🎯 Derivar funciones reales en diferentes contextos.
📘 Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto \(x_0 \in \mathbb{R}\). Se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(x_0\) como el valor de la derivada en ese punto, dada por el siguiente límite:
\[ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
Si este límite existe, se dice que la función es derivable en \(x_0\) y la pendiente representa la tasa de cambio instantánea de la función en dicho punto.
🔍 E1. Recta tangente a \(f\) en \(\left(x_0,f(x_0)\right)\).
🔍 E2. Determinar la derivada de la función lineal \(f(x) = 3x\) aplicando la definición formal.
(1) Aplicar definición de derivada.
\(\Rightarrow\) \(f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{f'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{3(x+h) - 3x}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{f'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{3x + 3h - 3x}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{f'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{3h}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{f'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{f'(x)} = 3\)
(2) La derivada de \(f(x)\) es \(f'(x) = 3\).
🔍 E3. Determinar la derivada de la función cuadrática \(g(x) = x^2\) aplicando la definición formal.
(1) Aplicar definición de derivada.
\(\Rightarrow\) \(g'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{h(2x + h)}{h}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)}= \displaystyle\lim_{h \to 0} (2x + h)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{g'(x)} = 2x\)
(2) La derivada de \(g(x)\) es \(g'(x) = 2x\).
🔍 E4. Determinar la derivada de la función \(m(x) = x^2 - 3x\) aplicando la definición formal.
(1) Aplicar definición de derivada.
\(\Rightarrow m'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{m(x + h) - m(x)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - 3(x + h) - (x^2 - 3x)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 3h}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h - 3)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} (2x + h - 3)\)
\(\Rightarrow \phantom{m'(x)} = 2x - 3\)
(2) La derivada de \(m(x)\) es \(m'(x) = 2x - 3\).
🔍 E5. Determinar la derivada de la función \(n(x) = \sqrt{x+1}\) aplicando la definición formal.
(1) Aplicar la definición de derivada.
\(\Rightarrow n'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{n(x + h) - n(x)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(x + h) + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 1) - (x + 1)}{h \cdot \left(\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{x + h + 1 - x - 1}{h \cdot \left(\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{h}{h \cdot \left(\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1} + \sqrt{x + 1}}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}}\)
\(\Rightarrow \phantom{n'(x)} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}\)
(2) La derivada de \(n(x)\) es \(n'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}\).
🔍 E6. Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva \(p(x) = x^3 - 2x + 1\) en el punto \(x_0 = 2\).
(1) Aplicar la definición de derivada para determinar la pendiente.
\(\Rightarrow p'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{p(x + h) - p(x)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - 2(x + h) + 1 - [x^3 - 2x + 1]}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x - 2h + 1 - x^3 + 2x - 1}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2h}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2 - 2)}{h}\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = \displaystyle\lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)\)
\(\Rightarrow \phantom{p'(x)} = 3x^2 - 2\)
(2) Evaluar la pendiente en \(x_0 = 2\).
\(\Rightarrow p'(2) = 3(2)^2 - 2\)
\(\Rightarrow p'(2) = 12 - 2\)
\(\Rightarrow p'(2) = 10\)
(3) La pendiente de la recta tangente a la curva en \(x_0 = 2\) es \(m = 10\).
✏️ I. Funciones a derivar utilizando la definición de límite.
✏️ II. Calcular la pendiente de la recta tangente en los puntos especificados.
🎯 Aplicar propiedades de derivadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y composiciones de funciones.
📐 Sea \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones derivables en un intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\). Entonces, la derivada de la suma o resta de estas funciones está dada por la suma o resta de las respectivas derivadas, es decir:
\[ (f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x) \]
Esta propiedad garantiza que la operación de derivación es lineal en el contexto de sumas y restas, permitiendo tratar cada función de forma independiente al derivar.
🔍 E1. Determinar la derivada de la función \(h(x) = x^3 + x\) aplicando la propiedad de la suma de funciones.
