Introducción

La distribución muestral de un estadístico depende de la distribución poblacional de la que se toma la muestra aleatoria.

A continuación se estudian algunos estadísticos que se basan en una muestra aleatoria extraída de una distribución Normal.

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una colección de variables aleatorias independientes tales que \(X_i\sim\textsf{Normal}(\mu_i,\sigma^2_i)\), para \(i=1,\ldots,n\), y \(a_1,\ldots, a_n\) es una colección de números reales, entones \(\sum_{i=1}^n a_i X_i\) tiene distribución Normal con media \(\sum_{i=1}^n a_i\mu_i\) y varianza \(\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma^2_i\).

Demostración:

La función generadora de momentos (fgm) de \(Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i\) es \[ \begin{align*} m_Y(t) &= \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,Y\right]}\right) = \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]}\right) = \textsf{E}\left(\prod_{i=1}^n\exp{\left[t\, (a_i X_i)\right]}\right) \\ &= \prod_{i=1}^n \textsf{E}\left(\exp{\left[t\, a_i X_i\right]}\right) \qquad\because\,\,\text{Independencia} \\ &= \prod_{i=1}^n m_{X_i}(t\,a_i) \qquad\because\,\,\text{Definición de fgm} \\ &= \prod_{i=1}^n \exp{\left[ \mu_i (t\,a_i) + \tfrac12\sigma^2_i(t\,a_i)^2 \right]} \qquad\because\,\,\text{fgm de la Normal} \\ &= \exp{\left[ t\,\left(\sum_{i=1}^n a_i \mu_i\right) + \tfrac12\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma^2_i\right)t^2 \right]} \end{align*} \] lo que corresponde a la fgm de una variable aleatoria con distribución Normal con media \(\mu_Y = \sum_{i=1}^n a_i \mu_i\) y varianza \(\sigma_Y\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma^2_i\). Por lo tanto, \(Y\sim\textsf{Normal}(\mu_Y, \sigma^2_Y)\).

(Corolario.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \(\bar{X}\sim\textsf{Normal}(\mu,\sigma^2/n)\), y por lo tanto, \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\textsf{Normal}(0,1)\,. \]

Demostración: Ejercicio.

Distribución Chi-cuadrado

La distribución Chi-cuadrado con \(\nu\) grados de libertad es un caso particular de la distribución Gamma con parámetro de forma \(\alpha = \nu/2\) y parámetro de razón \(\beta = 1/2\), i.e., \(\chi^2_n\equiv \text{Gamma}(n/2,1/2)\).

Ejemplo

Visualizar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución \(\chi^2_\nu\), para \(\nu \in\{1,2,3,4,5\}\).

# Configuración de la visualización
par(mar = c(3, 3, 1.5, 1.5), mgp = c(1.75, 0.75, 0))

# Graficar la distribución Chi-cuadrado para v = 1
curve(dchisq(x, df = 1), from = 0, to = 15, n = 1000, col = 1, ylim = c(0, 0.5),
      xlab = "x", ylab = "f(x)", main = "Distribución Chi-cuadrado", lwd = 2)

# Agregar curvas para v = 2, ..., 5
for (nu in 2:5) {
  curve(dchisq(x, df = nu), from = 0, to = 15, n = 1000, col = nu, add = TRUE, lwd = 2)
}

# Agregar la leyenda
legend("topright", legend = paste0("ν = ", 1:5), col = 1:5, lwd = 2, bty = "n")

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una colección de variables aleatorias independientes tales que \(X_i\sim\chi^2_{\nu_i}\), para \(i=1,\ldots,n\), entonces \(\sum_{i=1}^n X_i\) tiene distribución Chi-cuadrado con \(\sum_{i=1}^n \nu_i\) grados de libertad.

Demostración: Ejercicio.

(Teorema.) Si \(X\sim\textsf{Normal}(0,1)\), entonces \(X^2\sim\chi^2_1\).

Demostración:

La fgm de \(Y = X^2\) es \[ \begin{align*} m_Y(t) &= \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,Y\right]}\right) = \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,X^2\right]}\right) \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{t\,x^2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}\,\text{d}x = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2(1-2t)/2}\,\text{d}x \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{1-2t}}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-u^2/2}\,\text{d}u \qquad\because\,\,u = x\sqrt{1-2t}\,,\,\text{d}u = \sqrt{1-2t}\,\text{d}x\,,\,\text{para}\,\, t < 1/2 \\ &= (1-2t)^{-1/2}\qquad\because\,\, \int_{-\infty}^\infty e^{-u^2/2}\,\text{d}u = \sqrt{2\pi} \end{align*} \] lo que corresponde a la fgm de una variable aleatoria con distribución Chi-cuadrado con 1 grado de libertad. Por lo tanto, \(Y\sim\chi^2_1\).

