1. Ejemplo de un tirador

+Problema. Un tirador debe acertar dentro de un circulo de radio 3 contenido en una region cuadrada de lado 20. ¿Cual es la probabilidad de que el tirador acierte?

# Parámetros
s <- 20
r <- 3

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

# Probabilidad que un punto cualquiera este metido dentro de ese circulo
cat("P(A) =", round(pi * r^2/s^2, 2), "\n")
## P(A) = 0.07

Problema

Dos amigos acuerdan encontrarse entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. Cada uno llega en un momento aleatorio dentro de esa hora (es decir, sus tiempos de llegada están distribuidos uniformemente entre 0 y 60 minutos). El primero que llega esperará 15 minutos al otro. Si el otro no llega en ese tiempo, se va. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

Solución

Paso 1: Definir las variables

Sea:

  • \(X\): el tiempo de llegada del primer amigo (en minutos después de las 12:00 PM).
  • \(Y\): el tiempo de llegada del segundo amigo (también en minutos).

Ambos \(X\) y \(Y\) están uniformemente distribuidos en el intervalo \([0, 60]\). Se representará gráficamente como un cuadrado de \(60 \times 60\) en el plano \(XY\).

Se encuentran siempre que la diferencia entre sus tiempos de llegada es como máximo 15 minutos, es decir:

\[ |X - Y| \leq 15 \]

Paso 2: Área favorable y total

El espacio total de posibilidades es el área del cuadrado:

\[ A_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \]

Ahora, queremos calcular el área donde \(|X - Y| \leq 15\). Esto corresponde a la región entre las rectas:

  • \(Y = X + 15\)
  • \(Y = X - 15\)

Estas dos líneas dividen el cuadrado, y la zona entre ellas representa los puntos donde los amigos sí se encuentran.

El área fuera de esta región (donde no se encuentran) son dos triángulos, uno en la esquina inferior izquierda y otro en la esquina superior derecha, cada uno con base y altura de 45 (porque \(60 - 15 = 45\)):

\[ A_{\text{no encuentro}} = 2 \times \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 2025 \]

Por lo tanto, el área donde sí se encuentran es:

\[ A_{\text{encuentro}} = A_{\text{total}} - A_{\text{no encuentro}} = 3600 - 2025 = 1575 \]

Paso 3: Calcular la probabilidad

La probabilidad es el cociente entre el área favorable y el área total:

\[ P = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]

✅ Respuesta final

La probabilidad de que los amigos se encuentren es:

\[ \boxed{\frac{7}{16} \approx 0.4375 \quad \text{o} \quad 43.75\%} \]

# Cargar librería
library(ggplot2)

# Crear un data frame para el área de encuentro
x_vals <- seq(0, 60, by = 0.1)
df_rango <- data.frame(
  x = c(x_vals, rev(x_vals)),
  y = c(pmin(x_vals + 15, 60), rev(pmax(x_vals - 15, 0)))
)

# Crear el gráfico
ggplot() +
  # Región de encuentro
  geom_polygon(data = df_rango, aes(x = x, y = y), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  
  # Líneas de frontera
  geom_abline(intercept = 15, slope = 1, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_abline(intercept = -15, slope = 1, color = "red", linetype = "dashed") +

  # Cuadro general
  coord_fixed(xlim = c(0, 60), ylim = c(0, 60)) +
  labs(
    title = "Región de encuentro entre dos amigos",
    subtitle = "Área en azul representa |X - Y| ≤ 15 minutos",
    x = "Tiempo de llegada del Amigo 1 (min)",
    y = "Tiempo de llegada del Amigo 2 (min)"
  ) +
  theme_minimal()