📘 Enunciado del problema

En un experimento de probabilidad, se tienen dos sucesos \(A\) y \(B\), tales que:

Con base en esta información y la representación gráfica correspondiente, responde:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

# Instalar paquete si no está
#if (!require("VennDiagram")) install.packages("VennDiagram")

# Cargar el paquete
library(VennDiagram)
## Loading required package: grid
## Loading required package: futile.logger
# Crear el diagrama de Venn donde B está contenido en A
venn.plot <- draw.pairwise.venn(
  area1 = 50,      # P(A) en escala (ej. 0.5 * 100)
  area2 = 20,      # P(B) en escala (0.2 * 100)
  cross.area = 20, # Toda el área de B está dentro de A
  category = c("A", "B"),
  fill = c("red", "cyan"),
  lty = "blank",
  cex = 2,
  cat.cex = 2,
  cat.pos = c(-20, 20),
  cat.dist = 0.05,
  ind = FALSE
)

# Mostrar en dispositivo gráfico
grid.draw(venn.plot)

Análisis del problema de conjuntos A y B

Datos: - \(P(A) = 0.5\) - \(P(B) = 0.2\) - El conjunto \(B \subseteq A\)

1. Intersección de A y B

Como \(B \subseteq A\), entonces toda la probabilidad de \(B\) está incluida en \(A\):

\[ P(A \cap B) = P(B) = 0.2 \]

2. Parte de A que no pertenece a B

Esto corresponde a la diferencia de probabilidades entre A y la intersección con B:

\[ P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3 \]

3. Unión de A y B

Se aplica la fórmula de la unión:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.2 - 0.2 = 0.5 \]

✅ Conclusión

Dado que: - \(P(A \cap B) = 0.2\) ✔️ - \(P(A \cap B') = 0.3\) ✔️ - \(P(A \cup B) = 0.5\) ✔️

Entonces, todas son verdaderas.

Respuesta final:

\(\boxed{\text{Todas son verdaderas}}\)

🧮 Problema de probabilidad condicional: empleo y género

📘 Enunciado

Suponga que el espacio muestral es la población de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un grado en la universidad. Se clasifican de acuerdo con su sexo y situación laboral. La información se presenta en la siguiente tabla:

Si uno de los individuos se seleccionara al azar para que realice un viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad,
¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea un hombre sabiendo que tiene empleo?

📊 Tabla de datos

Sexo Empleado Desempleado Total
Hombre 460 40 500
Mujer 140 260 400
Total 600 300 900

🧠 Paso 1: Identificar lo que se pide

Queremos calcular la probabilidad condicional:

\[ P(\text{Hombre} \mid \text{Empleado}) \]

Esto se interpreta como: “la probabilidad de que la persona sea hombre, dado que tiene empleo”.

✏️ Paso 2: Aplicamos la fórmula de probabilidad condicional

La fórmula es:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

En este caso:

Entonces:

\[ P(\text{Hombre} \mid \text{Empleado}) = \frac{\text{Número de hombres empleados}}{\text{Total de personas empleadas}} = \frac{460}{600} \]

✅ Paso 3: Resultado final

Simplificamos:

\[ \frac{460}{600} = \frac{23}{30} \approx 0.7667 \]

📌 Respuesta final:

\(\boxed{P(\text{Hombre} \mid \text{Empleado}) = \frac{460}{600} = 0.7667}\)

🧠 Problema de probabilidad con tabla de doble entrada

📘 Enunciado

A un grupo de mil sujetos se les pasó un test de inteligencia y se midió su rendimiento académico (RA). Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Se definen los sucesos: \(A\): ser superior en inteligencia \(B\): ser apto en rendimiento

¿Cuál es la probabilidad de que no sea apto en rendimiento o inferior en inteligencia?

📊 Tabla de datos

Rendimiento / Inteligencia Inferiores Superiores Total
Aptos 200 300 500
No Aptos 400 100 500
Total 600 400 1000

🎯 Lo que se pide:

Queremos calcular:

\[ P(B' \cup A') = \text{probabilidad de que NO sea apto o sea inferior en inteligencia} \]

🧩 Paso 1: Usamos la fórmula de la unión

Sabemos que:

Entonces:

\[ P(B' \cup A') = P(B') + P(A') - P(B' \cap A') \]

\[ = \frac{500}{1000} + \frac{600}{1000} - \frac{400}{1000} = \frac{700}{1000} = 0.7 \]

✅ Resultado final:

\(\boxed{P(B' \cup A') = 0.7}\)

🐛 Problema de probabilidad binomial: insecticida aplicado a larvas

📘 Enunciado

Se aplica un insecticida a tres larvas y al cabo de 24 horas se observa si están muertas o vivas.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos larvas muertas y una viva?

🧠 Supuestos:

✏️ Modelo: distribución binomial

Se trata de un experimento de Bernoulli repetido \(n = 3\) veces (una por cada larva).

Queremos calcular la probabilidad de 2 muertas y 1 viva, es decir:

Usamos la fórmula:

\[ P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \]

Sustituimos valores:

\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 \]

✅ Resultado final:

\(\boxed{P(\text{2 muertas, 1 viva}) = 0.375}\)

📘 Problema de probabilidad: Aprobación de materias

Un estudiante cursa las materias de Estadística y Precálculo.

Se conoce que: - \(P(P) = 0.4\) → Probabilidad de aprobar Precálculo. - \(P(E \cap P) = 0.1\) → Probabilidad de aprobar ambas materias. - \(P(E \cup P) = 0.6\) → Probabilidad de aprobar al menos una.

¿Cuál es la probabilidad de que apruebe Estadística?

🧠 Estrategia

Usamos la fórmula de la unión de eventos:

\[ P(E \cup P) = P(E) + P(P) - P(E \cap P) \]

Queremos encontrar \(P(E)\).

✏️ Sustitución de valores:

\[ 0.6 = P(E) + 0.4 - 0.1 \Rightarrow 0.6 = P(E) + 0.3 \Rightarrow P(E) = 0.6 - 0.3 = 0.3 \]

✅ Resultado final:

\(\boxed{P(\text{Estadística}) = 0.3 \Rightarrow 30\%}\)

🔧 Problema de probabilidad: selección sin reemplazo

📘 Enunciado

Se tiene una caja con 20 fusibles, de los cuales 5 son defectuosos.

Se seleccionan 2 fusibles al azar, sin reemplazo, uno tras otro.

¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles sean defectuosos?

🧠 Paso 1: Entendemos el experimento

✏️ Paso 2: Probabilidad compuesta

La probabilidad de que el primer fusible sea defectuoso es:

\[ P_1 = \frac{5}{20} \]

Una vez extraído un defectuoso, quedan:

Entonces, la probabilidad de que el segundo también sea defectuoso es:

\[ P_2 = \frac{4}{19} \]

🧮 Paso 3: Multiplicamos (regla del producto)

\[ P(\text{ambos defectuosos}) = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{19} = \frac{4}{76} = \frac{1}{19} \]

✅ Resultado final

\(\boxed{\frac{1}{19}}\)