Potencias

1. Potencia multiplicativa.

1.1. Objetivo(s).

🎯 Comprender el concepto de potencia multiplicativa y su correspondiente notación.

1.2. Definición.

📘 Sea \(a\in \mathbb{R}\wedge n\in \mathbb{Z}\). Una potencia es la iteración multiplicativa sobre una misma cantidad, lo que se representa en la siguiente equivalencia.

\[\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{-veces}} = a^n\]

La cantidad \(a\) se denomina base y \(n\) exponente.

1.3. Propiedad.

📐 Potencias de uso frecuente.

Base \(2\)	Base \(3\)	Base \(5\)	Otras bases
\(4 = 2^2\)	\(9 = 3^2\)	\(25 = 5^2\)	\(36 = 6^2\)
\(8 = 2^3\)	\(27 = 3^3\)	\(125 = 5^3\)	\(49 = 7^2\)
\(16 = 2^4\)	\(81 = 3^4\)	\(625 = 5^4\)	\(121 = 11^2\)
\(32 = 2^5\)	\(243 = 3^5\)		\(144 = 12^2\)
\(64 = 2^6\)	\(729 = 3^6\)		\(169 = 13^2\)
\(128 = 2^7\)			\(196 = 14^2\)
\(256 = 2^8\)
\(512 = 2^9\)
\(1.024 = 2^{10}\)

1.4. Propiedad.

📐 Cuando el dígito \(1\) es seguido únicamente por ceros, dicha cantidad puede expresarse como una potencia de base \(10\), donde el exponente \(n\) indica la cantidad de ceros que siguen al \(1\).

\[10^n\]

1.5. Propiedad.

📐 Cuando un decimal menor a uno consiste únicamente en ceros seguidos por un dígito \(1\), puede expresarse como una potencia negativa de base \(10\). En este caso, el exponente \(-n\) indica la posición del dígito \(1\) después de la coma.

\[10^{-n}\]

1.6. Ejemplo(s).

🔍 E1. Expresar \(81\) a potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(81 = 9 \cdot 9\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81} = 3^4\)

🔍 E2. Expresar \(\dfrac{8}{27}\) a potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{8}{27} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8}{27}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)

🔍 E3. Desarrollar \(2^3\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{2^3} = 8\)

🔍 E4. Desarrollar \(\left( \dfrac{2}{5} \right)^2\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(\left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\left( \dfrac{2}{5} \right)^2} = \dfrac{4}{25}\)

🔍 E5. Desarrollar \((-2^3)\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \((-2)^3=-2\cdot -2\cdot -2\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{(-2)^3}=-8\)

🔍 E6. Expresar \(100.000.000\) a una potencia de base \(10\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(100.000.000=10^8\)

🔍 E7. Expresar \(0{,}000001\) a una potencia de base \(10\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(0{,}000001 = 10^{-6}\)

🔍 E8. Desrrollar \(3^2+4^2\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(3^2+4^2=3\cdot 3+4\cdot 4\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{3^2+4^2}=9+16\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{3^2+4^2}=25\)

🔍 E9. Desrrollar \(\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^3\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^3}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^3}=\dfrac{1}{27}\)

1.7. Práctica.

✏️ I. Expresar a potencia cada una de las siguientes cantidades.

Ver ejercicios.

1. \(64\)

2. \(81\)

3. \(125\)

4. \(729\)

5. \(0{,}001\)

6. \(0{,}00001\)

7. \(1.000.000\)

8. \(10.000.0000.000\)

9. \(\dfrac{1}{32}\)

10. \(\dfrac{16}{81}\)

✏️ II. Desarrollar cada una de las siguientes potencias.

Ver ejercicios.

1. \(2^4\)

2. \(3^3\)

3. \((-5)^2\)

4. \((-2)^4\)

5. \(-7^2\)

6. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)

7. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\)

8. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^4\)

9. \(2^3+5^2\)

10. \(\left(1+\dfrac{2}{3}\right)^3\)

1.8. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Qué potencia es equivalente a \(64\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^5\)
B) \(2^7\)
C) \(2^6\)
D) \(2^4\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Qué potencia es equivalente a \(125\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^4\)
B) \(25^2\)
C) \(3^5\)
D) \(5^3\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es el valor que toma la potencia \(2^5\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(16\)
B) \(32\)
C) \(25\)
D) \(64\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es el valor que toma la potencia \(11^3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(1.221\)
B) \(1.331\)
C) \(121\)
D) \(1.111\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Qué potencia es equivalente a \(81/16\) ?

Seleccionar respuesta.

A) \(\left(\dfrac{9}{4}\right)^1\)
B) \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^4\)
C) \(\left(\dfrac{9}{4}\right)^2\)
D) \(\left(\dfrac{81}{16}\right)^2\)

Revisar

⁉️ P6. ¿Cuál es la expresión que representa al número \(10.000.000\) como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^6\)
B) \(10^7\)
C) \(10^8\)
D) \(10^9\)

Revisar

⁉️ P7. ¿Cuál es la expresión que representa al número \(0{,}0000000001\) como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^{-8}\)
B) \(10^{-9}\)
C) \(10^{-10}\)
D) \(10^{-11}\)

Revisar

⁉️ P8. ¿Cuál es el resultado de \(\left(2-\dfrac{1}{5}\right)^2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(81/25\)
B) \(9/5\)
C) \(81/5\)
D) \(9/25\)

Revisar

⁉️ P9. ¿Cuál es el resultado de \(\left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(9/16\)
B) \(36/16\)
C) \(6/4\)
D) \(25/16\)

Revisar

1.9. Síntesis.

🧠 S1. La potencia es una forma abreviada de expresar la multiplicación repetida de un mismo número.

🧠 S2. En una potencia, la base indica el número que se repite y el exponente señala cuántas veces se repite en dicha multiplicación.

🧠 S3. De manera general, si \(a\) es un número real y \(n\) es un número entero positivo, la potencia se define como:

\[ \overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{-veces}} = a^n \]

2. Multiplicación de potencias de igual base.

2.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar propiedad de multiplicación de potencias de igual base para reducir expresiones numéricas o algebraicas según corresponda.

2.2. Propiedad.

📐 Sean \(a \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(m,n \in \mathbb{Z}\). Se cumple que el producto de dos potencias de igual base es una nueva potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes:

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]

2.3. Ejemplo(s).

🔍 E.1. Simplificar la expresión \(2^6 \cdot 2^{11}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(2^6 \cdot 2^{11} = 2^{6+11}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{2^6 \cdot 2^{11}} = 2^{17}\)

🔍 E.2. Simplificar la expresión \(5^6 \cdot 5^8 \cdot 5^{-2}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(5^6 \cdot 5^8 \cdot 5^{-2} = 5^{6+8+(-2)}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{5^6 \cdot 5^8 \cdot 5^{-2}} = 5^{12}\)

🔍 E.3. Simplificar la expresión \(a^4 \cdot a^{-8} \cdot a^{10} \cdot a^{-1}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(a^4 \cdot a^{-8} \cdot a^{10} \cdot a^{-1} = a^{4 + (-8) + 10 + (-1)}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{a^4 \cdot a^{-8} \cdot a^{10} \cdot a^{-1}} = a^5\)

🔍 E.4. Expresar y simplificar el producto \(81 \cdot 27\) como una potencia de la menor base posible.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(81 \cdot 27 = 3^4 \cdot 3^3\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81 \cdot 27} = 3^{4+3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81 \cdot 27} = 3^7\)

🔍 E.5. Expresar y simplificar el producto \(32 \cdot 16 \cdot 8\) como una potencia de la menor base posible.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(32 \cdot 16 \cdot 8 = 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2^3\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{32 \cdot 16 \cdot 8} = 2^{5+4+3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{32 \cdot 16 \cdot 8} = 2^{12}\)

🔍 E.6. Determinar el área de un rectángulo cuya base mide \(5^3\) \([cm]\) y su altura \(5^2\) \([cm]\).