\(\Rightarrow\) \(h'(x) = \left(x^3 + x \right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = (x^3)' + (x)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 3x^{3-1}+1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 3x^2+1\)
🔍 E2. Determinar la derivada de la función \(k(x) = \sin(x) + x^4 - e^x\) aplicando la propiedad de la suma de funciones.
\(\Rightarrow\) \(k'(x) = \left( \sin(x) + x^4 - e^x \right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = (\sin(x))' + (x^4)' - (e^x)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = \cos(x) + 4x^{4-1} - e^x\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = \cos(x) + 4x^3 - e^x\)
📐 Sea \(c \in \mathbb{R}\) una constante y \(f(x)\) una función derivable en un intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\). Entonces, la derivada del producto de una constante por una función está dada por la siguiente expresión:
\[ [c \cdot f(x)]'= c \cdot f'(x) \]
En otras palabras, al derivar una función multiplicada por una constante, la constante permanece intacta y se multiplica por la derivada de la función.
🔍 E1. Determinar la derivada de la función \(k(x) = 7x^3\) aplicando la propiedad de la constante multiplicativa.
\(\Rightarrow\) \(k'(x) = \left( 7x^3 \right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = 7 (x^3)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = 7 \cdot 3x^{3-1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{k'(x)} = 21x^2\)
🔍 E2. Determinar la derivada de la función \(p(x) = -5\sin(x)\) aplicando la propiedad de la constante multiplicativa.
\(\Rightarrow\) \(p'(x) = \left( -5\sin(x) \right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = -5 (\sin(x))'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = -5 \cos(x)\)
📐 Sea \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones derivables en un intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\). Entonces, la derivada del producto de estas funciones está dada por la siguiente expresión:
\[ (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]
Esta propiedad, conocida como Regla del Producto, establece que al derivar un producto de funciones, se deriva la primera función y se multiplica por la segunda sin derivar, sumando luego el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda.
🔍 E1. Determinar la derivada de la función \(h(x) = 3x^2 \cdot \sin(x)\) aplicando la Regla del Producto.
\(\Rightarrow\) \(h'(x) = (3x^2 \cdot \sin(x))'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 3(x^2)' \cdot \sin(x) + 3x^2 \cdot (\sin(x))'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 3\cdot 2x^{2-1} \cdot \sin(x) + 3x^2 \cdot \cos(x)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 6x \sin(x) + 3x^2 \cos(x)\)
🔍 E2. Determinar la derivada de la función \(p(x) = x^3 \cdot e^x\) aplicando la Regla del Producto.
\(\Rightarrow\) \(p'(x) = (x^3 \cdot e^x)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = (3x^{3-1}) \cdot e^x + x^3 \cdot e^x\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = 3x^2 e^x + x^3 e^x\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = e^x x^2(3 + x)\)
📐 Sea \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones derivables en un intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\), con \(g(x) \neq 0\). Entonces, la derivada del cociente de estas funciones está dada por la siguiente expresión:
\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]
Esta propiedad, conocida como Regla del Cociente, establece que al derivar un cociente, se multiplica la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.
🔍 E1. Determinar la derivada de la función \(h(x) = x^2/\sin(x)\) aplicando la Regla del Cociente.
\(\Rightarrow\) \(h'(x) = \left(\dfrac{x^2}{\sin(x)}\right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = \dfrac{(x^2)' \cdot \sin(x) - x^2 \cdot (\sin(x))'}{[\sin(x)]^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = \dfrac{2x^{2-1} \cdot \sin(x) - x^2 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = \dfrac{2x \sin(x) - x^2 \cos(x)}{\sin^2(x)}\)
🔍 E2. Determinar la derivada de la función \(p(x) = e^x/x^2\) aplicando la Regla del Cociente.
