🎯 Comprender que una raíz n-ésima puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario, y aplicar esta equivalencia para simplificar expresiones numéricas o algebraicas.
📘 Sea \(a \in \mathbb{R}^+\) y \(n \in \mathbb{N}\). La raíz n-ésima de un número real positivo puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario. Esta relación se expresa como:
\[\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\]
📐 Sea \(a \in \mathbb{R}^+\) y \(m,n \in \mathbb{N}\). Toda raíz n-ésima de una potencia se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario. Esta equivalencia se representa como:
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
🔍 E1. Expresar a potencia el número \(\sqrt{5}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{5}=5^{1/2}\)
🔍 E2. Expresar a potencia el número \(\sqrt[4]{2^3}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[4]{2^3}=2^{3/4}\)
🔍 E3. Expresar a potencia el número \(\sqrt[7]{81}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[7]{81}=\sqrt[7]{3^4}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[7]{81}}=3^{4/7}\)
🔍 E4. Expresar a potencia el número \(\sqrt[10]{2^5}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[10]{2^5}=2^{5/10}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[10]{2^5}}=2^{1/2}\)
🔍 E5. Expresar a potencia el número \(\sqrt[9]{25^7}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[9]{25^7}=\sqrt[9]{(5^2)^7}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[9]{25^7}}=\sqrt[9]{5^{14}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[9]{25^7}}=5^{14/9}\)
⁉️ P1. ¿Cuál es la forma en potencia del número \(\sqrt{3}\)?
⁉️ P2. ¿Cómo se escribe \(\sqrt[4]{2^3}\) como una potencia?
⁉️ P3. ¿Cuál es la forma en potencia de \(\sqrt[5]{243^4}\)?
⁉️ P4. ¿Cómo se representa \(\sqrt[6]{25^4}\) como potencia con base \(5\)?
⁉️ P5. ¿Cuál es la forma equivalente de \(\sqrt[3]{16}\) como potencia de base \(2\)?
🧠 S1. La raíz n-ésima de un número real positivo puede expresarse como una potencia con exponente fraccionario, lo que se representa como:
\[\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\]
🧠 S2. Si la raíz contiene una potencia en su interior, como \(\sqrt[n]{a^m}\), también puede escribirse como:
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
🎯 Aplicar la equivalencia entre raíz n-ésima y potencia de exponente fraccionario para simplificar expresiones radicales, reescribiéndolas de forma compacta.
📐 Sea \(a \in \mathbb{R}^+\) y \(m,n \in \mathbb{N}\). Al simplificar una raíz de la forma \(\sqrt[n]{a^m}\), se obtiene una potencia de exponente fraccionario:
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\] Para el cual se cumple que:
1. Si \(m/n\) es una fracción irreducible, la raíz no se puede simplificar.
2. Si \(m/n\) es reducible, se debe simplificar y escribir nuevamente como la raíz con su nuevo índice y exponente.
3. Si \(m/n\) es una fracción impropia, puede escribirse como producto entre potencia entera y raíz:
\(a^{\frac{m}{n}} = a^q \cdot \sqrt[n]{a^r}\)
Donde \(q\) es el cociente y \(r\) el residuo al dividir \(m\) entre \(n\).
🔍 E1. Simplificar \(\sqrt{2^8}\).
\(\Rightarrow\ \sqrt{2^8} = 2^{8/2}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt{2^8}} = 2^4\)
🔍 E2. Simplificar \(\sqrt{3^6}\).
\(\Rightarrow\ \sqrt{3^6} = 3^{6/2}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt{3^6}} = 3^3\)
🔍 E3. Simplificar \(\sqrt[6]{5^2}\).
\(\Rightarrow\ \sqrt[6]{5^2} = 5^{2/6}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[6]{5^2}} = 5^{1/3}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[6]{5^2}} = \sqrt[3]{5}\)
🔍 E4. Simplificar \(\sqrt[4]{8^2}\).
\(\Rightarrow\ \sqrt[4]{8^2} = \sqrt[4]{(2^3)^2}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = \sqrt[4]{2^6}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = 2^{\frac{6}{4}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = 2^{\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = 2^{1\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = 2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[4]{8^2}} = 2\sqrt{2}\)
🔍 E5. Simplificar \(\sqrt[5]{7^{23}}\).
\(\Rightarrow\ \sqrt[5]{7^{23}} = 7^{\frac{23}{5}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[5]{7^{23}}} = 7^{4\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[5]{7^{23}}} = 7^4\cdot 7^{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\sqrt[5]{7^{23}}} = 7^4 \cdot \sqrt[5]{7^3}\)
🔍 E6. Simplificar \(\sqrt[3]{10^{17}}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{10^{17}}= 10^{\frac{17}{3}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[3]{10^{17}}} = 10^{5\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[3]{10^{17}}} = 10^5 \cdot \sqrt[3]{10^2}\)
⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\sqrt{2^8}\)?