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\) \(\text{Área}= \text{Base}\cdot \text{Altura}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Área}}= 5^3 \cdot 5^2\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Área}} = 5^{3+2}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Área}} = 5^5\) \([cm^2]\)

2) El área del rectángulo es \(5^5\) \([cm^2]\)

🔍 E.7. Expresar y simplificar el producto \(10.000 \cdot 10.000.000.000\) como una potencia de base \(10\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(10.000 \cdot 10.000.000.000 = 10^4 \cdot 10^{10}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{10.000 \cdot 10.000.000.000} = 10^{4+10}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{10.000 \cdot 10.000.000.000} = 10^{14}\)

🔍 E.8. Expresar y simplificar el producto \(0{,}0000001 \cdot 10.000\) como una potencia de base \(10\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(0{,}0000001 \cdot 10.000 = 10^{-7} \cdot 10^4\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}0000001 \cdot 10.000} = 10^{-7+4}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}0000001 \cdot 10.000} = 10^{-3}\)

🔍 E.9. Expresar y simplificar el producto \(0{,}00001 \cdot 0{,}00000001\) como una potencia de base \(10\).

Respuesta

\(\Rightarrow\) \(0{,}00001 \cdot 0{,}00000001 = 10^{-5} \cdot 10^{-8}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}00001 \cdot 0{,}00000001} = 10^{-5 + (-8)}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}00001 \cdot 0{,}00000001} = 10^{-13}\)

🔍 E.10. Cierta planta duplica su tamaño cada \(2\) horas. ¿Cuántas veces mayor será su tamaño después de \(10\) horas?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(i\)	Hora	Producto acumulado	Cantidad
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(2\)	\(1 \cdot 2\)	\(2\)
\(2\)	\(4\)	\(1 \cdot 2 \cdot 2\)	\(2^2\)
\(3\)	\(6\)	\(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)	\(2^3\)
\(4\)	\(8\)	\(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)	\(2^4\)
\(5\)	\(10\)	\(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)	\(2^5\)

2) Después de \(10\) horas el tamaño de la planta será \(2^5\) veces mayor.

🔍 E.11. Una célula se divide en \(2^3\) nuevas células cada hora. ¿Cuántas células habrá después de \(2\) horas?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(i\)	Hora	Producto acumulado	Cantidad
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\cdot 2^3\)	\(2^3\)
\(2\)	\(2\)	\(1\cdot 2^3\cdot 2^3\)	\(2^6\)
\(3\)	\(3\)	\(1\cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3\)	\(2^9\)

2) Después de \(2\) horas habrá \(2^{6}\) células.

🔍 E.12. Una fábrica produce \(3^4\) clavos por hora. ¿Cuántos clavos producirá en \(81\) horas?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(i\)	Hora	Suma acumulada	Cantidad
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(3^4\)	\(3^4\)
\(2\)	\(2\)	\(3^4 + 3^4\)	\(2 \cdot 3^4\)
\(3\)	\(3\)	\(3^4 + 3^4 + 3^4\)	\(3 \cdot 3^4\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(81\)	\(81\)	\(81 \cdot 3^4\)	\(81 \cdot 3^4\)

2) Reducir la expresión \(81\cdot 3^4\).

\(\Rightarrow\) \(81\cdot 3^4=3^4\cdot 3^4\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81\cdot 3^4}=3^{4+4}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{81\cdot 3^4}=3^{8}\)

3) Después de \(3^2\) horas producirá \(3^6\) clavos.

2.4. Práctica.

✏️ I. Reducir a una sola potencia con la menor base posible.

Ver ejercicios.

1. \(2^3\cdot 2^6\cdot 2^{-9}\)

2. \(5^7\cdot 5^{-4}\cdot 5^2\cdot 5^3\)

3. \(10^5\cdot 10^{-3}\cdot 10^2\)

4. \(2^{-2}\cdot 2^5\cdot 2^3\cdot 2^{-4}\)

5. \(3^4\cdot 27\cdot 81\)

6. \(4\cdot 8\cdot 2^5\)

7. \(16\cdot 2^{-3}\cdot 4\)

8. \(27\cdot 3^{-5}\cdot 9\)

9. \(81\cdot 27\cdot 3^9\cdot 9\)

10. \(0{,}01\cdot 0{,}1\cdot 100\cdot 1000\)

11. \(64\cdot 16\cdot 2^{-2}\)

12. \(125\cdot 5^{-1}\cdot 25\cdot 5^3\)

13. \(2^4\cdot 2^{-1}\cdot 2^6\cdot 2^{-3}\cdot 2^2\)

14. \(3^3\cdot 27\cdot 9\cdot 3^{-1}\)

15. \(10^2\cdot 0{,}1\cdot 1000\cdot 0{,}01\)

16. \(5^4\cdot 5^{-2}\cdot 5^5\cdot 5^{-1}\)

17. \(128\cdot 2^6\cdot 16\)

18. \(4\cdot 2^6\cdot 8\)

19. \(0{,}000001\cdot 0{,}001\cdot 10^5\)

20. \(32\cdot 8\cdot 2^5\cdot 16\)

✏️ II. Resolver los siguientes problemas utilizando la multiplicación de potencias de igual base.

Ver ejercicios.

1. Un cuadrado tiene lados de \(81\) metros. ¿Cuánto mide su superficie?

2. Un rectángulo tiene lados de \(27\) metros y \(81\) metros. ¿Cuánto mide su superficie?

3. La arista de un cubo mide \(0{,}0001\) metros. ¿Cuánto mide su volumen?

4. Un paralelepípedo tiene dimensiones de \(1.000\), \(1.000\) y \(1.000\) centímetros. ¿Cuál es su volumen?

5. Una bacteria se reproduce triplicando su cantidad cada hora. Si comienza con \(3^2\) bacterias, ¿cuántas habrá después de \(3\) horas?

6. Un campo solar genera \(10.000\) watts por panel. Si hay \(10.000\) paneles, ¿cuánta energía producen en total?

7. Un préstamo se multiplica por \(2^3\) en intereses en un año. Si originalmente era de \(2^5\) pesos, ¿cuánto debe pagarse ahora?

8. Una fábrica produce \(2^6\) piezas por máquina. Si tiene \(2^2\) máquinas, ¿cuántas piezas produce?

9. Un país tiene un crecimiento poblacional multiplicado por \(1{,}01^5\). Si parte de \(10^6\) habitantes, ¿cuál será su población después de \(5\) años?

10. Se apilan cajas de \(27\) kilos cada una. Si hay \(81\) cajas, ¿cuál es el peso total?

11. Un telescopio puede aumentar \(10^4\) veces el tamaño de una imagen. Si se usa dos veces seguidas, ¿cuánto aumenta en total?

12. En una red de computadoras, cada servidor soporta \(2^7\) usuarios. Si se instalan \(2^3\) servidores, ¿cuántos usuarios se pueden conectar?

