Un tirador quiere saber la bosibilidad de acertar

# Parámetros
s <- 10
r <- 2

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

Dos amigos acuerdan encontrarse en un lugar entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. El primero que llega esperará 15 minutos al otro, después de lo cual se irá. Si ambos llegan en algún momento aleatorio dentro de esta hora, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren?

Solución

Sea \(X\) el tiempo de llegada del primer amigo y \(Y\) el del segundo, medidos en minutos después de las 12:00 PM. Ambos tiempos están distribuidos uniformemente en el intervalo \([0, 60]\).

El evento en el que se encuentran ocurre cuando la diferencia entre sus tiempos de llegada es menor o igual a 15 minutos:

\[ |X - Y| \leq 15 \]

Como \(X\) y \(Y\) son independientes y uniformemente distribuidos en \([0, 60]\), el espacio muestral puede representarse como el cuadrado de lado 60 en el plano \(XY\).

La región favorable es la franja entre las rectas \(Y = X + 15\) y \(Y = X - 15\) dentro del cuadrado.

Área Total:

\[ A_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \]

Área Favorable:

El área no favorable está formada por dos triángulos en las esquinas superiores e inferiores del cuadrado, cada uno con base y altura de 45 (pues \(60 - 15 = 45\)):

\[ A_{\text{no favorable}} = 2 \times \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 2025 \]

Entonces, el área favorable es:

\[ A_{\text{favorable}} = 3600 - 2025 = 1575 \]

Probabilidad de Encuentro:

\[ P(|X - Y| \leq 15) = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]

Resultado

La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es:

\[ \boxed{\frac{7}{16} \approx 0.4375} \]

# Cargar librerías necesarias
library(ggplot2)

# Definir los límites del cuadrado
xlim <- c(0, 60)
ylim <- c(0, 60)

# Crear los datos de la región
# La región favorable es cuando |X - Y| <= 15
# Esto implica las condiciones X - Y <= 15 y Y - X <= 15

data <- expand.grid(X = seq(0, 60, by = 0.1), Y = seq(0, 60, by = 0.1))
data$inside_region <- abs(data$X - data$Y) <= 15

# Graficar la región
ggplot(data, aes(x = X, y = Y)) +
  geom_tile(aes(fill = inside_region), width = 0.1, height = 0.1) +
  scale_fill_manual(values = c("white", "skyblue")) +
  xlim(xlim) + ylim(ylim) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 15, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_abline(slope = 1, intercept = -15, color = "red", linetype = "dashed") +
  labs(title = "Región donde |X - Y| <= 15",
       x = "Tiempo del primer amigo (minutos)",
       y = "Tiempo del segundo amigo (minutos)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")
## Warning: Removed 2400 rows containing missing values or values outside the scale range
## (`geom_tile()`).