Teoría de Probabilidad

1. Ejemplo de un tirador

• Problema. Un tirador quiere acertar dentro un círulo de radio r = 3 en un cuadrado de lado s = 12. ¿Cuál es la probabilidad de que al disparar, acierte dentro del círculo?

# Parámetros
s <- 12
r <- 3

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

area_circulo <- pi * r^2
area_cuadrado <- s^2
prob_acierto <- round(area_circulo / area_cuadrado,2)
cat("P(A) =", prob_acierto)

## P(A) = 0.2

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📌 2. Problema: Encuentro aleatorio entre dos amigos*

Dos amigos acuerdan encontrarse entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. Cada uno llega en un momento aleatorio e independiente durante esa hora.

El primero que llega espera 15 minutos, luego se va.

¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

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✏️ Modelando el problema

Denotemos por:

• \(X\): el tiempo de llegada del primer amigo
• \(Y\): el tiempo de llegada del segundo amigo

Ambos valores son aleatorios y uniformemente distribuidos entre \([0, 60]\).

Se encontrarán si la diferencia entre sus tiempos de llegada es de 15 minutos o menos:

\[ |X - Y| \leq 15 \]

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📐 Representación geométrica

Visualizamos todos los posibles pares $(X, Y)$ como puntos dentro de un cuadrado de 60 x 60 unidades.

La región donde sí se encuentran corresponde a los puntos donde:

\[ -15 \leq X - Y \leq 15 \quad \Rightarrow \quad Y - 15 \leq X \leq Y + 15 \]

Esto forma una banda de ancho 30 minutos centrada en la diagonal $X = Y$.

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🔢 Cálculo del área

Área total del espacio de llegada:

\[ A_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \]

Área donde no se encuentran (dos triángulos fuera de la banda):

Cada triángulo tiene base y altura de $45$ (ya que $60 - 15 = 45$):

\[ A_{\text{triángulo}} = \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 1012.5 \]

Dos triángulos:

\[ A_{\text{no favorable}} = 2 \times 1012.5 = 2025 \]

Área favorable (se encuentran):

\[ A_{\text{favorable}} = 3600 - 2025 = 1575 \]

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✅ Resultado final

La probabilidad de que se encuentren es:

\[ P = \frac{A_{\text{favorable}}}{A_{\text{total}}} = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \]

Respuesta: La probabilidad de que se encuentren es \(\boxed{\frac{7}{16} \approx 0.4375 \text{ o } 43.75\%}\)

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# Parámetros
t_max <- 60       # Tiempo total (en minutos)
espera <- 15      # Tiempo de espera en minutos

# Estilo general
par(bg = "white", mar = c(5, 5, 4, 2))

# Crear el gráfico base
plot(0, 0, type = "n", xlim = c(0, t_max), ylim = c(0, t_max),
     xlab = "Llegada del Amigo 1 (min)", ylab = "Llegada del Amigo 2 (min)",
     main = "Probabilidad geométrica de encuentro entre dos amigos",
     cex.main = 1.3, cex.lab = 1.2, cex.axis = 1)

# Dibujar el área total
rect(0, 0, t_max, t_max, border = "gray50", lwd = 2)

# Región donde se encuentran: sombreado verde semitransparente
polygon(
  x = c(0, t_max - espera, t_max, espera),
  y = c(espera, t_max, t_max - espera, 0),
  col = adjustcolor("forestgreen", alpha.f = 0.3),
  border = NA
)

# Líneas límites del encuentro
abline(a = espera, b = 1, col = "darkgreen", lty = 2, lwd = 2)
abline(a = -espera, b = 1, col = "darkgreen", lty = 2, lwd = 2)

# Línea diagonal donde llegan al mismo tiempo
abline(a = 0, b = 1, col = "blue", lwd = 2, lty = 3)

# Agregar texto informativo
text(30, 5, "Región de encuentro", col = "darkgreen", cex = 1)

# Leyenda
legend("topright",
       legend = c("Se encuentran (|X - Y| ≤ 15)", "Límites de espera", "Llegan al mismo tiempo"),
       col = c(adjustcolor("forestgreen", alpha.f = 0.6), "darkgreen", "blue"),
       lty = c(NA, 2, 3),
       lwd = c(NA, 2, 2),
       pch = c(15, NA, NA),
       pt.cex = 2,
       bty = "n")