MI CURSO DE ESTADÍSTICA COMPUTARIZADA

Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL:

Mi Profe Julio Hurtado Marquez
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1. Ejemplo de un tirador

  • Problema. Un tirador debe acertar dentro de un circulo de radio 3 contenido en una region cuadrada de lado 20. ¿Cual es la Probailidad de que el Tirador acierte?
# Parámetros
s <- 20
r <- 3

# Visualización
plot(c(0, s), c(0, s), type = "n", xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Probabilidad Geométrica: Punto en un Área")
rect(0, 0, s, s) # Cuadrado
symbols(s / 2, s / 2, circles = r, inches = FALSE, add = TRUE, fg = "red") # Círculo
text(s / 2, s * 0.9, paste("Área Cuadrado =", s^2), cex = 0.8)
text(s / 2, s * 0.1, paste("Área Círculo =", round(pi * r^2, 2)), col = "red", cex = 0.8)

# Probabilidad
cat("P(A) =", round(pi * r^2/s^2, 3), "\n")
## P(A) = 0.071

📘 2. Problema de Probabilidad: Encuentro de dos amigos

Enunciado: Dos amigos acuerdan encontrarse en un lugar entre las 12:00 PM y la 1:00 PM. Cada uno llega en un momento aleatorio dentro de esa hora (es decir, sus tiempos de llegada están distribuidos uniformemente entre 0 y 60 minutos). El primero que llega esperará 15 minutos al otro, después de lo cual se irá. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

✍️ Solución

Sea:

  • \(X\) el tiempo de llegada del primer amigo.
  • \(Y\) el tiempo de llegada del segundo amigo.

Ambos tiempos están distribuidos uniformemente en el intervalo \([0, 60]\) minutos. La pareja se encuentra si la diferencia entre sus tiempos de llegada es menor o igual a 15 minutos, es decir:

\[ |X - Y| \leq 15 \]

🔷 **Representación gráfi

Podemos representar este problema en el plano XY, donde \(X\) y \(Y\) varían de 0 a 60. La región total del espacio de posibles llegadas es un cuadrado de área:

\[ A_{\text{total}} = 60 \times 60 = 3600 \]

La región donde los amigos se encuentran está limitada por:

\[ |X - Y| \leq 15 \Rightarrow -15 \leq X - Y \leq 15 \]

Esto corresponde a la franja entre las rectas \(Y = X - 15\) y \(Y = X + 15\), dentro del cuadrado.

🔸 Área favorable

El área de la región donde se encuentran es:

\[ A_{\text{favorable}} = A_{\text{total}} - 2 \cdot \text{Área de los triángulos fuera de la banda} \]

Cada triángulo tiene base y altura de 45 (desde 0 a 15 y de 45 a 60):

\[ \text{Área de un triángulo} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 45 = 1012.5 \]

Entonces:

\[ A_{\text{favorable}} = 3600 - 2 \cdot 1012.5 = 3600 - 2025 = 1575 \]

🔹 Probabilidad de encuentro

Finalmente, la probabilidad es:

\[ P(\text{encuentro}) = \frac{A_{\text{favorable}}}{A_{\text{total}}} = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} \approx 0.4375 \]

✅ Respuesta final

La probabilidad de que los dos amigos se encuentren es:

\[ \boxed{\frac{7}{16} \approx 43.75\%} \]

✅ R

# Cargar librerías necesarias
library(ggplot2)

# Crear una grilla de puntos (X, Y) entre 0 y 60
x_vals <- seq(0, 60, length.out = 300)
y_vals <- seq(0, 60, length.out = 300)
grid <- expand.grid(x = x_vals, y = y_vals)

# Clasificar los puntos: dentro o fuera de la zona de encuentro
grid$encuentro <- ifelse(abs(grid$x - grid$y) <= 15, "Se encuentran", "No se encuentran")

# Graficar
ggplot(grid, aes(x = x, y = y, fill = encuentro)) +
  geom_tile() +
  scale_fill_manual(values = c("Se encuentran" = "lightblue", "No se encuentran" = "gray80")) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 15, linetype = "dashed", color = "blue") +
  geom_abline(slope = 1, intercept = -15, linetype = "dashed", color = "blue") +
  labs(title = "Región de encuentro de dos amigos",
       subtitle = "Zona azul: |X - Y| ≤ 15 (se encuentran)",
       x = "Minuto en que llega el primer amigo",
       y = "Minuto en que llega el segundo amigo") +
  coord_fixed() +
  theme_minimal()

3.🐛 Problema (Versión Markdown)

Problema Se aplica un insecticida a tres larvas y al cabo de 24 horas se observa si están muertas o vivas. ¿Cuál es la probabilidad de que dos estén muertas y una viva, suponiendo que todas las combinaciones de muerte o vida son igualmente probables?

🔢 Solución

Cada larva puede estar en uno de dos estados:

  • Muerta (M)
  • Viva (V)

Para 3 larvas, el total de combinaciones posibles es:

\[ 2^3 = 8 \]

Enumeramos todas las combinaciones posibles:

Combinación Estado
MMM 3 muertas
MMV 2 muertas, 1 viva
MVM 2 muertas, 1 viva
VMM 2 muertas, 1 viva
MVV 1 muerta, 2 vivas
VMV 1 muerta, 2 vivas
VVM 1 muerta, 2 vivas
VVV 0 muertas

De las 8 combinaciones posibles, hay 3 que tienen exactamente 2 larvas muertas y 1 viva: MMV, MVM, VMM

📌 Resultado

La probabilidad de que dos larvas estén muertas y una esté viva es:

\[ P = \frac{3}{8} \]

¿Quieres que te dé también el código en R o Python para simularlo o visualizarlo?