13. Un insecto pone \(5^2\) huevos al día. ¿Cuántos huevos pondrá en \(5^3\) días?

14. Una célula se divide en \(2^2\) nuevas células cada minuto. ¿Cuántas células habrá después de \(8\) minutos?

15. Un jugador gana \(3^4\) puntos en un nivel. ¿Cuántos puntos tendrá después de jugar \(9\) niveles consecutivos?

2.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(13^4 \cdot 13^9\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(13^{36}\)
B) \(13^{13}\)
C) \(13^{5}\)
D) \(13^{9}\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(m^5 \cdot m^{-4} \cdot m^{10}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(m^{9}\)
B) \(m^{-11}\)
C) \(m^{11}\)
D) \(m^{1}\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(9 \cdot 81\) como una sola potencia de base \(3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^6\)
B) \(3^3\)
C) \(3^5\)
D) \(3^4\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(16 \cdot 8 \cdot 32\) como una sola potencia de base \(2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{14}\)
B) \(2^{11}\)
C) \(2^{13}\)
D) \(2^{12}\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(9 \cdot 2^6 \cdot 3^9 \cdot 2^{-2}\) como el producto de potencias de bases \(2\) y \(3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^8 \cdot 3^{10}\)
B) \(2^4 \cdot 3^{11}\)
C) \(2^4 \cdot 3^{9}\)
D) \(2^6 \cdot 3^{10}\)

Revisar

⁉️ P6. La base de un rectángulo mide \(7^4\) unidades y su altura \(7^{-1}\) unidades. ¿Cuál es el área del rectángulo?

Seleccionar respuesta.

A) \(7^5\)
B) \(7^3\)
C) \(7^{-5}\)
D) \(7^{-3}\)

Revisar

⁉️ P7. Un terreno tiene \(1.000\) metros de largo y \(100\) metros de frente. ¿Cuál es el área total del terreno, expresada como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^4\) \([m^2]\)
B) \(10^5\) \([m^2]\)
C) \(10^3\) \([m^2]\)
D) \(11 \cdot 10^4\) \([m^2]\)

Revisar

⁉️ P8. ¿Cuál es el resultado de \(0{,}0001 \cdot 0{,}000001\), expresado como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^{-4}\)
B) \(10^{-5}\)
C) \(10^{-6}\)
D) \(10^{-10}\)

Revisar

⁉️ P9. ¿Cuál es el resultado de \(10.000 \cdot 100.000.000\), expresado como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^{12}\)
B) \(10^{10}\)
C) \(10^{8}\)
D) \(10^{11}\)

Revisar

⁉️ P10. ¿Cuál es el resultado de \(0{,}000001 \cdot 10.000\), expresado como una potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^{-10}\)
B) \(10^{-4}\)
C) \(10^{-2}\)
D) \(10^{-5}\)

Revisar

⁉️ P11. En un torneo de videojuegos, cada jugador gana \(3^5\) puntos en una ronda. Si juega \(3^2\) rondas, ¿cuántos puntos acumula en total?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^7\) puntos.
B) \(3^{10}\) puntos.
C) \(3^3\) puntos.
D) \(3^2\) puntos.

Revisar

⁉️ P12. Un virus informático se multiplica por \(2^4\) en cada hora. ¿En cuánto se multiplica después de \(4\) horas?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^8\)
B) \(2^{16}\)
C) \(2^6\)
D) \(2^{12}\)

Revisar

⁉️ P13. Un fondo de inversión crece multiplicándose por \(5^2\) cada mes. ¿Qué factor de crecimiento alcanza en \(5\) meses?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^{10}\)
B) \(5^6\)
C) \(5^5\)
D) \(5^3\)

Revisar

⁉️ P14. Una máquina produce \(2^5\) tornillos por hora. ¿Cuántos tornillos producirá en \(2^4\) horas?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{20}\) tornillos.
B) \(2^{9}\) tornillos.
C) \(2^{6}\) tornillos.
D) \(2^{10}\) tornillos.

Revisar

⁉️ P15. Una empresa duplicó su producción cada mes durante \(3\) meses. Si inicialmente producía \(10^5\) unidades, ¿cuántas unidades produce ahora?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^3 \cdot 10^5\) unidades.
B) \(10^5\) unidades.
C) \(2^5 \cdot 10^3\) unidades.
D) \(2^5 \cdot 10^5\) unidades.

Revisar

2.6. Síntesis.

🧠 S1. La multiplicación de potencias de igual base es una forma abreviada de expresar el producto de dos cantidades que comparten la misma base. Se representa manteniendo la base y sumando los exponentes.

🧠 S2. De manera general, si \(a\) es un número real y \(m, n\) son números enteros, se cumple:

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

3. División de potencias de igual base.

3.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar la propiedad de división de potencias de igual base para simplificar expresiones numéricas o algebraicas según corresponda.

3.2. Propiedad.

📐 Sean \(a \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(m,n \in \mathbb{Z}\). Se cumple que el cociente de dos potencias de igual base es una nueva potencia de la misma base, cuyo exponente es la resta de los exponentes:

\[\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]

3.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Simplificar la expresión \(\dfrac{3^{12}}{3^5}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{3^{12}}{3^5} = 3^{12 - 5}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{3^{12}}{3^5}} = 3^7\)

🔍 E2. Simplificar la expresión \(5^{14} \div 5^{10}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow 5^{14} \div 5^{10} = 5^{14 - 10}\)

\(\Rightarrow \phantom{5^{14} \div 5^{10}} = 5^4\)

🔍 E3. Expresar y simplificar la división \(\dfrac{16}{2^3}\) como una potencia de base \(2\).

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{16}{2^3} = \dfrac{2^4}{2^3}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{16}{2^3}} = 2^{4 - 3}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{16}{2^3}} = 2^1\)

🔍 E4. Expresar y simplificar la división \(\dfrac{81}{243}\) como una potencia de base \(3\).

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{81}{243} = \dfrac{3^4}{3^5}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{81}{243}} = 3^{4 - 5}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{81}{243}} = 3^{-1}\)

🔍 E5. Expresar y simplificar la división \(4 \div 2^{-5} \div 2^{10}\) como una potencia de base \(2\).

Respuesta

\(\Rightarrow 4 \div 2^{-5} \div 2^{10} =2^2\div 2^{-5} \div 2^{10}\)

\(\Rightarrow \phantom{4 \div 2^{-5} \div 2^{10}} =2^{2 - (-5)} \div 2^{10}\)

\(\Rightarrow \phantom{4 \div 2^{-5} \div 2^{10}} = 2^7 \div 2^{10}\)

\(\Rightarrow \phantom{4 \div 2^{-5} \div 2^{10}} = 2^{7 - 10}\)

\(\Rightarrow \phantom{4 \div 2^{-5} \div 2^{10}} = 2^{-3}\)

🔍 E6. Expresar y simplificar la división \(125 \div 25 \div 625\) como una potencia de base \(5\).

Respuesta

\(\Rightarrow 125 \div 25 \div 625 = 5^3 \div 5^2 \div 5^4\)

\(\Rightarrow \phantom{125 \div 25 \div 625} = 5^{3 - 2} \div 5^4\)

\(\Rightarrow \phantom{125 \div 25 \div 625} = 5^1 \div 5^4\)

\(\Rightarrow \phantom{125 \div 25 \div 625} = 5^{1 - 4}\)

\(\Rightarrow \phantom{125 \div 25 \div 625} = 5^{-3}\)

🔍 E7. ¿Cuántos \(0{,}001\, [cc]\) están contenidos en \(1.000\, [cc]\)?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow \dfrac{1.000}{0{,}001} = \dfrac{10^3}{10^{-3}}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{1.000}{0{,}001}} = 10^{3 - (-3)}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{1.000}{0{,}001}} = 10^6\)

2) Está contenido \(10^6\) veces.

