Actividad Prueba de hipótesis

La base de datos titulada “Base_Datos_Vulcanología” contiene información recopilada sobre diferentes volcanes a nivel mundial. Esta información incluye variables físicas y geoquímicas que permiten el análisis estadístico de la actividad volcánica y sus características estructurales. En particular, cada registro representa un volcán específico, identificado con un código único. Entre las variables incluidas en el conjunto de datos se encuentran:

Nombre del volcán (Nombre_Volcan) Tipo de volcán (Tipo_Volcan), como Estratovolcán, Escudo, Cono de Ceniza, etc. Altura (en metros) (Altura_m): Elevación sobre el nivel del mar. Frecuencia de erupciones (Frecuencia_Erupcion_Anios): Número promedio de años entre erupciones. Emisión de dióxido de azufre (SO₂) (Emision_SO2_Toneladas): Expresada en toneladas. Temperatura de la lava (Temperatura_Lava_C): Temperatura registrada en grados Celsius.

Este conjunto de datos resulta útil para estudios comparativos entre volcanes, modelado de riesgos geológicos, y análisis de tendencias de actividad volcánica. Asimismo, permite aplicar técnicas de estadística inferencial para validar hipótesis sobre la estructura y comportamiento de los volcanes.

Carga de la base de datos

Usamos el paquete readxl para leer archivos Excel en R.

# Instalar el paquete si no lo tienes
if (!require(readxl)) install.packages("readxl")

## Loading required package: readxl

# Cargar el paquete
library(readxl)

# Leer el archivo Excel (hoja 1 por defecto)
datos <- read_excel("Base_Datos_Vulcanologia.xlsx")

# Mostrar los primeros datos
head(datos)

## # A tibble: 6 × 7
##   ID_Volcan Nombre_Volcan Tipo_Volcan    Altura_m Frecuencia_Erupcion_Anios
##       <dbl> <chr>         <chr>             <dbl>                     <dbl>
## 1         1 Cotopaxi      Cono de Ceniza    2545.                      460.
## 2         2 Cotopaxi      Escudo            5952.                      447.
## 3         3 Galeras       Escudo            1574.                      349.
## 4         4 Etna          Estratovolcán     5913.                      117.
## 5         5 Etna          Estratovolcán     1555.                      411.
## 6         6 Galeras       Escudo            5179.                      203.
## # ℹ 2 more variables: Emision_SO2_Toneladas <dbl>, Temperatura_Lava_C <dbl>

#Planteamiento de problemas

##Media

Se desea determinar, a través de una prueba de hipótesis, si la altura media de los volcanes incluidos en un estudio es significativamente mayor a 3000 metros. Para ello, se analizan los datos de una muestra de tamaño n = 100, cuya media muestral es {x} = 3422.289 metros y cuya desviación estándar muestral es s = 1608.77 metros. El nivel de significancia establecido para la prueba es = 0.05. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística para concluir que, en promedio, los volcanes del estudio tienen una altura superior a 3000 metros?

Las hipótesis a contrastar son:

Hipótesis nula H_0: = 3000 Hipótesis alternativa H_1: > 3000.

###1.Identificacion de datos

# Extraer los valores de la columna Altura_m
valores <- datos$Altura_m
valores <- valores[!is.na(valores)]  # Eliminar valores NA

# Calcular estadísticas
media <- mean(valores)
desviacion <- sd(valores)
n <- length(valores)

# Mostrar resultados
cat("Estadísticos de la columna 'Altura_m':\n")

## Estadísticos de la columna 'Altura_m':

cat("Media:", media, "\n")

## Media: 3422.289

cat("Desviación estándar:", desviacion, "\n")

## Desviación estándar: 1608.77

cat("Tamaño de muestra:", n, "\n")

## Tamaño de muestra: 100

##2. Resolucion de elementos

# Parámetros del planteamiento 2
mu0 <- 3000                  # Hipótesis nula: altura media poblacional
x_bar <- 3422.289            # Media muestral
s <- 1608.77                 # Desviación estándar muestral
n <- 100                     # Tamaño de la muestra
alpha <- 0.05                # Nivel de significancia

# Cálculo del estadístico t
t_calculado <- (x_bar - mu0) / (s / sqrt(n))

# Cálculo de grados de libertad
gl <- n - 1

# Valor crítico para cola derecha
t_critico <- qt(1 - alpha, df = gl)

# Cálculo del valor p
p_valor <- 1 - pt(t_calculado, df = gl)

# Mostrar resultados
cat("----------- Resultados de la prueba de hipótesis -----------\n")

## ----------- Resultados de la prueba de hipótesis -----------

cat("Estadístico t calculado:", t_calculado, "\n")

## Estadístico t calculado: 2.624918

cat("Grados de libertad:", gl, "\n")

## Grados de libertad: 99

cat("Valor crítico t (cola derecha):", t_critico, "\n")

## Valor crítico t (cola derecha): 1.660391

cat("Valor p:", p_valor, "\n")

## Valor p: 0.005020432

cat("------------------------------------------------------------\n")

