Disparo olimpico con pistola de aire

s <- 10
r <- 2.19

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

areac <- 100
areaci <- 15.07

PROBABILIDAA <- areac/areaci

cat('Probabilidad geometrica',PROBABILIDAA )
## Probabilidad geometrica 6.6357

Este es un clásico problema de probabilidad conocido como el problema de los dos amigos o el problema del encuentro. Vamos a abordarlo paso a paso.

Planteamiento:

  • Dos amigos se encuentran en un intervalo de tiempo entre las 12:00 PM y la 1:00 PM.
  • El primero que llega esperará 15 minutos al otro. Si transcurren esos 15 minutos sin que el otro haya llegado, se irá.
  • Ambos amigos llegan en algún momento aleatorio dentro de ese intervalo de 60 minutos.

Queremos calcular la probabilidad de que ambos se encuentren.

Definición matemática:

Supongamos que el primer amigo llega a un tiempo \(X\) (en minutos) dentro de la hora, y el segundo amigo llega a un tiempo \(Y\) (también en minutos) dentro de la misma hora. Ambos \(X\) y \(Y\) son números aleatorios entre 0 y 60 (en minutos).

El primero llegará en el instante \(X\) y esperará hasta \(X + 15\). El segundo llegará en el instante \(Y\). Para que se encuentren, el segundo amigo debe llegar dentro del intervalo en el que el primero está esperando, es decir:

\[ X \leq Y \leq X + 15 \] o, de manera equivalente: \[ |X - Y| \leq 15 \]

Representación gráfica:

Podemos visualizar este problema en un plano cartesiano, donde en el eje \(X\) colocamos el tiempo de llegada del primer amigo, y en el eje \(Y\) el tiempo de llegada del segundo amigo. Los valores de \(X\) y \(Y\) están en el intervalo \([0, 60]\).

La condición de que se encuentren es que \(|X - Y| \leq 15\), lo cual define una región en el plano donde la diferencia entre \(X\) y \(Y\) no excede 15 minutos. Esta región es una banda alrededor de la línea \(X = Y\), que se extiende 15 unidades hacia arriba y hacia abajo.

Cálculo del área de la región favorable:

La región donde \(|X - Y| \leq 15\) es un área dentro de un cuadrado de 60x60 (porque \(X\) y \(Y\) pueden ir de 0 a 60). La totalidad del cuadrado tiene un área de:

\[ \text{Área total} = 60 \times 60 = 3600 \]

La región que satisface \(|X - Y| \leq 15\) es un área en forma de banda, y podemos calcularla restando las dos áreas fuera de esta banda. Para que la diferencia sea mayor que 15, es decir, \(|X - Y| > 15\), tenemos dos triángulos en las esquinas del cuadrado. Cada uno de estos triángulos tiene una base y una altura de 45 unidades (porque \(60 - 15 = 45\)).

El área de cada triángulo es:

\[ \text{Área de un triángulo} = \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 1012.5 \]

Entonces, el área de las dos esquinas es:

\[ \text{Área fuera de la banda} = 2 \times 1012.5 = 2025 \]

Por lo tanto, el área de la región favorable (donde se encuentran) es:

\[ \text{Área favorable} = 3600 - 2025 = 1575 \]

Probabilidad de que se encuentren:

La probabilidad es el cociente entre el área favorable y el área total:

\[ P(\text{encuentro}) = \frac{\text{Área favorable}}{\text{Área total}} = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]

Resultado final:

La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es:

\[ \boxed{\frac{7}{16}} \]