🔍 E8. Una persona camina \(10.000\,[m]\) por día. Si debe recorrer \(10^5\,[m]\), ¿cuántos días necesita?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow \dfrac{10^5}{10.000} = \dfrac{10^5}{10^4}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{10^5}{10.000}} = 10^{5 - 4}\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{10^5}{10.000}} = 10^1\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{10^5}{10.000}} = 10\)

2) Se requieren \(10\) días.

🔍 E9. Expresar y simplificar la expresión \(3 \cdot 3^8 \div 3^{-3}\) como una potencia de base \(3\).

Respuesta

\(\Rightarrow 3 \cdot 3^8 \div 3^{-3} = 3^1 \cdot 3^8 \div 3^{-3}\)

\(\Rightarrow \phantom{3 \cdot 3^8 \div 3^{-3}} = 3^{1 + 8} \div 3^{-3}\)

\(\Rightarrow \phantom{3 \cdot 3^8 \div 3^{-3}} = 3^9 \div 3^{-3}\)

\(\Rightarrow \phantom{3 \cdot 3^8 \div 3^{-3}} = 3^{9 - (-3)}\)

\(\Rightarrow \phantom{3 \cdot 3^8 \div 3^{-3}} = 3^{12}\)

🔍 E10. Expresar y simplificar la expresión \(2^{12} \div 2^{-2} \cdot 32\) como una potencia de base \(2\).

Respuesta

\(\Rightarrow 2^{12} \div 2^{-2} \cdot 32 = 2^{12} \div 2^{-2} \cdot 2^5\)

\(\Rightarrow \phantom{2^{12} \div 2^{-2} \cdot 2^5} = 2^{12 - (-2)} \cdot 2^5\)

\(\Rightarrow \phantom{2^{12} \div 2^{-2} \cdot 2^5} = 2^{14} \cdot 2^5\)

\(\Rightarrow \phantom{2^{12} \div 2^{-2} \cdot 2^5} = 2^{14 + 5}\)

\(\Rightarrow \phantom{2^{12} \div 2^{-2} \cdot 2^5} = 2^{19}\)

🔍 E11. En una bodega hay \(2^9\) cajas. Si se agrupan en paquetes de \(2^4\) cajas, ¿cuántos paquetes se pueden formar?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\) \(2^9 \div 2^4 = 2^{9-4}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{2^9 \div 2^4} = 2^5\)

2) Se pueden formar \(2^5\) paquetes.

🔍 E12. ¿Cuántas veces está contenido \(0{,}001\) en \(1.000.000\)?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\) \(1.000.000 \div 0{,}001 = 10^6 \div 10^{-3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{1.000.000 \div 0{,}001} = 10^{6-(-3)}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{1.000.000 \div 0{,}001} = 10^9\)

2) Está contenido \(10^9\) veces.

🔍 E13. Una fábrica dispone \(3^7\) tornillos. Si cada caja puede contener \(3^2\) tornillos, ¿cuántas cajas completas se pueden llenar?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver. \(\Rightarrow\) \(3^7 \div 3^2 = 3^{7-2}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{3^7 \div 3^2} = 3^5\)

2) Se pueden llenar \(3^5\) cajas completas.

🔍 E14. ¿Cuántas veces está contenido \(10^{-4}\) en \(10^2\)?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\) \(10^2 \div 10^{-4} = 10^{2-(-4)}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{10^2 \div 10^{-4}} = 10^6\)

2) Está contenido \(10^6\) veces.

🔍 E15. Una biblioteca tiene \(5^6\) libros. Si cada estante puede contener \(5^3\) libros, ¿cuántos estantes se necesitan?

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\) \(5^6 \div 5^3 = 5^{6-3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{5^6 \div 5^3} = 5^3\)

2) Se necesitan \(5^3\) estantes.

3.4. Práctica.

✏️ I. Escribir como una sola potencia cada división.

Ver ejercicios.

1. \(\dfrac{2^8}{2^3}\)

2. \(5^9 \div 5^6\)

3. \(\dfrac{10^7}{10^{-2}}\)

4. \(2^{-2} \div 2^{-5}\)

5. \(\dfrac{9^4}{3^5}\)

6. \(8^3 \div 2^5\)

7. \(\dfrac{16^2}{4^3}\)

8. \(27^3 \div 9^2\)

9. \(81^2 \div 3^7\)

10. \(1000 \div 0{,}01\)

11. \(64 \div 8^2\)

12. \(\dfrac{125 \cdot 5^2}{5^5}\)

13. \(\dfrac{2^8}{2^5\cdot 2^2}\)

14. \(27^2 \div 9^3\)

15. \(\dfrac{10^6}{0{,}0001}\)

16. \(\dfrac{5^9}{5^4\cdot 5^3\cdot 5^2}\)

17. \(8^5 \div 2^{10} \div 2^2\)

18. \(\dfrac{4^4}{2^8\cdot 2^2}\)

19. \(0{,}01 \div 0{,}000001\)

20. \(32^2 \div 8^3 \div 2\)

✏️ II. Resolver los siguientes problemas utilizando la división de potencias de igual base.

Ver ejercicios.

1. En una bodega hay \(2^8\) cajas. Si se agrupan en paquetes de \(2^4\) cajas, ¿cuántos paquetes se forman?

2. Una fábrica tiene \(5^6\) tornillos. Si cada caja almacena \(5^3\) tornillos, ¿cuántas cajas se llenan?

3. ¿Cuántas veces está contenido \(0{,}001\) en \(10.000\)?

4. Un almacén posee \(3^7\) productos. Si se distribuyen en paquetes de \(3^2\) productos, ¿cuántos paquetes se obtienen?

5. Un campo de cultivo mide \(10^6\) metros cuadrados. Si se divide en parcelas de \(10^2\) metros cuadrados, ¿cuántas parcelas se obtienen?

6. Una biblioteca cuenta con \(4^5\) libros. Si cada estante soporta \(4^3\) libros, ¿cuántos estantes llenos se pueden formar?

7. Un tanque de agua contiene \(2^7\) litros. Si los recipientes son de \(2^5\) litros, ¿cuántos recipientes se llenan?

8. Una reserva tiene \(8^6\) litros de combustible. Si cada bidón contiene \(8^2\) litros, ¿cuántos bidones se pueden llenar?

9. Una fábrica produce \(9^5\) tuercas. Si cada caja almacena \(9^3\) tuercas, ¿cuántas cajas completas se llenan?

10. Un robot puede almacenar \(5^7\) piezas. Si cada compartimiento guarda \(5^4\) piezas, ¿cuántos compartimientos usa?

11. ¿Cuántas veces está contenido \(10^{-4}\) en \(10^2\)?

12. Un aula tiene capacidad para \(2^9\) estudiantes. Si cada fila de asientos alberga \(2^5\) estudiantes, ¿cuántas filas se forman?

13. Un almacén guarda \(7^5\) cajas. Si cada estantería puede contener \(7^3\) cajas, ¿cuántas estanterías se completan?

14. Un satélite transmite \(10^8\) datos. Si cada transmisión maneja \(10^6\) datos, ¿cuántas transmisiones completas se realizan?

