Funciones

Funciones

Definición Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto —denominado dominio— un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función. (Véase la figura 1).

Representacion de funciones

1. Diagrama Sagital

Son representaciones de relaciones por medio de conjuntos.

Ejemplo 1: ¿La siguiente relacion es funcion?

\[ f= \left\{(2,1),(2,2),(4,2),(4,1),(4,2)\right\} \]

Tenemos:

Vemos que los elementos del dominio cumplen la definicion, por tanto decimos que g es funcion

Ejemplo 2:

¿La siguiente relacion es funcion? en caso afirmativo, determine dominio y recorrido.

Sea

\[ N=\left\{n\in \mathbb{N} \therefore 0<n<10\land n=2*n+1 \right\} \]

\[ 5=2*(2)+1 \]

Y sea

\[ f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}; f(n)=2*n \]

Para verificar que cada miembro del conjunto \(N\) cumpla la definicion de funcion, realizamos entonces el diagrama sagital

2. Plano cartesiano

Ejemplo 3:

Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 hasta 100 computadoras por día. Los gastos generales diarios de la planta ascienden a $5000 y el costo directo (mano de obra y materiales) para producir una computadora es de $805. Escriba una fórmula para T(x), el costo total de producir x computadoras en un día.

Rta:

\[T(x)=5000+805x\]

para la funcion \(T(x)\) el dominio son todos los reales, desde 0 hasta 100(si consideramos el numero de computadoras como entero, seran entonces numeros enteros los del dominio)

El recorrido del costo total para el numero de computadoras son todos los numeros reales desde 5000, hasta 85500, que es el costo maximo al que se llega con el maximo de produccion de computadoras.

gastos_gen<-5000
gastos_unidad<-805
T_x <- function(x) {
  T__x <- gastos_gen+gastos_unidad*x
  return(T__x)
}

#Ejemplo:
  
minimo_T<-0
maximo_T<-100
T_x(minimo_T)

[1] 5000

T_x(maximo_T)

[1] 85500

Ejemplo 4:

Escriba una fórmula también, para el costo unitario u(x) (costo promedio por computadora). ¿Cuáles son los dominios y los recorridos de estas funciones?

El promedio sera el costo diario, entre el numero de computadoras

$\(u(x)=T(x)/x\)$

\[u(x)=(5000+805x)/x\] \[u(x)=\frac{5000}{x}+805\]

\[D_f=\left\{ x\in R / 1\le x\le 100 \right\}\]

Cuales son los valores maximos y minimos de la funcion $u(x)$?

Hallamos $u(1)$ ya que 1 es el minimo valor de computadores que nos puede dar $T(x)$

\[ u(1)=\frac{5000}{1}+805 \]

\[ u(1)=5805 \]

Ahora hallamos \(u(100)\)

$$u(100)=+805$$

\[ u(100)=855 \]

u_x <- function(x) {
  u__x <- (gastos_gen+gastos_unidad*x)/x
  return(u__x)
}
minimo_T<-minimo_T+1


u_x_max<-u_x(minimo_T)

u_x_max

[1] 5805

u_x_min<-u_x(maximo_T)
u_x_min

[1] 855

Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/khf7b2mn

Hallamos el recorrido

Para hallar el recorrido, despejamos x y hallamos el dominio del despeje

\[y=(5000+805x)/x\]
\[y=5000/x+805\]

\[y-805=5000/x\]

\[x(y-805)=5000\]

\[x=\frac{5000}{y-805}\]

se podria pensar entonces que el dominio son todos los numeros reales \(y\neq805\), pero sabemos de antemano que el valor minimo de la funcion decimos que \[R_f= \left\{ y\in R/5000\le y<=850000\right\}\]

3. Evaluacion de funciones

Ejemplo 4: Para \(\phi(u)=\frac{u+u^2}{\sqrt{u}}\) encuentre cada valor.

a- \(\phi(1)\)

respuesta:

\[\phi(1)=\frac{1+1^2}{\sqrt{1}}\]

\[\phi(1)=\frac{1+1^2}{\sqrt{1}}\]

\[\phi(1)=2\]

b-\(\phi(-t)\)

respuesta:

\[\phi(-t)=\frac{-t+(-t)^2}{\sqrt{-t}}\]

\[\phi(-t)=\frac{-t+t^2}{\sqrt{-t}}\]

el parametro dado no pertenece al dominio de la funcion.

c-\(\phi(u+1)\)

respuesta:

\[\phi(u+1)=\frac{u+1+(u+1)^2}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{u+1+u^2+2u+1}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)}{\sqrt{u+1}}\]

\[\phi(u+1)=\frac{(u^2+3u+2)\sqrt{u+1}}{u+1}\]

d-\(\phi(x^2+x)\)

respuesta:

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+(x^2+x)^2}{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^2+x+x^4+2x^2x+x^2 }{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^4+2x^3+2x^2+x }{\sqrt{x^2+x}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x(x+1)}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x(x^3+2x^2+2x+1) }{x^\frac{1}{2}\sqrt{x+1}}\]

\[\phi(x^2 +x)=\frac{x^\frac{1}{2}(x^3+2x^2+2x+1) }{\sqrt{x+1}}\]

e-\(f(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x-\sqrt{3}}\)

\[f(\sqrt{3})\]

respuesta:

\[f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2+9}}{\sqrt{3}-\sqrt{3}}\]

\[f(\sqrt{3})=\infty\]

decimos que \(\sqrt{3}\) no pertenece al dominio de la funcion.