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \[ \sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_n\,, \] donde \(Z_i = (X_i-\mu)/\sigma\), para \(i=1,\ldots,n\).

Demostración: Ejercicio.

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \(\bar{X}\) y \(S^2\) son independientes.

Demostración: Ejercicio.

Sugerencia: Halle la distribución conjunta \(f(X_1,\ldots,X_n)\) y muestre que \(f(X_1,\ldots,X_n) = f(\bar{X},Z_1,\ldots,Z_n)\), donde \(Z_i = X_i - \bar{X}\), para \(i=1,\ldots,n\).

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,. \]

Demostración:

Primero, se observa que \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 &= \sum_{i=1}^n ((X_i - \bar{X}) + (\bar{X} - \mu))^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left((X_i - \bar{X})^2 + 2(X_i - \bar{X})(\bar{X} - \mu) + (\bar{X} - \mu)^2\right) \\ &= (n-1)S^2 + n (\bar{X} - \mu)^2\qquad \because\,\,\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X}) = 0 \end{align*} \] y en consecuencia, \(V = Y + W\), donde \[ V = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2\,,\qquad Y =\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\,,\qquad W = \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2\,. \]

Así, la fgm de \(V\) es \[ \begin{align*} m_V(t) &= \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,V\right]}\right) \\ &= \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,Y\right]}\,\exp{\left[t\,W\right]}\right) \\ &= \textsf{E}\left(\exp{\left[t\,Y\right]}\right)\,\textsf{E}\left(\exp{\left[t\,W\right]}\right)\qquad\because\,\,\bar{X}\,\,\text{y}\,\,S^2\,\,\text{son independientes} \\ &= m_Y(t)\,m_W(t)\,. \end{align*} \]

Como \(V\sim\chi^2_n\) y \(W\sim\chi^2_1\), entonces se tiene que \((1-2t)^{-n/2} = m_Y(t)\,(1-2t)^{-1/2}\), para \(t < 1/2\), de donde \[ m_Y(t) = (1-2t)^{-(n-1)/2}\,, \] lo que corresponde a la fgm de una variable aleatoria con distribución Chi-cuadrado con \(n-1\) grado de libertad, ,i.e., \(T\sim\textsf{t}_n\) . Por lo tanto, \(Y\sim\chi^2_{n-1}\).

Distribución \(\textsf{t}\)

(Definición.) Si \(Z\) y \(V\) son variables aleatorias independientes tales que \(Z\sim\textsf{Normal}(0,1)\) y \(V\sim\chi^2_n\), entonces se dice que la variable aleatoria \[ T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \] tiene distribución \(\textsf{t}\) Student con \(n\) grados de libertad. En este caso, se tiene que \[ f_T(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi\,n}}\,\frac{\Gamma\left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)}\,\left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-(n+1)/2}\,,\qquad -\infty < x < \infty\,. \]

Dos definiciones populares para \(e^x\) son \[ e^x= \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \qquad\text{y}\qquad e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\,. \]

Ejemplo

Visualizar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución \(\textsf{t}_\nu\), para \(\nu\in\{1,2,3,4,5\}\).

# Visualización de la distribución t-Student con diferentes grados de libertad
par(mar = c(3, 3, 1.5, 1.5), mgp = c(1.75, 0.75, 0))

# Rango de x
x_range <- seq(-5, 5, length.out = 1000)

# Gráfica de la distribución t-Student para v = 1
plot(x_range, dt(x_range, df = 1), type = "l", col = 1, lwd = 2, ylim = c(0, 0.4),
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = "Distribución t-Student")

# Añadir curvas para v = 2, ..., 5
for (nu in 2:5) {
  lines(x_range, dt(x_range, df = nu), col = nu, lwd = 2)
}

# Añadir la distribución normal estándar en gris
lines(x_range, dnorm(x_range), col = "gray", lwd = 3)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c(paste0("ν = ", 1:5), "Z"),
       col = c(1:5, "gray"), lwd = 2, bty = "n")

La distribución Normal estándar proporciona una “buena aproximación” (convergencia en distribución) a la distribución \(\textsf{t}\) para tamaños de muestra de mayores o iguales a 30.

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces \[ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim\textsf{t}_{n-1}\,. \]

Demostración:

Como \(\bar{X}\) y \(S^2\) son independientes, y además, \[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\textsf{Normal}(0,1) \qquad\text{y}\qquad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,, \] entonces \[ \begin{align*} \frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{n-1}}} &= \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim\textsf{t}_{n-1}\,. \end{align*} \]

Distribución \(\textsf{F}\)

(Definición.) Si \(V\) y \(W\) son variables aleatorias independientes tales que \(V\sim\chi^2_n\) y \(W\sim\chi^2_m\), entonces se dice que la variable aleatoria \[ F = \frac{V/n}{W/m} \] tiene distribución \(\textsf{F}\) \(n\) grados de libertad en numerador y \(m\) grados de libertad en el denominador, i.e., \(F\sim\textsf{F}_{n,m}\). En este caso, se tiene que \[ f_F(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+m}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\,\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\,\left(\frac{n}{m}\right)^{n/2}\,x^{n/2 - 1}\,\left(1 + \frac{n}{m}\,x\right)^{-(n+m)/2} \,,\qquad x > 0\,. \]

Ejemplo

Visualizar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución \(\textsf{F}_{5,5}\), \(\textsf{F}_{5,10}\), \(\textsf{F}_{10,5}\) y \(\textsf{F}_{10,10}\).

