabo la simulación. Corre los chunks que contienen la librería deSolve, los vectores que guardamos como parameters, InitialConditions, times e intg.method, y también corre el chunk de la función covid.epidemic.

Una vez realizado esto, en la consola de R ya están cargados tanto el modelo como todos los parámetros necesarios para llevar a cabo la simulación, pero aún no hemos generado datos de la simulación. Para hacer esto, crearemos una base de datos “out” que contiene los resultados de la simulación empleando la función “ode”. Nota que la función “ode” emplea como parámetros de entrada condiciones iniciales de las variables de estado del modelo, el vector de tiempo, la función covid.epidemic que describe nuestro modelo, las variables exógenas (i.e. parámetros) y el método de integración. Todos estos elementos los hemos definido ya en los pasos anteriores.

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

Si has hecho esto correctamente verás un nuevo objeto llamado “out” listado en el panel superior derecho.

El paso final es analizar gráficamente los resultados para esto emplea la función “plot”

plot(out,
     col=c("blue"))

Preguntas del caso:

3.1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado. Toma en cuenta que el modelo que envíes será revisado en términos de las sintaxis del código, pero fundamentalmente en términos de su funcionalidad. Un modelo que no funcione al ser ejecutado será penalizado notablemente (2 puntos, productos: chunk con el modelo).

library("deSolve")
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
    
    
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out_COVID <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("blue"))

3.2. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación (2 puntos, productos: grafico de simulación y breve descripción).

Con la variable “Population Infected with COVID” en cero obtenemos una línea recta en sin cambios ya que al no haber ningun infectado por el cual comenzar le propagación, no habría población expuesta y por ende no tendríamos contagiados.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
    
    
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("blue"))

3.3. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero? (2 puntos, productos: gráfico de simulación y breve descripción).

Para este ejemplo cambiamos el valor a 5 - haciendo la comparación con el primero ejemplo con una población inicial infectada de 1) no se ve un cambio tan drástico. Podemos notar que el número de población suceptible a COVID aumenta más rápido pasando de 108 días a 43 días para llegar al 100% de la población infectada. El valor final pasa de 350 a 354 lo que me hace suponer que hay personas que se vuelven a contagiar.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
    
    
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 5)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("purple"))

3.4. ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with COVID”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación (4 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados).

Modificando el valor de “Contact Frequency” a 9, el valor final no se modifica, siendo este 350 que es el número total de nuestra población sin embargo este llega a un 100% de población infectada en solo 29 días.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
    
    
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 9, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("green"))

3.5. ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta (6 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados).

En este caso podemos ver como el “Infection Rate” tiene un impacto exponencial en relación al número de población infectada y el tiempo en el que este logra alcanzar el 100% de población, En el ejemplo 1 utilizamos 0.7 de “Infection Rate” el cual en solo 18 días alcanzamos el 100% de la población y en el ejemplo 2 utilizamos 0.2 llegando al 100% en 54 días. Esta variable es externa y dificil de controlar, por lo que la iniciativa que se tomo de mantenerse aislado y reducir el número de eventos sociales fue una de las medidas principales para evitar que aumentara la propagacion.

library("deSolve")
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
    
    
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

# Ejemplo 1
parameters<-c(Infectivity = 0.7, # [1] Aumentamos el valor de infection rate
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("orange"))

# Ejemplo 2
parameters<-c(Infectivity = 0.2, # [1] dimmensionless # increase this value
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("orange"))

3.6. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas. Uno o dos párrafos son más que suficientes para responder este punto (2 puntos, productos: respuesta textual).

Este modelo, aunque muy util, no logra capturar toda la complejidad que supuso la pandemia por COVID19. Por ejemplo, no tiene en cuenta la mortalidad de la población o factores importantes como la vacunación o las variantes del virus que se tuvieron. También asume que las personas susceptibles e infectadas siguen un proceso muy lineal, cuando en la realidad podrían influir muchos otros factores como el comportamiento social o los cambios en el virus. Algunas suposiciones del modelo que ecuentro un tanto irrealistas son:

Caracteristicas de la Población ya que no toma en cuenta las diferencias como edad, salud, o la frecuencia de contacto entre las personas.

No considera la recuperación ni la mortalidad

Inmunidad / Vacunación - el modelo ignora factores como las vacunas, las personas inmunes o que ni se enteraron que tuvieron el virus y las variantes del virus unas más contagiosas que otras.

En el punto anterior identificaste algunas suposiciones irrealistas. Las siguientes preguntas tienen como objetivo que explores que sucede cuando se expanda el modelo para atender sus limitaciones.