15. Una compañía distribuye \(6^6\) paquetes en camiones de \(6^3\) paquetes cada uno. ¿Cuántos camiones se requieren?

3.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(13^{15} \div 13^4\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(13^{11}\)
B) \(13^9\)
C) \(13^{19}\)
D) \(13^{7}\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\dfrac{3^8}{3^{-4}}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^{4}\)
B) \(3^{-12}\)
C) \(3^{12}\)
D) \(3^{-4}\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(125 \div 5^{-4}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^{-1}\)
B) \(5^{1}\)
C) \(5^{7}\)
D) \(5^{3}\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(32 \div 64 \div 2^3\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{-4}\)
B) \(2^{-5}\)
C) \(2^{-3}\)
D) \(2^{3}\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(2^8 \cdot 2^3 \div 2^{-9}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^2\)
B) \(2^{20}\)
C) \(2^{-2}\)
D) \(2^{14}\)

Revisar

⁉️ P6. Un recipiente tiene una capacidad de \(1.000\,[cc]\) y está justo debajo de un grifo que libera una gota de líquido de \(0{,}1\,[cc]\) cada segundo. ¿Cuántas gotas se necesitan para llenarlo?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^3\) gotas de líquido.
B) \(10^4\) gotas de líquido.
C) \(10^2\) gotas de líquido.
D) \(10^{-2}\) gotas de líquido.

Revisar

⁉️ P7. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(0{,}001 \div 0{,}01 \div 100\) como una sola potencia de base \(10\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^{-5}\)
B) \(10^{-3}\)
C) \(10^{-1}\)
D) \(10^{-6}\)

Revisar

⁉️ P8. ¿Cuántas veces está contenido \(1\,[\text{mm}]\) en \(1\,[\text{km}]\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^5\) veces
B) \(10^6\) veces
C) \(10^7\) veces
D) \(10^4\) veces

Revisar

⁉️ P9. En un depósito hay \(2^8\) cajas. Si cada grupo debe contener \(2^3\) cajas, ¿cuántos grupos se pueden formar?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^6\) grupos.
B) \(2^2\) grupos.
C) \(2^4\) grupos.
D) \(2^d\) grupos.

Revisar

⁉️ P10. ¿Cuántas veces está contenido \(0{,}01\) en \(100.000.000\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^6\) veces.
B) \(10^{11}\) veces.
C) \(10^{10}\) veces.
D) \(10^9\) veces.

Revisar

⁉️ P11. Una empresa produce \(3^6\) tornillos. Si cada caja guarda \(3^2\) tornillos, ¿cuántas cajas completas se pueden llenar?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^2\) cajas.
B) \(3^3\) cajas.
C) \(3^4\) cajas.
D) \(3^5\) cajas.

Revisar

⁉️ P12. ¿Cuántas veces está contenido \(10^{-5}\) en \(10^3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^7\) veces.
B) \(10^8\) veces.
C) \(10^6\) veces.
D) \(10^5\) veces.

Revisar

⁉️ P13. Una biblioteca tiene \(5^5\) libros. Si cada estante puede almacenar \(5^2\) libros, ¿cuántos estantes se completan?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^2\) estantes.
B) \(5^3\) estantes.
C) \(5^5\) estantes.
D) \(5^7\) estantes.

Revisar

⁉️ P14. Un tanque contiene \(2^7\) litros de agua. Si cada balde extrae \(2^3\) litros, ¿cuántos baldes se necesitan para vaciarlo?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^3\) baldes.
B) \(2^4\) baldes.
C) \(2^5\) baldes.
D) \(2^6\) baldes.

Revisar

⁉️ P15. Un procesador realiza \(10^8\) operaciones por minuto. Si se agrupan en bloques de \(10^5\) operaciones, ¿cuántos bloques completos se forman en un minuto?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^2\) bloques.
B) \(10^3\) bloques.
C) \(10^5\) bloques.
D) \(10^6\) bloques.

Revisar

⁉ P16. Un almacén tiene \(3^8\) latas de conserva. Si cada pallet almacena \(3^5\) latas, ¿cuántos pallets completos se pueden llenar?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^5\) pallets.
B) \(3^2\) pallets.
C) \(3^3\) pallets.
D) \(3^8\) pallets.

Revisar

⁉ P17. ¿Cuántas veces está contenido \(0{,}00001\) en \(100\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(10^6\) veces.
B) \(10^5\) veces.
C) \(10^4\) veces.
D) \(10^7\) veces.

Revisar

⁉ P18. Un editor imprime \(5^7\) libros. Si cada caja almacena \(5^2\) libros, ¿cuántas cajas llenas logra completar?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^4\) cajas.
B) \(5^2\) cajas.
C) \(5^3\) cajas.
D) \(5^5\) cajas.

Revisar

3.6. Síntesis.

🧠 S1. La división de potencias de igual base es una forma abreviada de expresar el cociente entre dos potencias que comparten la misma base. Se representa manteniendo la base y restando los exponentes.

🧠 S2. De manera general, si \(a\) es un número real distinto de cero y \(m, n\) son números enteros, se cumple:

\[ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \]

4. Multiplicación de potencias de igual exponente.

4.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar la propiedad de multiplicación de potencias de igual exponente para simplificar productos de potencias que presentan diferentes bases.

4.2. Propiedad.

📐 Sean \(a,b \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(n \in \mathbb{Z}\). Se cumple que el producto de dos potencias con igual exponente es una nueva potencia, donde la base es el producto de las bases y el exponente se conserva:

\[a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\]

4.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Simplificar la expresión \(2^5 \cdot 5^5\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow 2^5 \cdot 5^5 = (2\cdot 5)^5\)

\(\Rightarrow \phantom{2^5 \cdot 5^5} = 10^5\)

🔍 E2. Simplificar la expresión \(3^4 \cdot 7^4\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow 3^4 \cdot 7^4 = (3\cdot 7)^4\)

\(\Rightarrow \phantom{3^4 \cdot 7^4} = 21^4\)

🔍 E3. Simplificar la expresión \(2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2\cdot 3\cdot 5)^3\)

\(\Rightarrow \phantom{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = 30^3\)

🔍 E4. Simplificar la expresión \(4^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow 4^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = (4\cdot 7\cdot 2\cdot 5)^2\)

\(\Rightarrow \phantom{4^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2} = 280^2\)

🔍 E5. Simplificar la expresión \(\left(\dfrac{7}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^3\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \left(\dfrac{7}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \left(\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \right)^3\)

\(\Rightarrow \phantom{\left(\dfrac{7}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^3} = \left(\dfrac{28}{15}\right)^3\)

🔍 E6. Simplificar la expresión \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{5}\right)^4\)

\(\Rightarrow \phantom{\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4} = \left(\dfrac{30}{30}\right)^4\)

\(\Rightarrow \phantom{\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4} = 1^4\)

\(\Rightarrow \phantom{\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4} = 1\)

4.4. Práctica.

✏️ I. Escribir como una sola potencia cada producto.

Ver ejercicios.

