Taller Estimadores

Punto 1

Punto 2

2.1 - Generación de Muestras

set.seed(42)
n <- 100   # Tamaño de muestra
M <- 1000  # Número de muestras
theta <- 8 # Parámetro verdadero

# Generación de muestras uniformes
muestras <- matrix(runif(M*n, 0, theta), nrow = M, ncol = n)

# Visualización de una muestra aleatoria
hist(muestras[1, ], breaks = 15, col = "#4E79A7", 
     main = "Distribución de una Muestra Uniforme",
     xlab = "Valores", ylab = "Frecuencia",
     border = "white")

2.2 - Cálculo de Estimadores

#Los vectores tendrán tamaño 1000 (pues hay 1000 muestras)
#FÓRMULAS
#estimador1 = 2*x_bar
#estimador2 = max(x_1 , x_2, ... , x_n)
#estimador3 = (n + 1) * min(x_1, x_2 , ..., x_n)
set.seed(42)
theta1 = numeric(M)
theta2 = numeric(M)
theta3 = numeric(M)
n=100

for (i in 1:M) {
  #Extraemos la muestra i de las 1000 que calculamos
  muestra_i = muestras[i, ]
  
  x_bar = mean(muestra_i)
  theta1[i] = 2 * x_bar
  
  theta2[i] = max(muestra_i)
  
  theta3[i] = (n + 1) * min(muestras[i, ])
}

2.3 - Histograma de Estimadores

#Creamos un 'canvas' con 1 fila y 3 columnas
par(mfrow = c(1,3))
hist(theta1, col = 'lightgreen', main = "Histograma del estimador theta 1", xlab = "Valor", ylab = "Frecuencia")

hist(theta2, col = 'orange', main = "Histograma del estimador theta 2", xlab = "Valor", ylab = "Frecuencia")

hist(theta3, col = 'lightblue', main = "Histograma del estimador theta 3", xlab = "Valor", ylab = "Frecuencia")

Algunas conclusiones

1. En el primer histograma, se observa que el estimador theta 1 sigue una distribución aproximadamente normal, centrada en 8.

   Esto tiene sentido, pues la media (x_bar) de una distribución uniforme con parámetros [0,8] tiene un valor esperado de 4. Entonces 2*x_bar tiene un valor esperado de 8, por lo que el estimador es insesgado.

2. El histograma del estimador theta 2 muestra un sesgo hacia a la derecha. Esto se debe a que este estimador toma el valor máximo observado en cada muestra.

   Como el máximo en una muestra de 100 valores uniformes en [0, 8] tiende a acercarse mucho a 8, se genera esta asimetría.

3. El histograma del estimador theta 3 presenta un sesgo fuertemente marcado hacia la izquierda. Esto se debe a la forma en que está definido este estimador, dado por theta_3 = (n+1) * min(x_1, x_2, . . ., x_n).

   Dado que las variables siguen una distribución uniforme en el intervalo [0, 8], los valores mínimos tienden a concentrarse cerca del límite inferior del intervalo. Al multiplicarse por n+1, estas pequeñas diferencias se amplifican, lo que genera una distribución sesgada con una cola extendida hacia valores menores. Esta característica explica la forma asimétrica del histograma observado

2.4 - Matriz de Estimadores

install.packages("tidyverse")

## Installing package into '/cloud/lib/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.4'
## (as 'lib' is unspecified)

library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.2     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.4     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.4     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

# Crear un tibble con los estimadores
estimadores <- tibble(
  theta1 = theta1,
  theta2 = theta2,
  theta3 = theta3
)

# Mostrar las primeras filas
head(estimadores)

## # A tibble: 6 × 3
##   theta1 theta2 theta3
##    <dbl>  <dbl>  <dbl>
## 1   8.01   7.98  2.08 
## 2   8.24   7.86  2.06 
## 3   7.62   7.89 14.1  
## 4   8.07   7.79 18.8  
## 5   8.36   7.99  0.755
## 6   7.94   7.98  9.36

2.5 - Estimación de Sesgo y Varianza

# Cálculo de sesgos
sesgo1 <- mean(theta1) - theta
sesgo2 <- mean(theta2) - theta
sesgo3 <- mean(theta3) - theta

# Varianzas empíricas
var1_emp <- var(theta1)
var2_emp <- var(theta2)
var3_emp <- var(theta3)

# Varianzas teóricas aproximadas
var1_teo <- (theta^2) / (3 * n)
var2_teo <- (theta^2) / (n * (n + 2))
var3_teo <- theta^2 * ((n + 1)^2) / (n^2 * (n + 2))

# Crear y mostrar tabla comparativa
tabla <- data.frame(
  Estimador = c("theta1", "theta2", "theta3"),
  Sesgo = c(sesgo1, sesgo2, sesgo3),
  Varianza_Empírica = c(var1_emp, var2_emp, var3_emp),
  Varianza_Teórica = c(var1_teo, var2_teo, var3_teo)
)

library(knitr)
library(kableExtra)