\(\Rightarrow\) \(p'(x) =\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = \dfrac{(e^x)' \cdot x^2 - e^x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = \dfrac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x^{2-1}}{x^4}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = \dfrac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = \dfrac{e^x x(x - 2)}{x^4}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = \dfrac{e^x (x - 2)}{x^3}\)
📐 Sea \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones derivables en un intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\). Si \(h(x) = f(g(x))\), entonces la derivada de la función compuesta está dada por:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Esta propiedad, conocida como Regla de la Cadena, establece que para derivar una función compuesta, se deriva la función externa evaluada en la función interna y se multiplica por la derivada de la función interna.
🔍 E1. Determinar la derivada de la función \(h(x) = \sin(3x^2)\) aplicando la Regla de la Cadena.
\(\Rightarrow\) \(h'(x) = (\sin(3x^2))'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = (\sin(3x^2))' \cdot (3x^2)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = \cos(3x^2) \cdot 2\cdot 3x^{2-1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = \cos(3x^2)\cdot 6x\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(x)} = 6x \cos(3x^2)\)
🔍 E2. Determinar la derivada de la función \(p(x) = e^{x^3 + 2x}\) aplicando la Regla de la Cadena.
\(\Rightarrow\) \(p'(x) = (e^{x^3 + 2x})'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = (e^{x^3+2x})' \cdot (x^3 + 2x)'\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = e^{x^3 + 2x} \cdot ((x^3)' + (2x)')\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = e^{x^3 + 2x} \cdot (3x^{3-1} + 2)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{p'(x)} = e^{x^3 + 2x} (3x^2 + 2)\)
✏️ I. Derivar las siguientes funciones aplicando la regla o reglas correspondientes (Suma, Producto, Cociente, Cadena).
✏️ II. Calcular la pendiente de la recta tangente en los puntos especificados.
🎯 Utilizar la primera y segunda derivada de una función para determinar la existencia de máximos y mínimos locales, interpretando los resultados en distintos contextos matemáticos.
📐 Sea \(f\) una función derivable en un intervalo abierto que contiene un punto \(x_0 \in \mathbb{R}\). Para identificar extremos locales (máximos o mínimos), se procede en dos etapas:
Paso 1: Determinar los puntos críticos \(x_1\), \(x_2\), … resolviendo la condición:
\[ f'(x_0) = 0 \]
Paso 2: Analizar el signo de la segunda derivada en \(x_0\). Según el resultado, se concluye lo siguiente:
1. Si \(f''(x_0) > 0\), entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(x_0\).
2. Si \(f''(x_0) < 0\), entonces \(f\) tiene un máximo local en \(x_0\).
3. Si \(f''(x_0) = 0\), el criterio no es concluyente.
🔍 E1. Determinar los extremos locales de la función \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\).
Paso 1: Derivamos la función.
\(\Rightarrow f'(x) = -2x + 4\)
Paso 2: Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos.
\(\Rightarrow -2x + 4=0\)
\(\Rightarrow -2x =-4\)
\(\Rightarrow 2x =4\)
\(\Rightarrow x =2\)
Paso 3: Calculamos la segunda derivada.
\(\Rightarrow f''(x) = -2\)
\(\Rightarrow f''(2) = -2<0\)
Respuesta final:
La función tiene un máximo local en \(x = 2\).🔍 E2. Determinar los extremos locales de la función \(g(x) = x^3 - 5x^2 + 4x - 1\).
Paso 1: Derivamos la función.
\(\Rightarrow g'(x) = 3x^2 - 10x + 4\)
Paso 2: Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos.
\(\Rightarrow 3x^2 - 10x + 4 = 0\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{6}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{10 \pm \sqrt{52}}{6}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{13}}{6}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{3}\)
Paso 3: Calculamos la segunda derivada.
\(\Rightarrow g''(x) = 6x - 10\)
Evaluamos la segunda derivada en cada punto:
\(\Rightarrow g''\left(\dfrac{5 + \sqrt{13}}{3}\right) = 6\left(\dfrac{5 + \sqrt{13}}{3}\right) - 10 > 0\)
\(\Rightarrow g''\left(\dfrac{5 - \sqrt{13}}{3}\right) = 6\left(\dfrac{5 - \sqrt{13}}{3}\right) - 10 < 0\)
Respuesta final:
La función tiene:✏️ I. Estudie si existen máximos o mínimos locales en las siguientes funciones.