1. \(2^4\cdot 3^4\)

2. \(5^3\cdot 2^3\cdot 4^3\)

3. \(7^5\cdot 2^5\cdot 5^5\)

4. \(4^2\cdot 6^2\cdot 9^2\cdot 2^2\)

5. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\dfrac{5}{4}\right)^2\)

6. \(\left(\dfrac{7}{8}\right)^3\cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot \left(\dfrac{5}{7}\right)^3\)

7. \(9^2\cdot 3^2\cdot 27^2\)

8. \(2^6\cdot 8^6\cdot 4^6\)

9. \(5^2\cdot 25^2\cdot 125^2\)

10. \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^4\cdot \left(\dfrac{10}{9}\right)^4\cdot \left(\dfrac{15}{4}\right)^4\)

4.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(2^5\cdot 5^5\cdot 7^5\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(70^5\)
B) \(14^5\)
C) \(2^5\)
D) \(35^5\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(3^4\cdot 6^4\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(18^4\)
B) \(9^4\)
C) \(24^4\)
D) \(12^4\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot\left(\dfrac{5}{4}\right)^3\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(\left(\dfrac{10}{12}\right)^3\)
B) \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^3\)
C) \(\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\)
D) \(\left(\dfrac{3}{10}\right)^3\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(4^2\cdot 7^2\cdot 2^2\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(28^2\)
B) \(56^2\)
C) \(14^2\)
D) \(24^2\)

Revisar

4.6. Síntesis.

🧠 S1. La multiplicación de potencias de igual exponente permite simplificar productos donde las bases son distintas, pero los exponentes son iguales. Se representa multiplicando las bases y conservando el exponente.

🧠 S2. De manera general, si \(a\) y \(b\) son números reales distintos de cero y \(n\) es un número entero, se cumple:

\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

5. División de potencias de igual exponente.

5.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar la propiedad de división de potencias de igual exponente para simplificar divisiones de potencias que presentan diferentes bases.

5.2. Propiedad.

📐 Sean \(a,b \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(n \in \mathbb{Z}\). Se cumple que el cociente de dos potencias con igual exponente es una nueva potencia, donde la base es el cociente de las bases y el exponente se conserva:

\[\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n\]

5.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Simplificar la expresión \(\dfrac{12^5}{2^5}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{12^5}{2^5} = \left(\dfrac{12}{2}\right)^5\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{12^5}{2^5}} = 6^5\)

🔍 E2. Simplificar la expresión \(\dfrac{15^4}{5^4}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{50^4}{5^4} = \left(\dfrac{50}{5}\right)^4\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{50^4}{5^4}} = 10^4\)

🔍 E3. Simplificar la expresión \(\dfrac{18^3}{6^3}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{18^3}{6^3} = \left(\dfrac{18}{6}\right)^3\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{18^3}{6^3}} = 3^3\)

🔍 E4. Simplificar la expresión \(\dfrac{22^2}{7^2}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{22^2}{7^2} = \left(\dfrac{22}{7}\right)^2\)

🔍 E5. Simplificar la expresión \(\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^3}{\left(\dfrac{1}{7}\right)^3}\) como una sola potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow \dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^3}{\left(\dfrac{1}{7}\right)^3} = \left(\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{1}{7}}\right)^3\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^3}{\left(\dfrac{1}{7}\right)^3}} = \left(\dfrac{35}{7}\right)^3\)

\(\Rightarrow \phantom{\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^3}{\left(\dfrac{1}{7}\right)^3}} = 5^3\)

5.4. Práctica.

✏️ I. Escribir como una sola potencia cada división.

Ver ejercicios.

1. \(\dfrac{5^6}{5^2}\)

2. \(\dfrac{8^4}{2^6}\)

3. \(\dfrac{6^5}{3^5}\)

4. \(\dfrac{12^3}{6^3}\)

5. \(\dfrac{\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}\)

6. \(\dfrac{\left(\dfrac{6}{5}\right)^4\cdot\left(\dfrac{5}{8}\right)^4}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^4}\)

7. \(\dfrac{9^4\cdot 12^4}{3^4\cdot 6^4}\)

8. \(\dfrac{64^2}{4^6}\)

9. \(\dfrac{50^3}{5^3\cdot 2^3}\)

10. \(\dfrac{\left(\dfrac{7}{3}\right)^4}{\left(\dfrac{14}{9}\right)^4}\)

5.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\dfrac{8^4}{2^4}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(6^4\)
B) \(4^4\)
C) \(16^4\)
D) \(2^4\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\dfrac{12^3}{4^3}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^3\)
B) \(8^3\)
C) \(4^3\)
D) \(2^3\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\dfrac{15^2}{5^2}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^2\)
B) \(10^2\)
C) \(5^2\)
D) \(2^2\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\dfrac{9^5}{3^5}\) como una sola potencia?

Seleccionar respuesta.

A) \(27^5\)
B) \(6^5\)
C) \(3^5\)
D) \(2^5\)

Revisar

5.6. Síntesis.

🧠 S1. La división de potencias de igual exponente es una forma abreviada de expresar el cociente de dos potencias que tienen el mismo exponente. Se representa dividiendo las bases y manteniendo el exponente.

🧠 S2. De manera general, si \(a\) y \(b\) son números reales distintos de cero, y \(n\) es un número entero, se cumple:

\[ \dfrac{a^n}{b^n} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n \]

6. Potencia de una potencia.

6.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar la propiedad de potencia de una potencia para simplificar expresiones con exponentes anidados.

6.2. Propiedad.

📐 Sean \(a \in \mathbb{R}\) y \(m, n \in \mathbb{Z}\). Se cumple que elevar una potencia a otro exponente equivale a multiplicar ambos exponentes, conservando la misma base:

\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]

6.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Simplificar la expresión \(\left(5^3\right)^4\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(5^3\right)^4 = 5^{3 \cdot 4}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\left(5^3\right)^4} = 5^{12}\)

🔍 E2. Simplificar la expresión \(\left(2^{-1}\right)^6\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(2^{-1}\right)^6 = 2^{-1 \cdot 6}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\left(2^{-1}\right)^6} = 2^{-6}\)

🔍 E3. Simplificar la expresión \(\left(\left(3^2\right)^5\right)^{-3}\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(\left(3^2\right)^5\right)^{-3} = 3^{2\cdot 5\cdot -3}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\left(\left(3^2\right)^5\right)^{-3}} = 3^{-30}\)

🔍 E4. Simplificar la expresión \(81^5\) aplicando la propiedad de potencia de una potencia.

Respuesta

\(\Rightarrow\ 81^5 = (3^4)^5\)

\(\Rightarrow\ \phantom{81^5} = 3^{4 \cdot 5}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{81^5} = 3^{20}\)

🔍 E5. Simplificar la expresión \(\left(\dfrac{2^2}{5^7}\right)^3\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(\dfrac{2^2}{5^7}\right)^3 = \dfrac{2^{2 \cdot 3}}{5^{7 \cdot 3}}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\left(\dfrac{2^2}{5^7}\right)^3} = \dfrac{2^6}{5^{21}}\)

🔍 E6. Simplificar la expresión \(32^5 \cdot 16^3\) aplicando propiedades de potencias.

Respuesta

\(\Rightarrow\ 32^5 \cdot 16^3 = (2^5)^5 \cdot (2^4)^3\)

\(\Rightarrow\ \phantom{32^5 \cdot 16^3} = 2^{5\cdot 5} \cdot 2^{4\cdot 3}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{32^5 \cdot 16^3} = 2^{25} \cdot 2^{12}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{32^5 \cdot 16^3} = 2^{25+12}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{32^5 \cdot 16^3} = 2^{37}\)

🔍 E7. Determinar el área de un cuadrado cuyos lados miden \(7^2\) \([cm]\).