## 
## Attaching package: 'kableExtra'

## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     group_rows

kable(tabla)

Estimador	Sesgo	Varianza_Empírica	Varianza_Teórica
theta1	0.0113247	0.2123032	0.2133333
theta2	-0.0774538	0.0056264	0.0062745
theta3	-0.1725513	60.7698508	0.6400627

Consistencia de los estimadores

set.seed(42)
n1 <- 10
nmax <- 100
na <- 200
theta <- 8  # Asumiendo que theta está definido previamente

# Vectores para almacenar resultados
sesgot1 <- sesgot2 <- sesgot3 <- rep(NA, nmax - n1 + 1)
tam <- seq(n1, nmax)

# Simulación para diferentes tamaños de muestra
for (n in n1:nmax) {
  theta1 <- theta2 <- theta3 <- rep(NA, na)
  
  for (i in 1:na) {
    X <- runif(n, min = 0, max = theta)
    theta1[i] <- 2 * mean(X)  # Corregido para que sea 2*mean(X)
    theta2[i] <- max(X)
    theta3[i] <- min(X) * (n + 1)
  }
  
  sesgot1[n - n1 + 1] <- mean(theta1) - theta
  sesgot2[n - n1 + 1] <- mean(theta2) - theta
  sesgot3[n - n1 + 1] <- mean(theta3) - theta
}

# Crear data frame para ggplot
df_sesgos <- data.frame(
  n = rep(tam, 3),
  Sesgo = c(sesgot1, sesgot2, sesgot3),
  Estimador = rep(c("θ₁ = 2X̄", "θ₂ = Máx(X)", "θ₃ = (n+1)Mín(X)"), each = length(tam))
)

# Gráfico con ggplot2
library(ggplot2)

ggplot(df_sesgos, aes(x = n, y = Sesgo, color = Estimador)) +
  geom_line(size = 1.2, alpha = 0.8) +
  geom_point(size = 1.5) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "gray40") +
  scale_color_manual(values = c("#4E79A7", "#F28E2B", "#E15759")) +
  labs(
    title = "Evolución del Sesgo de los Estimadores",
    subtitle = paste("Análisis para tamaños de muestra de", n1, "a", nmax),
    x = "Tamaño de la muestra (n)",
    y = "Sesgo (E[θ̂] - θ)",
    color = "Estimador"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(
    legend.position = "bottom",
    plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
    panel.grid.minor = element_blank()
  ) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(n1, nmax, by = 10)) +
  annotate("text", x = 80, y = 0.1, label = "Sesgo cero", color = "gray40")

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

2.6 - Diagrama de cajas y bigotes de los Estimadores

library(ggplot2)
library(dplyr)

df <- data.frame(
  Estimador = c(rep("theta1 = 2*mean", M),
                rep("theta2 = max", M),
                rep("theta3 = (n+1)*min", M)),
  Valor = c(theta1, theta2, theta3)
)

# Diagrama de cajas
ggplot(df, aes(x = Estimador, y = Valor, fill = Estimador, ylim(60))) +
  geom_boxplot() +
  geom_hline(yintercept = theta, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(title = "Diagramas de Caja y Bigotes de los Estimadores",
       y = "Valor del Estimador",
       x = "Estimador") +
  theme_minimal()

2.7 - Conclusiones

1. Para el estimador θ₁ = 2X̄

Ventajas:
• Insesgado (sesgo ≈ 0)
• Distribución aproximadamente normal
• Comportamiento estable en muestras pequeñas

Limitaciones:
• Varianza moderada (mayor que θ₂)

2. Para el estimador θ₂ = Máximo(X)

Ventajas:
• Menor varianza de los tres estimadores
• Sesgo disminuye rápidamente al aumentar n
• Óptimo para muestras grandes

Limitaciones:
• Pequeño sesgo negativo en muestras finitas
• Distribución asimétrica (sesgo a derecha)

3. Para el estimador θ₃ = (n+1)Mínimo(X)

Ventajas:
• Técnicamente insesgado

Limitaciones:
• Alta varianza (la mayor de los tres)
• Distribución extremadamente asimétrica
• Poco práctico en aplicaciones reales

Recomendación Final

Escenario	Estimador Recomendado	Razón Principal
Muestras pequeñas	θ₁ = 2X̄	Insesgamiento y estabilidad
Muestras grandes	θ₂ = Máximo(X)	Mejor equilibrio sesgo-varianza
Contextos teóricos	θ₃ = (n+1)Mínimo(X)	Solo para demostraciones matemáticas

Nota clave: θ₂ emerge como el estimador más eficiente en la práctica para tamaños de muestra moderados/grandes, mientras que θ₁ es más robusto cuando el tamaño muestral es limitado.