⁉️ P2. ¿Cuál es la forma equivalente de \(\sqrt[6]{5^2}\)?
⁉️ P3. ¿Cómo se representa \(\sqrt[3]{10^{17}}\) de forma simplificada?
⁉️ P4. ¿Qué resultado se obtiene al simplificar \(\sqrt[4]{9^{11}}\)?
⁉️ P5. ¿Cuál es la forma simplificada de \(\sqrt[6]{16^2}\)?
📐 Sea \(a \in \mathbb{R}^+\) y \(m,n \in \mathbb{N}\). Al simplificar una raíz de la forma \(\sqrt[n]{a^m}\), se obtiene una potencia de exponente fraccionario:
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
Para el cual se cumple que:
🧠 S1. Si \(m/n\) es una fracción irreducible, la raíz no se puede simplificar.
🧠 S2. Si \(m/n\) es reducible, se debe simplificar y escribir nuevamente como la raíz con su nuevo índice y exponente.
🧠 S3. Si \(m/n\) es una fracción impropia, puede escribirse como producto entre potencia entera y raíz:
\(a^{\frac{m}{n}} = a^q \cdot \sqrt[n]{a^r}\)
Donde \(q\) es el cociente y \(r\) el residuo al dividir \(m\) entre \(n\).
🎯 Aplicar el proceso de racionalización para eliminar raíces en el denominador, utilizando potencias fraccionarias y propiedades de las raíces.
📘 Racionalizar consiste en eliminar la raíz o raíces presentes en el denominador de una fracción.
📐 Sea \(a, b \in \mathbb{R}^+\) y \(n,m \in \mathbb{N}\). La expresión \(1/\sqrt[n]{a^m}\) se racionaliza de la siguiente manera:
\[\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\bigg|^{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \dfrac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}\]
🔍 E1. Racionalizar la expresión \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\bigg|^\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
🔍 E2. Racionalizar la expresión \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\bigg|^\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{3}{\sqrt{5}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{3}{\sqrt{5}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
🔍 E3. Racionalizar la expresión \(\dfrac{7}{\sqrt[3]{11}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{7}{\sqrt[3]{11}}=\dfrac{7}{\sqrt[3]{11}}\bigg|^{\sqrt[3]{11^2}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{\sqrt[3]{11}}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[3]{11^2}}{\sqrt[3]{11^3}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{\sqrt[3]{11}}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[3]{121}}{11}\)
🔍 E4. Racionalizar la expresión \(\dfrac{13}{\sqrt[8]{2^3}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{13}{\sqrt[8]{2^3}}=\dfrac{13}{\sqrt[8]{2^3}}\bigg|^{\sqrt[8]{2^{5}}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{13}{\sqrt[8]{2^3}}}=\dfrac{13 \sqrt[8]{2^{5}}}{\sqrt[8]{2^{8}}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{13}{\sqrt[8]{2^3}}}=\dfrac{13 \sqrt[8]{32}}{2}\)
🔍 E5. Racionalizar la expresión \(\sqrt[4]{\dfrac{3}{7}}\).
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[4]{\dfrac{3}{7}} = \dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{7}}\bigg|^{\sqrt[4]{7^3}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[4]{\dfrac{3}{7}}} = \dfrac{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{7^3}}{\sqrt[4]{7^4}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt[4]{\dfrac{3}{7}}} = \dfrac{\sqrt[4]{3\cdot 7^3}}{7}\)
📐 Sea \(a, b \in \mathbb{R}^+\). Si el denominador es una suma o resta de raíces cuadradas, como \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\), se racionaliza multiplicando por el conjugado de la expresión:
\[ \dfrac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\bigg|^{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b} \]
🔍 E1. Racionalizar la expresión \(\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\bigg|^{\sqrt{3} - \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}=\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}=\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{3 - 5}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}= -\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}\)
🔍 E2. Racionalizar la expresión \(\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}\bigg|^{\sqrt{7} + \sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{7 - 2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}}= \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{5}\)
🔍 E3. Racionalizar la expresión \(\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}=\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}\bigg|^{\sqrt{3} - 5}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}}=\dfrac{7 (\sqrt{3} - 5)}{(\sqrt{3})^2 - (5)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}}=\dfrac{7 (\sqrt{3} - 5)}{3 - 25}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{\sqrt{3} + 5}}= -\dfrac{7 (\sqrt{3} - 5)}{22}\)
🔍 E4. Racionalizar la expresión \(\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}} = \dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}\bigg|^{4 + \sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}} = \dfrac{8 (4 + \sqrt{2})}{(4)^2 - (\sqrt{2})^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}} = \dfrac{8 (4 + \sqrt{2})}{16 - 2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}} = \dfrac{8 (4 + \sqrt{2})}{14}\bigg|_2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8}{4 - \sqrt{2}}} = \dfrac{4 (4 + \sqrt{2})}{7}\)