Probabilidad

Ejemplo 1: La cola al burro

Un jugador debe colocarle la cola al burro donde ésta tiene forma circular y se encuentra dentro de un canasto cuadrangular, ¿Cual es la probabilidad de que el jugador acierte?

# Parámetros
s <- 20
r <- 3

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

cat(round((pi * r^2/s^2), 2))

## 0.07

2. Problema de probabilidad: Encuentro de dos amigos

Vamos a resolver este problema paso a paso usando notación Markdown

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Problema

Dos amigos acuerdan encontrarse en un lugar entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. Cada uno llega en un momento aleatorio, independientemente del otro. El que llega primero espera 15 minutos, y si el otro no ha llegado, se va. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

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Solución

Sea:

• \(X\): el tiempo (en minutos después de las 12:00 PM) en que llega el primer amigo.
• \(Y\): el tiempo en que llega el segundo amigo.

Ambos llegan en un momento aleatorio entre \(0\) y \(60\) minutos. Esto significa que \((X, Y)\) se distribuye uniformemente en el cuadrado de lado \(60\) unidades:

\[ 0 \leq X \leq 60,\quad 0 \leq Y \leq 60 \]

Se encontrarán si la diferencia entre sus tiempos de llegada es de 15 minutos o menos, es decir:

\[ |X - Y| \leq 15 \]

Esto define una región en el cuadrado de lado $60$, entre las rectas:

• \(Y = X + 15\)
• \(Y = X - 15\)

Queremos hallar el área de esta región y dividirla entre el área total del cuadrado (\(60 \times 60 = 3600\)).

Área de la región favorable

La región entre \(|X - Y| \leq 15\) es el cuadrado completo menos dos triángulos rectángulos en las esquinas donde la diferencia de tiempo es mayor a 15 minutos.

Cada uno de esos triángulos tiene catetos de longitud $45$ (porque $60 - 15 = 45$), por lo tanto:

• Área de un triángulo: \(dfrac{1}{2} \cdot 45 \cdot 45 = 1012.5\)
• Área total desfavorable: \(2 \cdot 1012.5 = 2025\)

Entonces, la área favorable es:

\[ 3600 - 2025 = 1575 \]

Probabilidad de encuentro

\[ P = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]

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Respuesta final

La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es:

\[ \boxed{\frac{7}{16}} \]

Representación gráfica

# Cargar librería
library(ggplot2)

# Crear un data frame con todos los puntos del cuadrado
x <- seq(0, 60, length.out = 300)
df <- data.frame(
  x = rep(x, each = 300),
  y = rep(x, 300)
)

# Filtrar los puntos donde |x - y| <= 15
df$inside <- abs(df$x - df$y) <= 15

# Graficar con ggplot2
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_tile(aes(fill = inside), alpha = 0.7) +
  scale_fill_manual(values = c("FALSE" = "white", "TRUE" = "lightblue"),
                    name = "|X - Y| ≤ 15",
                    labels = c("No se encuentran", "Se encuentran")) +
  geom_abline(intercept = 15, slope = 1, linetype = "dashed", color = "green") +
  geom_abline(intercept = -15, slope = 1, linetype = "dashed", color = "red") +
  coord_fixed() +
  labs(title = "Región de encuentro entre dos amigos",
       x = "Hora de llegada del amigo A (min)",
       y = "Hora de llegada del amigo B (min)") +
  theme_minimal()