4. Intervalos

4.1- Intervalos abiertos:

\[ (a,b)=\left\{ x\in\mathbb{R} \therefore a< x < b \right\} \]

Ejemplo 5: \((3,5)\)

Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `linewidth` instead.

4.2- Intervalos cerrados:

\[ [a,b]=\left\{ x\in\mathbb{R} \therefore a\le x \le b \right\} \]

Ejemplo 6: \([-1,3]\)

5. Tabulación de funciones

Ejemplo 5:

Realice la grafica de la siguiente función:

\[ f(x)=\sqrt{x-1} \]

1- Hallamos el dominio

hallamos los valores para los cuales la funcion es valida

\[ x-1\ge0 \]

\[ x\ge1 \]

definimos el dominio

\[ D_f={x\in R, x\ge 1} \]

\[D_f= [1,\infty) \]

Tabulamos:

\[ f(1)=\sqrt{1-1} \]

\[ f(1)=0 \]

r_x <- function(x) {
  r__x <- sqrt(x-1)
  return(r__x)
}

Funcion raiz

x	y
1	0
2	1
3	1.41
4	1.73

El recorrido sera:

\[ y=\sqrt{x-1} \]

\[ y^2=x-1 \]

\[ y^2+1=x \]

Sabemos que \(x\ge1\) entonces

\[y^2+1\ge1\]

\[y^2\ge0\]

\[y\ge0\]

decimos entonces que

\[R_f=\left\{ y\in\mathbb{R} \therefore y\ge 0 \right\}\]

\[R_f=[0,\infty)\]

Funcion Cuadratica

Tabulacion

Ejemplo 1

\[ f(x)=x^2-2 \]

F_x <- function(x) {
  F__x <- x^2-2
  return(F__x)
}

   x  y
1 -3  7
2 -2  2
3 -1 -1
4  0 -2
5  1 -1
6  2  2
7  3  7

Tratramiento de una funcion cuadratica

Ejemplo 2

\[ k(x)=-x^2-x-2 \]

a<--1
b<--1
c<--2

k_x <- function(x) {
  k__x <- a*x^2+b*x+c
  return(k__x)
}

1- Hallamos el vertice

\[ v_x=\frac{-b}{2a} \]

\[ v_y=k\left( \frac{-b}{2a}\right) \]

de nuestra funcion tenemos \(a=-1,b=-1,c=-2\)

hallamos la coordenada en x del vertice

\[ v_x=-\frac{1}{2} \]

\[ v_x=\frac{-(-1)}{2(-1)} \]

\[ v_y=k(-\frac{1}{2}) \]

\[ v_y=-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})-2 \]

\[ v_x=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-2 \]

\[ v_x=-\frac{7}{4} \]

\[ v_y=-1.75 \]

el vertice tiene cooordenadas

\[v=(-\frac{1}{2},-\frac{7}{4})\]

2- Tabulamos

Tomamos valores centrados en la coordenada x del vertice

reemplazamos en los valores dados

\[ k(x)=-x^2 -x-2 \]

\[ k(-1)=-(-1)^2 -(-1)-2 \]

\[ k(-1)=-1 +1-2 \]

\[ k(-1)=-2 \]

ahora:

\[ k(-2)=-(-2)^2 -(-2)-2 \]

\[ k(-2)=-4 +2-2 \]

\[ k(-2)=-4 \]

Tabulamos

tabulacion

x	y
-2	-4
-1	-2
-1/2	-7/4
0	-2
1	-4

3- Hallamos el corte en y

Debemos encontrar la funcion evaluada en 0

\[ k(0)=-(0)^2-(0)-2 \]

\[ k(0)=-2 \]

tenemos el punto \((0 ,c)\) como corte en y para toda parabola.

4- Hallamos el corte en x

Usamos para despejar la formula de Baskara

\[ k(x)=0 \]

\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

\[ x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(-1)(-2)}}{2(-1)} \]

\[ x=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{-2} \]

\[ x=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{-2} \]

la funcion no tiene solucion en los reales, entonces no toca el eje x

5- Eje de simetria

Se define como la recta

\[ x=v_x \]

\[ x=-\frac{1}{2} \]

6- Foco

Para cuadraticas de la forma

\[ (x-h)^2=4p(y-k) \]

El foco viene dado por $ F=(h,k+p) $

Para las cuadraticas de la forma$ ax^2+bx+c=y $ tenemos:

\[ x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{y}{a} \]

\[ x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=\frac{y}{a} \]

\[ (x +\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=\frac{y}{a} \]

\[ (x +\frac{b}{2a})^2=\frac{y}{a} +\frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

\[ (x -(-\frac{b}{2a}))^2=\frac{1}{a}(y-\frac{4ac-b^2}{4a})\]