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\ \text{Área} = \text{lado}^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = (7^2)^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = 7^{2 \cdot 2}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = 7^4\)

2. El área es \(7^4\) \([cm^2]\)

🔍 E8. Determinar el volumen de un cubo cuyos lados miden \(2^{11}\) \([m]\).

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\ \text{Volumen} = \text{lado}^3\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Volumen}} = (2^{11})^3\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Volumen}} = 2^{11 \cdot 3}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Volumen}} = 2^{33}\)

2. El volumen es \(2^{33}\) \([m^3]\)

🔍 E9. Determinar el área de un cuadrado cuyos lados miden \(81^3\) \([cm]\).

Respuesta

1) Construir modelo y resolver.

\(\Rightarrow\ \text{Área} = \text{lado}^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = (81^3)^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = ((3^4)^3)^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = 3^{4 \cdot 3 \cdot 2}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{\text{Área}} = 3^{24}\)

2. El área es \(3^{24}\) \([cm^2]\)

6.4. Práctica.

✏️ I. Escribir como una sola potencia cada expresión con potencias anidadas.

Ver ejercicios.

1. \((4^2)^3\)

2. \((7^3)^4\)

3. \(((5^2)^3)^2\)

4. \(((2^3)^4)^2\)

5. \(\left(\dfrac{3^2}{2^2}\right)^4\)

6. \(\left((3^2)^4 \cdot (3^3)^2\right)^2\)

7. \(\left(\dfrac{2^4}{5^4}\right)^3\)

8. \(\left(\dfrac{4}{9}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{4}{9}\right)^5\)

9. \((27^3)^2\)

10. \((81^2)^3\div 27^4\)

6.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(\left(4^3\right)^2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(4^5\)
B) \(8^6\)
C) \(2^6\)
D) \(2^{12}\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es el resultado de \((2^7)^3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{10}\)
B) \(8^4\)
C) \(2^{21}\)
D) \(4^6\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma correcta de simplificar \(\left(x^2\right)^5\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(x^7\)
B) \(x^{10}\)
C) \(x^3\)
D) \(x^{25}\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es el resultado de \(\left(\dfrac{3^2}{2^2}\right)^4\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(\dfrac{3^8}{2^8}\)
B) \(\dfrac{9^4}{4^4}\)
C) \(\dfrac{3^4}{2^2}\)
D) \(\dfrac{3^6}{2^6}\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Qué potencia representa correctamente la simplificación de \(\left((5^2)^3\right)^2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^{6}\)
B) \(5^{12}\)
C) \(5^5\)
D) \(5^8\)

Revisar

⁉️ P6. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(8^3 \cdot 16^{-5}\) como una sola potencia de base \(2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{-11}\)
B) \(2^{-8}\)
C) \(2^{11}\)
D) \(2^{-2}\)

Revisar

⁉️ P7. ¿Cuál es la forma simplificada de la expresión \(81 \cdot 27^4\) como una potencia de base \(3\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^{16}\)
B) \(3^{12}\)
C) \(3^{10}\)
D) \(3^{8}\)

Revisar

⁉️ P8. Un rectángulo tiene base \(8^3\) \([cm]\) y altura \(4^2\) \([cm]\). ¿Cuál es el área expresada como una potencia de base \(2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{10}\) \([cm^2]\)
B) \(2^{14}\) \([cm^2]\)
C) \(2^{16}\) \([cm^2]\)
D) \(2^{13}\) \([cm^2]\)

Revisar

6.6. Síntesis

🧠 S1. La potencia de una potencia permite simplificar expresiones donde una potencia es elevada a un nuevo exponente.

🧠 S2. En estos casos, se multiplican los exponentes y se mantiene la base:

\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]

7. Potencias de exponente negativo.

7.1. Objetivo(s).

🎯 Comprender y aplicar la propiedad de las potencias de exponente negativo para simplificar expresiones algebraicas y numéricas.

7.2. Propiedad.

📐 Sea \(a \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(n \in \mathbb{Z}^+\). Se cumple que toda potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la potencia positiva correspondiente:

\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]

7.3. Propiedad.

📐 Sean \(a, b \in \mathbb{R} - \{0\}\) y \(n \in \mathbb{Z}^+\). Se cumple que una fracción elevada a un exponente negativo equivale a invertir la fracción y cambiar el signo del exponente:

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n\]

7.4. Ejemplo(s).

🔍 E1. Expresar \(5^{-2}\) como potencia de exponente positivo.

Respuesta

\(\Rightarrow\ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2}\)

🔍 E2. Expresar \(7^{-1}\) como potencia de exponente positivo.

Respuesta

\(\Rightarrow\ 7^{-1} = \dfrac{1}{7}\)

🔍 E3. Expresar \((2^3)^{-1}\) como potencia de exponente positivo.

Respuesta

\(\Rightarrow\) \((2^3)^{-1} = 2^{-3}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{(2^3)^{-1}} = \dfrac{1}{2^3}\)

🔍 E4. Expresar \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}\) como potencia de exponente positivo.

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^4\)

🔍 E5. Expresar \(\left(\dfrac{5}{11}\right)^{-8}\) como potencia de exponente positivo.

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(\dfrac{5}{11}\right)^{-8} = \left(\dfrac{11}{5}\right)^8\)

7.5. Práctica.

✏️ I. Escribir cada expresión como una potencia de exponente positivo con su menor base posible.

Ver ejercicios.

1. \(5^{-3}\)

2. \(10^{-2}\)

3. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}\)

4. \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2}\)

5. \(\dfrac{5^{-3}}{2^{-2}}\)

7.6. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es el valor de \(2^{-3}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(-\dfrac{1}{8}\)
B) \(\dfrac{1}{8}\)
C) \(-8\)
D) \(8\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Que potencia es equivalente a \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\)
B) \(\left(\dfrac{5}{4}\right)^2\)
C) \(-\left(\dfrac{5}{4}\right)^2\)
D) \(\left(\dfrac{9}{20}\right)^2\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Qué potencia es equivalente a \(\dfrac{1}{7^4}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(-7^4\)
B) \(7^{-4}\)
C) \(-7^{-4}\)
D) \(\dfrac{1}{-7^4}\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es el resultado de \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(\dfrac{8}{27}\)
B) \(\dfrac{8}{27}\)
C) \(\dfrac{2}{3}\)
D) \(-\dfrac{8}{27}\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Cuál es el resultado de \(\dfrac{2^{-2}}{5^{-3}}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(\dfrac{125}{4}\)
B) \(\dfrac{4}{125}\)
C) \(2^{-2} \cdot 5^{-3}\)
D) \(2^5\)

Revisar

7.7. Síntesis

🧠
S1. Las potencias con exponente negativo representan el inverso multiplicativo de la potencia correspondiente con exponente positivo.

🧠
S2. Se cumple que \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\), para \(a \ne 0\):

\[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]

🧠
S3. En fracciones, se aplica que:

\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \]

8. Potencias de exponente cero

8.1. Objetivo(s).

🎯 Comprender y aplicar la propiedad de las potencias con exponente cero, reconociendo su valor constante en contextos algebraicos y numéricos.

8.2. Propiedad.

📐 Sea \(a \in \mathbb{R} - \{0\}\), se cumple que toda potencia con exponente cero es igual a uno:

\(\textcolor{#8B0000}{a^0 = 1}\)

8.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Calcular el valor de \(7^0\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 7^0 = 1\)

🔍 E2. Calcular \((-4)^0\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ (-4)^0 = 1\)

🔍 E3. Calcular \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^0\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ \left(\dfrac{3}{5}\right)^0 = 1\)

🔍 E4. ¿Cuál es el valor de toda expresión \(a^0\) si \(a \neq 0\)?

