** 1. Ejemplo de un tirador**

s <- 12
r <- 2

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

#probabilidad 

cat("P(A) =", round((pi * r^2) / s^2, 2), "\n")
## P(A) = 0.09

Problema

Dos amigos acuerdan encontrarse en un lugar entre las 12:00 PM y 1:00 PM. Cada uno llega en un momento aleatorio y uniforme dentro de esa hora. El primero que llega espera 15 minutos, luego se va si el otro no ha llegado. Queremos encontrar la probabilidad de que se encuentren.

Solución

Sea:

  • $X$: la hora (en minutos después de las 12:00) en que llega el primer amigo.
  • $Y$: la hora en que llega el segundo amigo.

Ambos $X$ y $Y$ son variables aleatorias uniformemente distribuidas en $[0, 60]$.

Se encontrarán si la diferencia de tiempo entre ellos es menor o igual a 15 minutos:

\[|X - Y| \leq 15\]

Esto define una región en el cuadrado de $60 $ minutos donde se encuentran. Visualmente, es el área entre las rectas:

\[Y = X + 15 \quad \text{y} \quad Y = X - 15\]

Cálculo geométrico

El área total del cuadrado es:

\[ A_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \]

La región donde no se encuentran (es decir, cuando $|X - Y| > 15$) está fuera de las bandas anteriores, y consiste en dos triángulos de lado 45:

\[ A_{\text{no encuentro}} = 2 \times \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 2025 \]

Por lo tanto, el área donde sí se encuentran es:

\[ A_{\text{encuentro}} = 3600 - 2025 = 1575 \]

Resultado final

La probabilidad de que se encuentren es:

\[ P = \frac{A_{\text{encuentro}}}{A_{\text{total}}} = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \approx 0.4375 \]

Respuesta: La probabilidad de que se encuentren es $$ o aproximadamente 43.75%.

# Parámetros
t_max <- 60  # tiempo total en minutos (de 12:00 a 1:00)
espera <- 15 # tiempo máximo de espera

# Crear gráfico vacío
plot(0, 0, type = "n", xlim = c(0, t_max), ylim = c(0, t_max),
     xlab = "Llegada del amigo 1 (min)", ylab = "Llegada del amigo 2 (min)",
     main = "Región de Encuentro entre Dos Amigos", asp = 1)

# Dibujar región de encuentro (área entre Y = X + 15 y Y = X - 15)
polygon(x = c(0, espera, t_max, t_max, t_max - espera, 0),
        y = c(espera, 0, t_max - espera, t_max, t_max, espera),
        col = "lightblue", border = NA)

# Dibujar líneas de frontera: Y = X + 15 y Y = X - 15
abline(a = espera, b = 1, col = "blue", lty = 2)   # Y = X + 15
abline(a = -espera, b = 1, col = "blue", lty = 2)  # Y = X - 15

# Diagonal principal: Y = X (llegan al mismo tiempo)
abline(0, 1, col = "black", lwd = 1.5)

# Añadir cuadro y leyenda
box()
legend("topright", legend = c("Región de encuentro", "|X - Y| = 15"),
       fill = c("lightblue", NA), border = c(NA, NA),
       lty = c(NA, 2), col = c("lightblue", "blue"), bty = "n")