Hasta el momento hemos asumido que la población se mantiene infectada con el virus COVID de manera indefinida. En epidemiologia esto se conoce como el modelo SI (i.e. Susceptible-Infectious). El modelo SI es apropiado para representar enfermedades crónicas para las que no existe una cura. Sin embargo, en el caso de muchas enfermedades infecciosas, incluyendo COVID, SARS, viruela o influenza, las personas infectadas pueden recuperarse o en los casos más lamentables morir.

El siguiente diagrama stock-flow expande la estructura del modelo base para describir el proceso de recuperación de la población infectada con COVID. Esta expansión del modelo en epidemiología es conocida como el modelo SIR (i.e. la “R” indica “Recovery”). Sigue las instrucciones siguientes para expandir el modelo del tutorial.

El diagrama stock-flow muestra que debes agregar tres variables nuevas: una nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, una nueva variable de flujo “Recovery Rate” (por simplicidad no distinguiremos entre los pacientes que se recuperan y aquellos que mueren) y un nuevo parámetro “Average Duraction of Infection”.

El parámetro “Average Duraction of Infection” indica el tiempo promedio (i.e. en días) que una persona permanece infectada con el virus COVID. Los epidemiólogos estiman que la fase de infección del COVID tiene una duración promedio de 7 a 21 días. Emplea tu criterio para elegir el valor de este parámetro.

Existen muchas formas de modelar la variable de flujo “Recovery Rate” pero la especificación empleada con mayor frecuencia es la siguiente: Recovery Rate=Population Infected with COVID/Average Duration of Infectivity

Para implementar exitosamente esta estructura en el modelo es necesario que especifiques que esta nueva variable de flujo afecta también a la variable de estado existente “Population Infected with COVID” de la siguiente manera (i.e. sintaxis en R):

dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate

También es necesario agregar nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, esto lo puedes lograr empleando la siguiente especificación:

dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate

Recuerda que al agregar una nueva variable de estado es necesario que indiques en el vector de condiciones iniciales el valor inicial de esta variable y también indicar en la última línea de código de la función “covid.epidemic” que esta nueva variable de estado será impresa por la simulación:

list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))

Emplea esta nueva versión del modelo para responder a las siguientes preguntas:

3.7. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo? (10 puntos, productos: nueva versión del modelo, gráficos con comportamiento de las tres variables de estado).

Al agregar las variables de “Recovery Rate” y “Population Recovered from COVID”, el modelo se vuelve más realista. La población infectada disminuye a medida que las personas se recuperan, lo que reduce la propagación de la enfermedad y la población recuperada aumenta con el tiempo haciendo un poco más estable el sistema. El modelo ahora muestra oscilaciones en el número de infectados, con algunos picos y después una estabilización.

library("deSolve")
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected <- population.infected.with.COVID / Total.Population  # dimensionless
    Susceptible.Contacts <- population.susceptible.to.COVID * Contact.Frequency  # [people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People <- Susceptible.Contacts * Probability.of.Contact.with.Infected  # [people/time]
    
    #Flow variables
    Infection.Rate <- Infectivity * Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People  # [people/time]
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID / Average.Duration.of.Infection  # [people/time] (nueva variable de flujo)
    
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate-Recovery.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
    dpopulation.infected.with.COVID,
    dpopulation.recovered.from.COVID)) 
  })
}

parameters <- c(Infectivity = 0.1,  # [1] dimensionless
                Contact.Frequency = 2,  # [people/day]
                Total.Population = 350, # [people]
                Average.Duration.of.Infection = 14)  # días (suponiendo un promedio de 14 días de infección)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1,
                       population.recovered.from.COVID = 0) # 0 personas recuperadas inicialmente

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

intg.method<-c("rk4")

out_COVIDFULL <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

# Graficar los resultados
plot(out_COVIDFULL[, "time"], out_COVIDFULL[, "population.susceptible.to.COVID"], 
     type = "l", col = "blue", xlab = "Tiempo (días)", ylab = "Número de Personas", 
     main = "Evolución de la Población Susceptible, Infectada y Recuperada con COVID")
lines(out_COVIDFULL[, "time"], out_COVIDFULL[, "population.infected.with.COVID"], col = "red")
lines(out_COVIDFULL[, "time"], out_COVIDFULL[, "population.recovered.from.COVID"], col = "green")

# Agregar la leyenda
legend("topright", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"), 
       col = c("blue", "red", "green"), lty = 1)

3.8. Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”. Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base. Usa una concisa y breve descripción textual y gráfica (2 puntos, productos: descripción de comportamiento, gráficos describiendo el comportamiento del modelo).