Respuesta

\(\Rightarrow\ a^0 = 1\), siempre que \(a \neq 0\)

🔍 E5. Calcular el valor de \(\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{\dfrac{3}{4}}{4}\right)^0\).

Respuesta

\(\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{\dfrac{3}{4}}{4}\right)^0=1\)

🔍 E6. Simplificar la expresión \(3^6 \cdot 3^{-6}\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 3^6 \cdot 3^{-6} = 3^{6 + (-6)}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{3^6 \cdot 3^{-6}} = 3^0\)

\(\Rightarrow\ \phantom{3^6 \cdot 3^{-6}} = 1\)

🔍 E7. Calcular \(500^0 + 12\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 500^0 + 12 = 1 + 12\)

\(\Rightarrow\ \phantom{500^0 + 12 }= 13\)

8.4. Práctica.

✏️ I. Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad de exponente cero.

Ver ejercicios.

1. \(5^0\)

2. \((7^3)^0\)

3. \((2 \cdot 3)^0\)

4. \(\left(\dfrac{5}{4}\right)^0\)

5. \(\dfrac{5^3}{3^3}\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^3\)

6. \(400^0 + 4\)

7. \(2 \cdot 1.000^0\)

8. \((-3)^0 - 17\)

9. \(\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\right)^0\)

10. \(3^6 \cdot 3^{-6}\)

8.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es el valor de \(7^0\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(0\)
B) \(7\)
C) \(1\)
D) \(-1\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cuál es el resultado de \(5^6 \cdot 5^{-6}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^0\)
B) \(0\)
C) \(1\)
D) \(-1\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Qué valor tiene la expresión \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right)^0\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(1\)
B) \(0\)
C) \(\dfrac{1}{2}\)
D) \(-\dfrac{1}{2}\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es el valor de \(x^0 + 4\) si \(x \ne 0\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(x + 4\)
B) \(0\)
C) \(1 + 4\)
D) \(5\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Qué valor tiene \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 + 6\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(6\)
B) \(7\)
C) \(1\)
D) \(0\)

Revisar

8.6. Síntesis

🧠 S1. Toda potencia con exponente cero tiene valor uno, siempre que la base sea distinta de cero.

🧠 S2. Esta propiedad, válida para \(a \neq 0\), se representa como:

\[ a^0 = 1 \]

9. Suma y sustracción de potencias idénticas

9.1. Objetivo(s).

🎯 Aplicar la propiedad de factorización en sumas y sustracciones de potencias con la misma base y exponente, para simplificar expresiones algebraicas de forma eficiente.

9.2. Propiedad.

📐 Cuando se suman o restan potencias que tienen la misma base y exponente, se pueden agrupar como términos semejantes, aplicando la propiedad distributiva:

\[a^n + a^n + \dots + a^n = k \cdot a^n\]

donde \(k\) es la cantidad algebraica de veces que se repite la potencia \(a^n\).

9.3. Ejemplo(s).

🔍 E1. Simplificar la expresión \(3^{11} + 3^{11} + 3^{11} + 3^{11}\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 3^{11} + 3^{11} + 3^{11} + 3^{11} = 4 \cdot 3^{11}\)

\(\Rightarrow\ \phantom{3^{11} + 3^{11} + 3^{11} + 3^{11}} = 2^2 \cdot 3^{11}\)

🔍 E2. Simplificar la expresión \(5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 = (5 + 7) \cdot 3^4\)

\(\Rightarrow\ \phantom{5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4} = 12 \cdot 3^4\)

\(\Rightarrow\ \phantom{5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4} = 4\cdot 3 \cdot 3^4\)

\(\Rightarrow\ \phantom{5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4} = 4\cdot 3^5\)

🔍 E3. Simplificar la expresión \(13 \cdot 2^7 - 5 \cdot 2^7\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 13 \cdot 2^7 - 5 \cdot 2^7 = (13 - 5) \cdot 2^7\)

\(\Rightarrow\ \phantom{13 \cdot 2^7 - 5 \cdot 2^7} = 8 \cdot 2^7\)

\(\Rightarrow\ \phantom{13 \cdot 2^7 - 5 \cdot 2^7} = 2^3 \cdot 2^7\)

\(\Rightarrow\ \phantom{13 \cdot 2^7 - 5 \cdot 2^7} = 2^{10}\)

🔍 E4. Simplificar la expresión \(4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2\).

Respuesta

\(\Rightarrow\ 4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2 = (4 - 2 + 3) \cdot 5^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2} = 5 \cdot 5^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2} = 5^1 \cdot 5^2\)

\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2} = 5^3\)

9.4. Práctica.

✏️ I. Simplificar cada expresión aplicando la suma o resta de potencias con base y exponente iguales, expresando siempre con la menor base posible.

Ver ejercicios.

1. \(6 \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^5\)

2. \(3^7 + 3^7 + 3^7 + 3^7 + 3^7\)

3. \(8 \cdot 5^3 - 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^3\)

4. \(9 \cdot 4^6 - 4 \cdot 4^6\)

5. \(2^8 + 2^8 + 2^8 + 2^8\)

6. \(11 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^2\)

7. \(7 \cdot 3^5 - 2 \cdot 3^5\)

8. \(4 \cdot 6^4 + 5 \cdot 6^4 - 2 \cdot 6^4\)

9. \(10^3 + 10^3 + 10^3\)

10. \(15 \cdot 7^2 - 5 \cdot 7^2\)

9.5. Evaluación.

⁉️ P1. ¿Cuál es el resultado de \(6 \cdot 2^4 + 10 \cdot 2^4\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{10}\)
B) \(2^8\)
C) \(8 \cdot 2^4\)
D) \(2^4\)

Revisar

⁉️ P2. ¿Cómo se puede simplificar \(9 \cdot 3^5 - 4 \cdot 3^5\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^5\)
B) \(3 \cdot 3^5\)
C) \(5 \cdot 3^5\)
D) \(3^{10}\)

Revisar

⁉️ P3. ¿Cuál es la forma simplificada de \(3^{7} + 3^{7} + 3^{7}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(3^8\)
B) \(9 \cdot 3^7\)
C) \(3^3 + 3^7\)
D) \(3^{21}\)

Revisar

⁉️ P4. ¿Cuál es la forma simplificada de \(4 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5^2\)
B) \(5^3\)
C) \(5^4\)
D) \(5^5\)

Revisar

⁉️ P5. ¿Qué resultado se obtiene al simplificar \(8 \cdot 2^6 + 8 \cdot 2^6\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(2^{10}\)
B) \(2^8\)
C) \(2^6\)
D) \(8^2 \cdot 2^6\)

Revisar

9.6. Síntesis

🧠 S1. La suma o sustracción de potencias idénticas se puede simplificar aplicando la propiedad distributiva, agrupando los coeficientes.

Esta propiedad se representa como:

\[ k_1 \cdot a^n + k_2 \cdot a^n = (k_1 + k_2) \cdot a^n \]

🧠 S2. Si el coeficiente resultante también se puede escribir como potencia de la misma base (\(k = a^m\)), se pueden aplicar otras propiedades para simplificar aún más:

\[ k \cdot a^n = a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]