# Configuración de la visualización
par(mar = c(3, 3, 1.5, 1.5), mgp = c(1.75, 0.75, 0))

# Rango de valores de x
x_range <- seq(0, 6, length.out = 1000)

# Graficar la distribución F con diferentes grados de libertad
plot(x_range, df(x_range, df1 = 5, df2 = 5), type = "l", col = 1, lwd = 2, ylim = c(0, 0.8),
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = "Distribución F")

# Añadir las demás curvas
lines(x_range, df(x_range, df1 = 5, df2 = 10), col = 2, lwd = 2)
lines(x_range, df(x_range, df1 = 10, df2 = 5), col = 3, lwd = 2)
lines(x_range, df(x_range, df1 = 10, df2 = 10), col = 4, lwd = 2)

# Agregar leyenda
legend("topright", 
       legend = c("n = 5, m = 5", "n = 5, m = 10", "n = 10, m = 5", "n = 10, m = 10"),
       col = 1:4, lwd = 2, bty = "n")

(Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) y \(Y_1,\ldots,Y_m\) son dos muestras aleatorias independientes de poblaciones Normales con medias \(\mu_X\) y \(\mu_Y\) y varianzas \(\sigma^2_X\) y \(\sigma^2_Y\), respectivamente, entonces
\[ \frac{S^2_X/\sigma^2_X}{S^2_Y/\sigma^2_Y}\sim\textsf{F}_{n-1,m-1}, \] donde \(S^2_X\) y \(S^2_Y\) son las varianzas muestrales de \(X_1,\ldots,X_n\) y \(Y_1,\ldots,Y_m\), respectivamente.

Demostración: Ejercicio.

Referencias

Ejercicios

  • Sea \(X\sim\chi^2_\nu\). Demostrar que \(\textsf{E}(X) = \nu\) y \(\textsf{Var}(X) = 2\nu\).

  • Sea \(X\sim\textsf{t}_\nu\). Demostrar que \(X^2\sim\textsf{F}_{1,\nu}\), es decir, \(\textsf{t}_\nu^2 \equiv \textsf{F}_{1,\nu}\).

  • Sea \(X\sim\textsf{t}_1\). ¿Cuál es la función de densidad de \(X\)? ¿Cómo se relaciona esta distribución con la distribución de Cauchy?

  • Sea \(X\sim\textsf{F}_{n,m}\). Demostrar que \(X^{-1}\sim\textsf{F}_{m,n}\), es decir, \(\textsf{F}_{n,m}^{-1} \equiv \textsf{F}_{m,n}\).

  • Sea \(X_1,\ldots,X_n\) una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\). Demostrar que \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\textsf{N}(0,1)\,, \] donde \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). Sugerencia: Demostrar que \(\bar{X}\sim\textsf{N}(\mu,\sigma^2/n)\) y que si \(X\sim\textsf{N}(\mu,\sigma^2)\), entonces \(a X + b\sim\textsf{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)\), donde \(a\) y \(b\) son constantes, con \(a\neq 0\).

  • Sean \(X_1,\ldots,X_n\) y \(Y_1,\ldots,Y_m\) son dos muestras aleatorias independientes de poblaciones Normales con medias \(\mu_X\) y \(\mu_Y\) y varianzas \(\sigma^2_X\) y \(\sigma^2_Y\), respectivamente. Demostrar que \[ \frac{\left(\bar{X} - \bar{Y}\right) - (\mu_X - \mu_Y)}{\sqrt{\sigma^2_X/n + \sigma^2_Y/m}}\sim\textsf{N}(0,1)\,, \] donde \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) y \(\bar{Y} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i\).

  • Sea \(\bar{X}\) el promedio muestral de una muestra aleatoria de tamaño \(n=16\) proveniente de una población normal con media \(0\) y varianza \(1\). Determinar el valor de \(c\) tal que \[ \textsf{Pr}\left(|\bar{X}| < c\right) = 0.5\,. \]

  • Visualizar la función de distribución acumulada de una variable aleatoria con distribución \(\textsf{t}_\nu\), para \(\nu\in\{1,2,3,4,5,10,25,50,100\}\). Superponer la función de distribución acumulada de una variable aleatoria con distribución \(\textsf{N}(0,1)\).