Modelo de Ramsey

Marco Teórico

El modelo de Ramsey nos dice la senda óptima del consumo, el ahorro y la inversión

La tasa de crecimiento del consumo es la siguiente:

\(\begin{equation} \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \left( f'(k) - \delta - \rho \right) \end{equation}\)

Para simularla tenemos que usar las siguientes librerías:

library(deSolve) #Tiene varios modelos macro para calcular
library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

Definición de parámetros

Primero, hay que definir todos los parámetros de nuestra ecuación de equilibrio del consumo.

r<-1 #Nuestra tasa de interés, definida como la productividad marginal de capital (Asumimos solo un capital)
rho<-0.9 #Nuestra tasa de impaciencia en t o de preferencia temporal de consumo
rho1<-0.6 # Nuestra tasa de impaciencia o de preferencia temporal de consumo en t+1
theta<-0.5 # Es la tasa de sustitución intertemporal del consumo (entre mayor es, más le cuesta esperar por consumir a nuestro agente)
g<-0.9 #Tasa de depreciación de capital

coninital <- c(con = 1) #Vamos a asumir que nuestro consumo inicial empieza en 1

times <- seq(from = 0, to = 100, by = 0.2) #Le voy a decir al R que me simule 100 periodos.

Computación del modelo

Una vez que he computado mis parámetros, me es posible estimar mi modelo. Recordemos que el resultado de la mayoría de modelos macro son un sistema de ecuaciones diferenciales (Ramsey, Solow), también llamadas como EDO. Es por eso que vamos a necesitar la librería deSolve para poder solucionar mis EDOs

Lo sigueinte es plantear mis ecuaciones:

#Comenzemos con mi ecuación en t: 
cdot <- function(t, con, parms){
  list((((r-rho)/theta)-g)*con)}

#Luego con la ecuación en t+1 (para este ejercicio solo voy a cambiar la tasa de impaciencia en t+1 el resto lo voy a dejar constante, aunque podría cambiar: 

cdot1<-function(t,con,prams){
  list((((r-rho1)/theta)-g)*con)
}

Finalmente, resuelvo

#A la librería le debo decir lo siguente

#ode(consumo_inicial, cuantos_periodos_, ecuación_a_resolver)
#Recordemos que debemos hacer esto para cada ecuación y tengo dos: cdot y cdot1, para t y t+1

out <- ode(y = coninital, times = times, func = cdot,
           parms = NULL)
out1<-ode(y = coninital, times = times, func = cdot1,
          parms = NULL)

Listo, R se encarga de resolver y puede pedirle que te haga los gráficos de consumo óptimo, inversión y demás:

plot(out,out1, main = "Senda de consumo óptimo", lwd = 2)