1. Ejemplo práctica

Problema: Un tirador debe acertar dentro de un círculo de radio 2 contenido en una región cuadrada de lado 20. ¿ Cual es la Probabilidad de que el tirador acierte?

# Parámetros
s <- 12
r <- 2

"+<-" <- function(x, value) {
  # definición del operador
}

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)+
  
  ## Probabilidad
  
cat("P(A) =", round(pi * r^2 / s^2, 2), "\n")

## P(A) = 0.09
## integer(0)

2. Ejemplo Practica

Dos amigos acuerdan encontrarse en un lugar entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. El primero que llega esperará 15 minutos al otro, después de lo cual se irá. Si ambos llegan en algún momento aleatorio dentro de esta hora, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren?”

Solución

Sea \(x\) el tiempo en minutos en que el primer amigo llega después de las 12:00 PM, y \(y\) el tiempo en minutos en que el segundo amigo llega después de las 12:00 PM. Ambos tiempos son variables aleatorias uniformemente distribuidas en el intervalo \([0, 60]\).

El espacio muestral es el cuadrado \([0, 60] \times [0, 60]\), y el evento de interés es que la diferencia entre los tiempos de llegada sea menor o igual a 15 minutos, es decir:

\[ |x - y| \leq 15 \]

Este evento corresponde a una región dentro del cuadrado donde la diferencia entre \(x\) y \(y\) no excede los 15 minutos. Geométricamente, esta región es un área central del cuadrado, excluyendo dos áreas triangulares en las esquinas.

El área total del cuadrado es:

\[ \text{Área total} = 60 \times 60 = 3600 \]

El área de cada triángulo excluido es:

\[ \text{Área de un triángulo} = \frac{1}{2} \times (60 - 15) \times (60 - 15) = \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 1012.5 \]

Como hay dos triángulos excluidos, el área total de los triángulos es:

\[ \text{Área de los triángulos} = 2 \times 1012.5 = 2025 \]

Por lo tanto, el área favorable al evento es:

\[ \text{Área favorable} = \text{Área total} - \text{Área de los triángulos} = 3600 - 2025 = 1575 \]

Finalmente, la probabilidad de que los amigos se encuentren es el cociente entre el área favorable y el área total:

\[ P(\text{encuentro}) = \frac{\text{Área favorable}}{\text{Área total}} = \frac{1575}{3600} = 0.4375 \]

Por lo tanto, la probabilidad de que los amigos se encuentren es del 43.75%.

Conclusión

La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es aproximadamente 0.4375 o 43.75%.

PRUEBA 4

Pregunta 4. Se aplica un insecticida a tres larvas y, al cabo de 24 horas, se observa si están muertas o vivas. Queremos calcular la probabilidad de encontrar dos larvas muertas y una viva.

# Definir la probabilidad de que una larva esté muerta
p_muerta <- 0.5  # Suponiendo que la probabilidad es del 50%

# Número de larvas
n <- 3

# Número de larvas muertas deseadas
k <- 2

# Calcular la probabilidad utilizando combinaciones
combinaciones <- choose(n, k)
probabilidad <- combinaciones * (p_muerta^k) * ((1 - p_muerta)^(n - k))
probabilidad
## [1] 0.375

Pregunta 5. Para un estudiante que cursa las materias de estadistica y Precálculo, estiman que la probabilidad de aprobar precalculo es igual al 40%. Además la probabilidad de aprobar por lo menos un curso es igual al 60% y que sólo tiene un 10% de probabilidad de ambos cursos. ¿Cual es la probabilidad de que pase la materia de Estadistica?

# Definir las probabilidades dadas
P_PC <- 0.40  # Probabilidad de aprobar Precálculo
P_union <- 0.60  # Probabilidad de aprobar al menos un curso
P_interseccion <- 0.10  # Probabilidad de aprobar ambos cursos

# Aplicar la fórmula de la probabilidad de la unión de dos eventos
P_E <- P_union - P_PC + P_interseccion
P_E
## [1] 0.3

Pregunta 6. Se tiene una caja de fusibles que contiene 20 piezas, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo, queremos calcular la probabilidad de que ambos fusibles seleccionados estén defectuosos.

# Definir los parámetros
total_fusibles <- 20
fusibles_defectuosos <- 5

# Calcular la probabilidad de que el primer fusible sea defectuoso
probabilidad_1 <- fusibles_defectuosos / total_fusibles

# Calcular la probabilidad de que el segundo fusible sea defectuoso, dado que el primero lo fue
probabilidad_2 <- (fusibles_defectuosos - 1) / (total_fusibles - 1)

# Calcular la probabilidad conjunta
probabilidad_conjunta <- probabilidad_1 * probabilidad_2
probabilidad_conjunta
## [1] 0.05263158

Pregunta 7. Un niño guarda tres cajas con chocolatinas, en la primera tiene dos chocolatinas negras y una blanca, en la segunda dos negras y dos blancas y en la tercera dos blancas y una negra. En un despiste suyo, su hermana pequeña le ha cogido una chocolatina blanca. La probabilidad de que la haya cogido de la primera caja?

# Definir las probabilidades
P_C1 <- 1/3
P_C2 <- 1/3
P_C3 <- 1/3
P_B_given_C1 <- 1/3
P_B_given_C2 <- 1/2
P_B_given_C3 <- 2/3

# Calcular la probabilidad total de sacar una chocolatina blanca
P_B <- P_B_given_C1 * P_C1 + P_B_given_C2 * P_C2 + P_B_given_C3 * P_C3

# Calcular la probabilidad de que la chocolatina blanca provenga de la Caja 1
P_C1_given_B <- (P_B_given_C1 * P_C1) / P_B
P_C1_given_B
## [1] 0.2222222

Pregunta 8. Supongamos que tenemos una moneda A que cae en cara con probabilidad s y una moneda B que cae en cara con probabilidad t. Si cada moneda se tira de manera alternada, empezando con la moneda A. La probabilidad de que la primera cara se obtenga con la moneda A es

Sesión 2. Probabilidad - Ejemplos en R

** Técnicas de Conteo**

Ejemplo 1. De cuantas maneras se pueden escoger 2 obreros de 5 para realizar un trabajo

\[ \binom{5}{2} \]