Comprender y aplicar el principio de inducción matemática para demostrar propiedades o afirmaciones que se cumplen para todos los números naturales a partir de un caso base y un paso inductivo.
La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza para probar que una afirmación es verdadera para todos los números naturales a partir de cierto valor inicial. Consta de dos pasos fundamentales:
1. Se verifica que la propiedad se cumple para el primer valor natural, generalmente \(n = 1\).
2. Se supone que la propiedad es cierta para un valor arbitrario \(n = k\) (hipótesis inductiva) y se demuestra que también se cumple para \(n = k + 1\).
Si ambos pasos se cumplen, entonces se concluye que la afirmación es verdadera para todo \(n \in \mathbb{N}\) a partir del caso base.
E1. Demostrar por inducción matemática que la suma de los primeros \(n\) números naturales es:
\[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]
1) Para \(n = 1\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1(1+1)}{2}}=1\)
Luego, la fórmula es cierta para \(n=1\).
2) Supongamos que la fórmula se cumple para \(n = k\), por lo que demostraremos que se cumple para \(n = k+1\).
\(1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right] + (k+1)\)
\(\phantom{1 + 2 + \cdots + k + (k+1)} = \dfrac{k(k+1)}{2} + \dfrac{2(k+1)}{2}\)
\(\phantom{1 + 2 + \cdots + k + (k+1)} =\dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}\)
\(\phantom{1 + 2 + \cdots + k + (k+1)} =\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\)
\(\phantom{1 + 2 + \cdots + k + (k+1)} =\dfrac{(k+1)(k+1+1)}{2}\)
\(\phantom{1 + 2 + \cdots + k + (k+1)} =\dfrac{(n)(n+1)}{2}\)
Luego, la fórmula es válida pra todo \(n\in\mathbb{N}\).
E2. Demostrar por inducción matemática que la suma de los cuadrados de los primeros \(n\) números naturales es:
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
1) Para \(n = 1\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}}=\dfrac{6}{6}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}}=1\)
Luego, la fórmula es cierta para \(n=1\).
2) Supongamos que la fórmula se cumple para \(n = k\), por lo que demostraremos que se cumple para \(n = k+1\).
\(1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \left[\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\right] + (k+1)^2\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}\)
\(\phantom{1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Luego, la fórmula es válida para todo \(n\in\mathbb{N}\).
E3. Demostrar por inducción matemática que \(n^2 + n\) es divisible por \(2\) para todo \(n \in \mathbb{N}\).
1) Para \(n = 1\):
\(\Rightarrow\ 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
Luego, \(2\) es divisible por \(2\), por lo tanto se cumple para \(n = 1\).
2) Supongamos que \(k^2 + k\) es divisible por \(2\), es decir, existe un entero \(m\) tal que \(k^2 + k = 2m\). Demostraremos que para \(n=k+1\) en \(n^2 + n\) la expresión \((k+1)^2 + (k+1)\) también es divisible por \(2\).
\(\Rightarrow\ (k+1)^2 + (k+1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1\)
\(\phantom{\Rightarrow\ (k+1)^2 + (k+1)} = k^2 + 3k + 2\)
\(\phantom{\Rightarrow\ (k+1)^2 + (k+1)} = (k^2 + k) + 2k + 2\)
\(\phantom{\Rightarrow\ (k+1)^2 + (k+1)} = 2m + 2k + 2\)
\(\phantom{\Rightarrow\ (k+1)^2 + (k+1)} = 2(m + k + 1)\)
Luego, \((k+1)^2 + (k+1)\) es divisible por \(2\). Por lo tanto, la propiedad es válida para todo \(n\in\mathbb{N}\).
I. Demostrar por inducción matemática las siguientes afirmaciones:
| 1. \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) |
| 2. \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) |
| 3. \(2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)\) |
| 4. \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\) |
| 5. \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\) |
| 6. \(n^3 - n\) es divisible por \(3\) para todo \(n \in \mathbb{N}\) |
| 7. \(5^n - 1\) es divisible por \(4\) para todo \(n \in \mathbb{N}\) |
| 8. \(6^n - 1\) es divisible por \(5\) para todo \(n \in \mathbb{N}\) |
| 9. \(7^n - 1\) es divisible por \(6\) para todo \(n \in \mathbb{N}\) |
| 10. \(n^2 + n\) es siempre par para todo \(n \in \mathbb{N}\) |
P1. ¿Cuál es el primer paso al demostrar por inducción que una fórmula es válida?
P2. ¿Qué se asume en el paso inductivo al aplicar inducción matemática?
P3. ¿Qué debe demostrarse en el paso inductivo?
P4. ¿Cuál es el objetivo de la inducción matemática?
P5. ¿Cuál es la fórmula para la suma de los primeros \(n\) números naturales?
1. La inducción matemática es un método de demostración que permite probar la validez de una fórmula o propiedad para todo número natural \(n \in \mathbb{N}\).
2. Consta de dos pasos fundamentales:
1. Verificar que la fórmula es válida para \(n = 1\).
2. Suponer que la fórmula se cumple para \(n = k\) y demostrar que se cumple para \(n = k+1\).
3. Si ambos pasos son correctos, se concluye que la fórmula es válida para todo número natural \(n\).