1. Ejemplo de un tirador

# Parámetros
s <- 20
r <- 3

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

areac <- 100
areaci <- 15.07 

PROBABILIDAD <-areac/areaci

cat('Probabilidad geométrica', PROBABILIDAD)
## Probabilidad geométrica 6.6357

Problema Dos amigos acuerdan encontrarse entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. Cada uno llega a una hora aleatoria dentro de ese intervalo. El que llega primero espera 15 minutos; si el otro no ha llegado en ese tiempo, se va. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

Solución Llamemos:

𝑋 X: el minuto en que llega el primer amigo (desde las 12:00, así que 𝑋 ∈ [ 0 , 60] X∈[0,60])

𝑌 Y: el minuto en que llega el segundo amigo, también en el intervalo [ 0 , 60] [0,60]

Como ambos llegan en un momento aleatorio e independiente, podemos modelar sus tiempos de llegada como puntos uniformemente distribuidos sobre el cuadrado:

0 ≤ 𝑋 ≤ 60 , 0 ≤ 𝑌 ≤ 60 0≤X≤60,0≤Y≤60 Se encuentran si la diferencia entre sus tiempos de llegada es menor o igual a 15 minutos:

∣ 𝑋 − 𝑌 ∣ ≤ 15 ∣X−Y∣≤15 Representación geométrica Esto se puede visualizar como un cuadrado de lado 60 en el plano 𝑋 𝑌 XY. La región donde se encuentran es la franja entre las líneas:

𝑌

𝑋 + 15 y 𝑌 = 𝑋 − 15 Y=X+15yY=X−15 La región donde no se encuentran está fuera de esta franja, es decir, donde:

∣ 𝑋 − 𝑌 ∣ > 15 ∣X−Y∣>15 El área total del cuadrado es:

𝐴 total = 60 × 60 = 3600 A total ​ =60×60=3600 La región donde no se encuentran está formada por dos triángulos rectángulos en las esquinas del cuadrado. Cada uno tiene base y altura de 45 (porque 60 - 15 = 45):

𝐴 no encuentro = 2 × 1 2 × 45 × 45 = 2025 A no encuentro ​ =2× 2 1 ​ ×45×45=2025 Por lo tanto, la región donde sí se encuentran tiene área:

𝐴 encuentro = 3600 − 2025 = 1575 A encuentro ​ =3600−2025=1575 Probabilidad Entonces, la probabilidad de que se encuentren es:

𝑃

𝐴 encuentro 𝐴 total = 1575 3600 = 7 16 P= A total ​

A encuentro ​

​ = 3600 1575 ​ = 16 7 ​

Respuesta final La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es:

7 16 16 7 ​

​

# Cargar librerías necesarias
library(ggplot2)

# Crear una grilla de puntos
x <- seq(0, 60, length.out = 300)
y <- seq(0, 60, length.out = 300)
grid <- expand.grid(x = x, y = y)

# Calcular si los puntos están en la región de encuentro
grid$encuentro <- abs(grid$x - grid$y) <= 15

# Dibujar la región
ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
  geom_tile(aes(fill = encuentro), alpha = 0.7) +
  scale_fill_manual(values = c("white", "#66c2a5"), labels = c("No se encuentran", "Se encuentran")) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 15, linetype = "dashed", color = "black") +
  geom_abline(slope = 1, intercept = -15, linetype = "dashed", color = "black") +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0, color = "black") +
  coord_fixed() +
  labs(
    title = "Región de encuentro entre dos amigos",
    x = "Hora de llegada del primer amigo (min)",
    y = "Hora de llegada del segundo amigo (min)",
    fill = "Condición"
  ) +
  theme_minimal()