El valor p sera:

\[ \frac{1}{a}=4p\\\frac{1}{4a}=p \]

El foco sera

\[ F=\left( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{1}{4a} \right) \]

Tenemos:

\[ F=\left( -\frac{(-1)}{2(-1)},\frac{4(-1)(-2)-(-1)^2}{4(-1)}+\frac{1}{4(-1)} \right) \]

\[ F=\left( -\frac{1}{2},\frac{- 8-1}{-4}-\frac{1}{4} \right) \]

\[ F=\left( -\frac{1}{2},-\frac{7}{4}-\frac{1}{4} \right) \]

\[ F=\left( -\frac{1}{2},-2\right) \]

7- Directriz

Sera la recta

\[y=\frac{4ac-b^2}{4a}-\frac{1}{4a} \] \[y=-\frac{3}{2}\]

Dominio

\[ D_F=\mathbb{R} \]

Recorrido

\[ R_f = \begin{cases} (-\infty, k\left(-\frac{b}{2a}\right)] & \text{si } a < 0 \\[k\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty) & \text{si } a > 0 \end{cases} \]

\[ \left\{ \begin{matrix}(-\infty, k\left(-\frac{b}{2a}\right)] & \text{si } a > 0 \\[k\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty) & \text{si } a \ge 0\end{matrix} \right\} \]

Graficamos

Funciones pares e impares

 Una función f(x) es par si f(-x) = f(x), para todos los valores de x en D(f)

ejemplo: todas las funciones polinomicas con exponentes pares es una funcion par?

\[ f(x)=x^2+x^4-4 \]

reemplzamos \(f(-x)\)

\[ f(-x)=(-x)^2 +(-x)^4-4 \]

\[ f(-x)=x^2 +x^4-4 \]

\[ f(-x)=f(x) \]

Es verdadero

Es impar si f(-x) = -f(x), para todos los valores de x.

ejemplo: todas las funciones polinomicas con exponentes impares es una funcion impar?

\[ f(x)=x^5+x^3+x \]

\[ f(-x)=(-x)^5+(-x)^3+(-x) \]

\[ f(-x)=-x^5-x^3-x \]

\[ f(-x)=-(x^5+x^3+x) \]

\[ f(-x)=-f(x) \]

entonces deducimos que las funciones polinomicas con exponentes impares son impares

ejemplo 3

el producto de dos funciones polinomicas de grado m es una funcion polinomica de grado m

\[f(x)=x^2+1\]

\[g(x)=3x^2+2x-3\]realizamos el producto:

\[f(x)*g(x)=(x^2+1)(3x^2+2x-3)\]

\[f(x)*g(x)=3x^4+2x^3-3x^2 +3x^2+2x-3\]

\[f(x)*g(x)=3x^4+2x^3+2x-3\]

tenemos que el grado es 4, si la afirmacion fuese verdadera, el grado deberia ser 2

Funciones a trozos

Son aquellas definidas en intervalos

ej:

\[|x|=\left\{ \begin{matrix} -x \text{ si }x<0\\x \text{ si } x\ge0\end{matrix} \right\}\]

Ejemplo de la funcion valor absoluto:

\[ |-3|=3 \]

[1] 3

El dominio de la funcion es \(D_{f}=\mathbb{R}\) y \(R_{f}=[0,\infty)\)

Tenemos:

\[ \sqrt{x^2}=|x|=\pm x \]

Ejemplo 2:

\[ f(x)=\left\{ \begin{matrix} -2+x si x\le1\\1+x^2 si x>1\end{matrix}\right\} \]

[1] -1 10

\[ f(1)=-2+1=-1 \]

\[ f(3)=1+(3)^2=10 \]

Funciones Racionales

Son aquellas de la forma

\[ f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \]

donde \(g\) y \(h\) son funciones.

Ejemplo: halle el dominio de la siguiente funcion \(f(x)=\frac{1}{x^2-9}\)

Hallamos el dominio encontrando los valores en los que se genera una division por cero.

\[ x^2-9=0 \]

\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{9} \]

\[ |x|=3 \]

\[ x=\pm 3 \]

\[ D_f=\mathbb{R}-\left\{ -3,3\right\} \]

Algebra de funciones

\[(f°g)(x)=f(g(x))\] ejemplo:

\[f(x)=x^2+1, g(x)=\frac{1}{x+1}\]

\[(f°g)(x)=f(g(x))=f(\frac{1}{x+1})\]

\[(f°g)(x)=(\frac{1}{x+1})^2+1\]

\[(f°g)(x)=\frac{1}{(x+1)^2}+1\]

ejemplo 2:

\[f(x)=sin x, g(x)=\sqrt{x+1}\]

\[(f°g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+1})\]

\[(f°g)(x)=sin(\sqrt{x+1})\]