Para el ejemplo 1 se utilizo Contact.Frequency = 2 y Infectivity = 0.7 con este cambio lo que antes era una campana para la variable de personas infectadas, ahora se vuelve un pico en los primeros 20 días el cual va disminuyendo conforme las persoans infectadas se van recuperando.

Para el ejemplo 2 se utilizo Contact.Frequency = 7 y Infectivity = 0.1, el comportamiento es bastante similar a lo que observamos en el ejemplo 1, el cambio mas significativo es la variable de personas susceptibles, alargando el tiempo en el que logra estabilizarse.

Los dos ejemplos alcanzan el 100% de la población en 120 días.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

Problema 4: Pandillas y carreras armamentistas (30 puntos)

Descripción del caso:

Arms races are escalation processes between two (or more) nations or parties in a conflict that ‘watch each other and [both] respond to [uncertain] arming activities of their opponent with [relatively greater] arming activities of their own’ (Bossel 2007c, p36). The amount of weapons held by one party may actually deter the other party from attacking and vice versa, resulting in a situation of escalating armed peace. This exercise is based on the escalation model described in (Bossel 2007c, Z507).

Suppose there are two gangs, gang A and gang B. Initially, the arms stock of gang A amounts to 100% of the weapons needed to destroy gang B, and the arms stock of gang B amounts to 100% of the weapons needed to destroy gang A. The arms stock of gang A only in/decreases via the arming of gang A and the arms stock of gang B only in/decreases via the arming of gang B. Suppose that the arming of both gangs depends on an autonomous arming rate due to their intrinsic interest in arms and arming –the autonomous arming rate A and autonomous arming rate B respectively– and on an arming rate relative to the expected first order arming of the adversary, that is, the arming of gang B from the point of view of gang A without consideration of the arming of gang A and vice versa. This relative arming rate of gang A –in terms of the weapons needed to destroy gang B– then equals the product of the overassessment factor of gang B arming by gang A, the arms obsolescence rate of gang A, and this arms stock of gang B minus the arms obsolescence rate of gang A times the arms stock of gang A. The same applies to gang B: the relative arming rate of gang B –in terms of the weapons needed to destroy gang A– equals the product of the overassessment factor of gang A arming by gang B, the arms obsolescence rate of gang B and the arms stock of gang A minus the arms obsolescence rate of gang B times the arms stock of gang B. Assume that the autonomous arming rate of gang A and the autonomous arming rate of gang B are both equal to 5% of the weapons needed to destroy the other gang per month and that both arms obsolescence rates equal 10% of the weapons needed to destroy the other gang per month.

Preguntas del caso:

4.1. Desarrolla el diagrama causal del caso (10 puntos, producto: diagrama causal)

4.2. Construye un modelo de dinámica de sistemas de este caso de estudio, suponiendo que la banda A sobreestima el armamento de la banda B en un 10%, es decir, overassessment factor of gang A arming by gang B es 110%, y que la banda B estima correctamente el armamento de la banda A, es decir, overassessment factor of gang A arming by gang B es 100%. Simula el modelo durante un periodo de 100 meses. (15 puntos, producto: modelo en R mostrando el ‘plot’ del comportamiento de las variables de estado)

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

InitialConditions <- c(armsstockofgangA = 100/100 ,
                       armsstockofgangB = 100/100)

times <- seq(0 , #initial time, months
             100 , #end time, months
             1 ) #time step, months

arms <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    relativearmingrateofgangA <- (overassessmentfactorofgangBarmingbygangA * armsobsolescenserateofgangA * armsstockofgangB) - (armsobsolescenserateofgangA * armsstockofgangA)
    relativearmingrateofgangB <- (overassessmentfactorofgangAarmingbygangB * armsobsolescenserateofgangB * armsstockofgangA) - (armsobsolescenserateofgangB * armsstockofgangB)
      
    #Flow variables
    armingofgangA <- autonomousarmingrateA + relativearmingrateofgangA
    armingofgangB <- autonomousarmingrateB + relativearmingrateofgangB
    
    #State (stock) variables
    darmsstockofgangA <- armingofgangA
    darmsstockofgangB <- armingofgangB
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c(darmsstockofgangA,darmsstockofgangB))
  })
}

parameters<-c(autonomousarmingrateA = 5/100,
              autonomousarmingrateB = 5/100,
              overassessmentfactorofgangBarmingbygangA = 100/100,
              overassessmentfactorofgangAarmingbygangB = 110/100,
              armsobsolescenserateofgangA = 10/100,
              armsobsolescenserateofgangB = 10/100)
              
intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = arms,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("purple"))