📐 Sea \(f\) una función derivable en un intervalo abierto que contiene un punto \(x_0 \in \mathbb{R}\). Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, se procede en tres etapas:
Paso 1: Determinar los puntos críticos \(x_1\), \(x_2\), … resolviendo la condición:
\[ f'(x) = 0 \]
o identificando donde \(f'(x)\) no existe.
Paso 2: Identificar los intervalos definidos por los puntos críticos, considerando los siguientes segmentos:
\[ (-\infty, x_1), (x_1, x_2), \ldots, (x_n, \infty) \]
Paso 3: Analizar el signo de la primera derivada en cada intervalo determinado.
1. Si \(f'(x) > 0\) en un intervalo, la función es creciente en ese intervalo.
2. Si \(f'(x) < 0\) en un intervalo, la función es decreciente en ese intervalo.
3. Si \(f'(x) = 0\) en un punto crítico, evaluar los signos a la izquierda y a la derecha del punto para determinar si cambia de creciente a decreciente o viceversa.
🔍 E1. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(h(x) = x^2 + 5x\).
Paso 1: Determinamos los puntos críticos.
\(\Rightarrow h'(x) = 2x + 5\)
\(\Rightarrow 2x + 5 = 0\)
\(\Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}\)
Paso 2: Identificamos los intervalos definidos por el punto crítico \(x = -\dfrac{5}{2}\).
a. Intervalo \(\left(-\infty, -\dfrac{5}{2}\right)\)
b Intervalo \(\left(-\dfrac{5}{2}, \infty\right)\)
Paso 3: Evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo.
a. En \(\left(-\infty, -\dfrac{5}{2}\right)\), tomamos \(x = -3\)
\(\Rightarrow\) \(h'(-3)=2(-3)+5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(-3)}=-6+5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(-3)}=-1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(-3)}<0\)
Luego la función es decreciente en \(\left(-\infty, -\dfrac{5}{2}\right)\).
b. En \(\left(-\dfrac{5}{2}, \infty\right)\), tomamos \(x = 0\)
\(\Rightarrow\) \(h'(0)=2(0)+5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(0)}=0+5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(0)}=1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{h'(0)}>0\)
Luego la función es creciente en \(\left(-\dfrac{5}{2}, \infty\right)\).
🔍 E2. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\).
Paso 1: Determinamos los puntos críticos.
\(\Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
\(\Rightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{2 \pm 4}{2}\)
\(\Rightarrow x = 3 \text{ o } x = -1\)
Paso 2: Identificamos los intervalos definidos por los puntos críticos \(x = -1\) y \(x = 3\).
a. Intervalo \((-\infty, -1)\)
b. Intervalo \((-1, 3)\)
c. Intervalo \((3, \infty)\)
Paso 3: Evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo.
a. En \((-\infty, -1)\), tomamos \(x = -2\)
\(\Rightarrow\) \(f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9\)
\(\Rightarrow\) \(12 + 12 - 9 = 15\)
\(\Rightarrow\) \(> 0\)
Luego, la función es creciente en \((-\infty, -1)\).
b. En \((-1, 3)\), tomamos \(x = 0\)
\(\Rightarrow\) \(f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9\)
\(\Rightarrow\) \(0 - 0 - 9 = -9\)
\(\Rightarrow\) \(< 0\)
Luego, la función es decreciente en \((-1, 3)\).
c. En \((3, \infty)\), tomamos \(x = 4\)
\(\Rightarrow\) \(f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9\)
\(\Rightarrow\) \(48 - 24 - 9 = 15\)
\(\Rightarrow\) \(> 0\)
Luego, la función es creciente en \((3, \infty)\).
✏️ II. Determine los intervalos donde las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.