## ------------------------------------------------------------

##3.Verificaciones

Se instala el paquete “ggplot2”

install.packages("ggplot2")

## Installing package into '/cloud/lib/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.4'
## (as 'lib' is unspecified)

library(ggplot2)

# Parámetros de la muestra
x_bar <- 3422.289
s <- 1608.77
n <- 100
mu0 <- 3000
alpha <- 0.05

# Estadístico t
t_calculado <- (x_bar - mu0) / (s / sqrt(n))
gl <- n - 1
t_critico <- qt(1 - alpha, df = gl)
p_valor <- 1 - pt(t_calculado, df = gl)

# Mostrar resultados
cat("Estadístico de prueba t calculado:", t_calculado, "\n")

## Estadístico de prueba t calculado: 2.624918

cat("Grados de libertad:", gl, "\n")

## Grados de libertad: 99

cat("Valor crítico t:", t_critico, "\n")

## Valor crítico t: 1.660391

cat("Valor p:", p_valor, "\n")

## Valor p: 0.005020432

# a) Gráfica de la distribución t
library(ggplot2)

x <- seq(-4, 8, length = 200)
y <- dt(x, df = gl)

ggplot(data.frame(x, y), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  geom_area(data = subset(data.frame(x, y), x > t_critico), aes(x=x, y=y), fill="red", alpha=0.5) +
  geom_vline(xintercept = t_calculado, color="black", linetype="dashed") +
  labs(title = "Distribución t Student con Región Crítica (cola derecha)",
       x = "t", y = "Densidad") +
  theme_minimal()

# b) Regla de decisión
if (t_calculado > t_critico) {
  cat("Decisión: Se rechaza H₀.\n")
} else {
  cat("Decisión: No se rechaza H₀.\n")
}

## Decisión: Se rechaza H₀.

# c) Evaluación con p-valor
if (p_valor < alpha) {
  cat("Decisión basada en p-valor: Se rechaza H₀.\n")
} else {
  cat("Decisión basada en p-valor: No se rechaza H₀.\n")
}

## Decisión basada en p-valor: Se rechaza H₀.

# 5. Conclusión Final
if (t_calculado > t_critico & p_valor < alpha) {
  cat("Conclusión Final: Hay suficiente evidencia para afirmar que, en promedio, la altura de los volcanes es mayor a 3000 metros.\n")
} else {
  cat("Conclusión Final: No hay suficiente evidencia para afirmar que, en promedio, la altura de los volcanes sea mayor a 3000 metros.\n")
}

## Conclusión Final: Hay suficiente evidencia para afirmar que, en promedio, la altura de los volcanes es mayor a 3000 metros.

Interpretacion:

##Proporcion

Se desea determinar si la proporción de volcanes tipo Estratovolcán en el estudio es diferente al 50%. Para ello, se plantea una prueba de hipótesis para una proporción, utilizando un nivel de significancia de α = 0.05. La hipótesis nula establece que la proporción real es del 50% (H₀: p = 0.50), mientras que la hipótesis alternativa plantea que es distinta de ese valor (H₁: p ≠ 0.50). En la muestra analizada, se observaron 72 volcanes tipo Estratovolcán de un total de 150, lo que corresponde a una proporción muestral de p̂ = 0.48. A partir de estos datos se procederá con la prueba estadística correspondiente para determinar si existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

# 1. Identificación de Datos
n <- 120               # Tamaño de muestra
x <- 72                # Estratovolcanes
p_observado <- x / n   # Proporción observada
p_hipotetico <- 0.50   # Proporción según H₀
alpha <- 0.05          # Nivel de significancia

cat("Proporción observada (p):", p_observado, "\n")

## Proporción observada (p): 0.6

cat("Proporción hipotética (p₀):", p_hipotetico, "\n")

## Proporción hipotética (p₀): 0.5

cat("Tamaño de muestra (n):", n, "\n")

## Tamaño de muestra (n): 120

# 2. Hipótesis
# H₀: p = 0.50
# H₁: p ≠ 0.50

# 3. Resolución de Elementos
# Estadístico Z
z_calculado <- (p_observado - p_hipotetico) / sqrt(p_hipotetico * (1 - p_hipotetico) / n)
cat("Estadístico de prueba Z calculado:", z_calculado, "\n")

## Estadístico de prueba Z calculado: 2.19089

# Valor crítico para prueba bilateral
z_critico <- qnorm(1 - alpha / 2)
cat("Valor crítico Z:", z_critico, "\n")

## Valor crítico Z: 1.959964

# p-valor bilateral
p_valor <- 2 * (1 - pnorm(abs(z_calculado)))
cat("Valor p:", p_valor, "\n")

## Valor p: 0.02845974

# 4. Verificaciones
# a) Gráfica de la distribución normal
library(ggplot2)

x_seq <- seq(-4, 4, length = 1000)
y_seq <- dnorm(x_seq)
df <- data.frame(x = x_seq, y = y_seq)

df$region <- "Centro"
df$region[df$x < -z_critico] <- "Cola Izquierda"
df$region[df$x > z_critico]  <- "Cola Derecha"

ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  geom_area(data = subset(df, region != "Centro"),
            aes(fill = region), alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = z_calculado, linetype = "dashed", color = "black") +
  scale_fill_manual(values = c("Cola Izquierda" = "red", "Cola Derecha" = "red")) +
  labs(title = "Distribución Normal con Regiones Críticas",
       x = "Z", y = "Densidad") +
  theme_minimal()

# b) Regla de decisión
if (abs(z_calculado) > z_critico) {
  cat("Decisión: Se rechaza H₀.\n")
} else {
  cat("Decisión: No se rechaza H₀.\n")
}

## Decisión: Se rechaza H₀.

# c) p-valor
if (p_valor < alpha) {
  cat("Decisión basada en p-valor: Se rechaza H₀.\n")
} else {
  cat("Decisión basada en p-valor: No se rechaza H₀.\n")
}

## Decisión basada en p-valor: Se rechaza H₀.

# 5. Conclusión final
if (abs(z_calculado) > z_critico & p_valor < alpha) {
  cat("Conclusión Final: Hay evidencia suficiente para afirmar que la proporción de volcanes tipo Estratovolcán es diferente al 50%.\n")
} else {
  cat("Conclusión Final: No hay evidencia suficiente para afirmar que la proporción de volcanes tipo Estratovolcán sea diferente al 50%.\n")
}

## Conclusión Final: Hay evidencia suficiente para afirmar que la proporción de volcanes tipo Estratovolcán es diferente al 50%.

Interpretacion:

##Varianza

# 1. Identificación de Datos
n <- 25
s2_muestra <- 1.8
s2_hipotetica <- 2.4
alpha <- 0.05

cat("Varianza muestral (s²):", s2_muestra, "\n")

## Varianza muestral (s²): 1.8

cat("Varianza hipotética (σ²₀):", s2_hipotetica, "\n")

## Varianza hipotética (σ²₀): 2.4

cat("Tamaño de muestra (n):", n, "\n")

## Tamaño de muestra (n): 25

# 2. Hipótesis
# H₀: σ² ≥ 2.4
# H₁: σ² < 2.4 (prueba unilateral hacia la izquierda)

# 3. Resolución de Elementos
# Estadístico de prueba Chi-cuadrado
chi2_calculado <- (n - 1) * s2_muestra / s2_hipotetica
cat("Estadístico de prueba Chi² calculado:", chi2_calculado, "\n")

## Estadístico de prueba Chi² calculado: 18

# Valor crítico (solo inferior porque es una prueba unilateral hacia la izquierda)
chi2_critico <- qchisq(alpha, df = n - 1)
cat("Valor crítico inferior:", chi2_critico, "\n")

## Valor crítico inferior: 13.84843

# p-valor (como es unilateral izquierda)
p_valor <- pchisq(chi2_calculado, df = n - 1)
cat("Valor p:", p_valor, "\n")

## Valor p: 0.1969916

# 4. Verificaciones
# a) Gráfica de la distribución Chi-cuadrado
library(ggplot2)

# Crear datos para la curva
x_vals <- seq(0, 50, length.out = 1000)
dens_vals <- dchisq(x_vals, df = n - 1)
df_plot <- data.frame(x = x_vals, y = dens_vals)

# Definir regiones
df_plot$region <- "Centro"
df_plot$region[df_plot$x < chi2_critico] <- "Cola Izquierda"

# Graficar
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  geom_area(data = subset(df_plot, region == "Cola Izquierda"),
            aes(fill = region), alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = chi2_calculado, linetype = "dashed", color = "black") +
  scale_fill_manual(values = c("Cola Izquierda" = "red")) +
  labs(
    title = "Distribución Chi-cuadrado con Región Crítica (Unilateral Izquierda)",
    x = "Chi²", y = "Densidad"
  )

# 5. Conclusión basada en el valor crítico
if (chi2_calculado < chi2_critico) {
  cat("Conclusión (por valor crítico): Se RECHAZA H₀. La varianza ha disminuido significativamente.\n")
} else {
  cat("Conclusión (por valor crítico): NO se rechaza H₀. No hay evidencia suficiente de que la varianza haya disminuido.\n")
}

## Conclusión (por valor crítico): NO se rechaza H₀. No hay evidencia suficiente de que la varianza haya disminuido.

# Conclusión basada en el p-valor
if (p_valor < alpha) {
  cat("Conclusión (por p-valor): Se RECHAZA H₀. La varianza ha disminuido significativamente.\n")
} else {
  cat("Conclusión (por p-valor): NO se rechaza H₀. No hay evidencia suficiente de que la varianza haya disminuido.\n")
}

## Conclusión (por p-valor): NO se rechaza H₀. No hay evidencia suficiente de que la varianza haya disminuido.

Interpretacion:

Actividad Prueba de hipótesis

Gutiérrez, Guzmán y Padilla

2025-05-09

Carga de la base de datos