4.3. Describe textualmente tu hipótesis dinámica de este caso. ¿Qué comportamientos identficas? (2 puntos, producto: descripción de la hipótesis dinámica)

Al observar la gráfica, parece que tanto Gang A como Gang B están aumentando su stock de armas de manera similar a lo largo del tiempo con una tendencia al alza, teniendo como resultado final 7.8 para Gang A y 8.2 para Gang B. Ambas se arman de manera autónoma a una tasa fija, pero también ajustan sus tasas de armamento en función de las armas que posee la otra pandilla. Esto crea un ciclo de retroalimentación mutua, donde el aumento de armas en una pandilla genera una respuesta proporcional en la otra.

4.4. Ahora supongamos que la banda A subestima el armamento de la banda B en un 50%, es decir, que overassessment factor of gang B arming by gang A es del 100%-50% o del 50%, y que la banda B evalúa correctamente el armamento de la banda A, es decir, que overassessment factor of gang A arming by gang B es del 100%. Cambia el o los parámetros correspondientes y vuelve a simular el modelo durante un período de 100 meses. ¿Qué comportamiento muestra la simulación?, ¿por qué? (3 puntos, producto: descripción textual y gráfica del nuevo comportamiento del sistema)

De acuerdo con la gráfica, se observa que la Gang A muestra un crecimiento más lento en su stock de armas en comparación con la Gang B, lo que refleja la subestimación del armamento. La Gang B, al evaluar correctamente la amenaza, responde de manera más rápida causando un aceleración pronunciada al inicio en su arsenal pero siguiendo la tendencia del Gang A. Al final del día el resultado del armamento total se mantiene igual para ambos.

library("deSolve")

# Modelo de las pandillas
arms <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state, parameters)), {
    # Variables auxiliares
    relativearmingrateofgangA <- (overassessmentfactorofgangBarmingbygangA * armsobsolescenserateofgangA * armsstockofgangB) - (armsobsolescenserateofgangA * armsstockofgangA)
    relativearmingrateofgangB <- (overassessmentfactorofgangAarmingbygangB * armsobsolescenserateofgangB * armsstockofgangA) - (armsobsolescenserateofgangB * armsstockofgangB)
    
    # Variables de flujo
    armingofgangA <- autonomousarmingrateA + relativearmingrateofgangA
    armingofgangB <- autonomousarmingrateB + relativearmingrateofgangB
    
    # Variables de estado (stocks)
    darmsstockofgangA <- armingofgangA
    darmsstockofgangB <- armingofgangB
    
    list(c(darmsstockofgangA, darmsstockofgangB)) 
  })
}

# Parámetros modificados
parameters <- c(autonomousarmingrateA = 5 / 100,  # 5% al mes
                autonomousarmingrateB = 5 / 100,  # 5% al mes
                overassessmentfactorofgangBarmingbygangA = 0.5,  # Subestimación del 50% de la Pandilla A hacia la Pandilla B
                overassessmentfactorofgangAarmingbygangB = 1.0,  # Evaluación correcta de la Pandilla B hacia la Pandilla A
                armsobsolescenserateofgangA = 10 / 100,  # 10% de obsolescencia al mes
                armsobsolescenserateofgangB = 10 / 100,  # 10% de obsolescencia al mes
                Total.Population = 350)  # Tamaño total de la población (suma de ambas pandillas)

# Condiciones iniciales
InitialConditions <- c(armsstockofgangA = 100 / 100,  # 100% del armamento necesario para destruir a la otra pandilla
                       armsstockofgangB = 100 / 100)  # 100% del armamento necesario para destruir a la otra pandilla

# Tiempo de simulación (100 meses)
times <- seq(0, 100, 1)

# Método de integración
intg.method <- c("rk4")

# Ejecutar la simulación
out_COVID5 <- ode(y = InitialConditions,
                  times = times,
                  func = arms,
                  parms = parameters,
                  method = intg.method)

# Graficar los resultados
plot(out_COVID5[, "time"], out_COVID5[, "armsstockofgangA"], 
     type = "l", col = "purple", xlab = "Tiempo (meses)", ylab = "Stock de Armas de la Pandilla A",
     main = "Evolución del Stock de Armas de las Pandillas A y B")
lines(out_COVID5[, "time"], out_COVID5[, "armsstockofgangB"], col = "orange")

legend("topright", legend = c("Pandilla A", "Pandilla B"), 
       col = c("purple", "orange"), lty = 1)